Экономическое моделирование стоимости квартир в Московской области

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального  образования

ВСЕРОССИЙСКОГО ЗАОЧНОГО  
ФИНАНСОВО – ЭКОНОМИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА

в г. Брянске

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ЭКОНОМЕТРИКА

2-е высшее образование

Брянск — 2011

ЗАДАЧА 1

Эконометрическое  моделирование стоимости квартир  в Московской области.

Таблица 1

Задание

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции.
2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для всех факторов Х.
4. Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.
5. Осуществите прогнозирование для лучшей модели среднего значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80 % от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения, точки прогноза.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, b- и D-коэффициентов.

Таблица 2

Наименования  показателей

Таблица 3

Исходные данные для  эконометрического моделирования  стоимости квартиры

Решение. Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1. С помощью надстройки «Анализ данных… Корреляция» строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными. Для этого необходимо перейти на рабочий лист, содержащий исходные данные, и далее выбрать пункт меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Корреляция».

Таблица 4

Матрица парных коэффициентов корреляции

Значимость коэффициента детерминации R-квадрат устанавливается с помощью критерия Фишера в таблице Дисперсионный анализ листа Регрессия. Так как наблюдаемое значение (критическое получим с помощью встроенной функции FРАСПОБР(0,05;2;37) F_кр = 3,2519), то R-квадрат значим только для факторов Х1 и Х3 и не значим для Х5.

Оценим, существует ли между самими факторами связь:

 Так как коэффициент корреляции между фактором Х3 и Y равен 0,8456, то зависимость, согласно Шкале Чеддока высокая, а связь между Х3 и Х5 – прямая слабая.

2. Построим корреляционное поле зависимости Y от наиболее значимого фактора – Х3. Поле корреляции результативного признака Y и фактора X₃ строится с помощью «Мастера диаграмм» (меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»)

Рис. 1. Корреляционное поле зависимости цены квартиры от общей площади

3. Для построения парных уравнений регрессии используется надстройка «Анализ данных… Регрессия» (меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Регрессия»)

Последовательно проводим регрессионный  анализ для каждой парной модели.

Уравнение регрессии адекватно отражает исследуемый экономический процесс. Построим уравнения зависимости от остальных факторов: и

4. Оценим качество каждой парной модели.

1.  Оценим каждую модель: так как максимальные значения коэффициента детерминации и F-критерия Фишера и минимальное значение коэффициента аппроксимации приходятся на фактор Х3, то лучшая парная линейная модель

Значимость коэффициента регрессии оценивается с помощью         -статистики.  Наблюдаемое значение статистики t_набл=-4,568. Критическое значение при α=0,05 и числе степеней свободы v=39 с помощью встроенной функции t_кр = 2,024.

Так как |t_набл | = | -1,112 | < t_кр =2,024, то коэффициент незначим.

Значимость коэффициента регрессии  оценивается с помощью                -статистики.  Наблюдаемое значение статистики t_набл =9,7628. Критическое значение t_кр =2,101.

Так как |t_набл | = | 9,7628 | ≥ t_кр =2,101, то коэффициент значим.

5. Прогноз при 80% из максимального значения Х3=169,5, т.е. 169,5∙0,8=135,6 кв.м тыс.долл.

РРис. 2. Фактические и модельные значения, точка прогноза

Лучшая модель регрессии всегда соответствует наиболее тесно связанному с результативным признаком Y фактору. Поэтому на поле корреляции, построенное при выполнении пункта 2 , дополнительно поместим линию регрессии вместе с уравнение регрессии и коэффициентом детерминации R² (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…» ® «Линейная»). Точечный и интервальный прогнозы наносим на график вручную.

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построим модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов:

• все три фактора Х1, Х3 и Х5: коэффициент детерминации R²=0,8285; F_набл=57,9856;
• два фактора Х1 и Х3: коэффициент детерминации R²=0,8271; F_набл= 88,4887;
• два фактора Х3 и Х5: коэффициент детерминации R²=0,7173; F_набл= 46,9406;
• два фактора Х1 и Х5: коэффициент детерминации R²=0,1854; F_набл= 4,211;

Таким образом, окончательно выбираем два фактора Х1 и Х3 и модель так как по показателю F_набл= 88,4887 – это максимальное значение, а трёхфакторную модель не учитываем, хотя у неё максимальный показатель коэффициента детерминации по сравнению с двухфакторной  (R²=0,8285>0,8271), но между факторами Х3 и Х5 существует незначительная, но все-таки корреляционная зависимость  R=0,22886, поэтому фактор Х5 исключаем.

Окончательная модель зависимости  стоимости квартир в Московской области от города области и общей площади

где Y – цена квартиры; Х1 – город области (1 – Подольск; 0 – Люберцы) ; а₀ – параметр функции, характеризующий влияние основных факторов на цену квартиры; а₁ – параметр функции, характеризующий влияние города на цену квартиры; а₂ – параметр функции, характеризующий влияние общей площади на цену квартиры.

7. Качество двухфакторной модели выше, чем однофакторной, так как выше коэффициент детерминации и F-критерий Фишера. Частные коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитывается по формуле: . Так как коэффициент эластичности переменной город области =-0,212, то в среднем цена квартиры изменяется на -0,212% процентов с изменением на 1% фактора Х1 город области при фиксированном значении фактора общая площадь. Так как коэффициент эластичности переменной общая площадь =1,103, то в среднем зависимая стоимость квартиры изменяется на 1,103 процентов с изменением на 1% фактора Х3 общая площадь при фиксированном значении другого фактора город области. Так как = 0,212< =1,103, то фактор Х3 общая площадь оказывает наибольшее влияние на зависимую переменную.

При изменении города области цена квартиры изменяется на 34,558 тысдолл. в сторону уменьшения, а при изменении общей площади на 1 кв.м - цена возрастает на 1,4921 тыс.долл., т.е. можно дать приблизительную цену 1 кв.метра общей площади – 1492 доллара.

Описательная статистика

Выводы:  Таким образом, мы получили, что результативный признак для 40 наблюдений – стоимость квартиры в Московской области – в основном зависит от двух факторов: общей площади квартиры Х1, и города области – Х3, причем вариация цены квартиры на 82,71% зависит от вариации этих двух факторов. Уравнение регрессии следует признать адекватным, модель считается значимой.

 К задаче прилагаются расчеты  (см. приложение 1)

ЗАДАЧА 2

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице:

Требуется: 

1. Проверить наличие аномальных наблюдений. 
2. Построить линейную модель , параметры которой оценить методом наименьших квадратов ( ) — расчетные, смоделированные значения временного ряда). 
3. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.
4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70 %).
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Основные промежуточные результаты вычислений привести в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение. Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1. Для выявления аномальных наблюдений используется метод Ирвина. Для всех уровней временного ряда, начиная со второго, рассчитывается l-статистика Ирвина

где — стандартное отклонение уровней ряда.

Стандартное отклонение было определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»: S_y»14,7064 млн. руб. Критическое значение критерия Ирвина для уровня значимости a=0,05 и длины временного ряда n=9 составляет l_кр=1,5. Видно, что ни одно из значений l_t не превышает l_кр, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.

2. Линейную трендовую модель строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия» (меню «Сервис»)

Рис. 3. – Исходные данные и уравнение прямой линии регрессии (расчетные, смоделированные значения временного ряда)

3. Значимость коэффициента регрессии оценивается с помощью         -статистики.  Наблюдаемое значение статистики t_набл=2,690. Критическое значение при α=0,05 и числе степеней свободы v=7 с помощью встроенной функции t_кр = 2,365.

Так как |t_набл | = | 2,690 | ≥ t_кр =2,365, то коэффициент значим.

Значимость коэффициента регрессии  оценивается с помощью                -статистики.  Наблюдаемое значение статистики t_набл =16,224. Критическое значение t_кр =2,365.

Так как |t_набл | = | 16,224 | ≥ t_кр =2,365, то коэффициент значим.

Общую оценку уравнения регрессии  проведем с помощью F-критерия Фишера:

F_кр =_{F0,05; 1 ; 7}=5,591

F_набл =263,21

Так как |F_набл | = | 263,21 | ≥ F_кр =5,591, то уравнения регрессии значимо.

4. Оценим точность модели. Средняя относительная ошибка аппроксимации 0,0565 (5,65%), т.е. менее 0,15 (15,0%), следовательно, уравнение регрессии адекватно отражает изучаемый экономический процесс.

Рис. 4. Прогноз на следующие две недели

5. Прогноз:

• 10 неделя млн. руб.; интервал прогноза по формуле:

                         .

По условию задачи .

Вычислим среднеквадратическое отклонение с помощью встроенной функции  СТАНДОТКЛОН 14,7064 и значение t=1,1192 с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.

• 11 неделя  млн. руб.; интервал прогноза 57,7581 – 68,7307 млн.руб.

К задаче прилагаются расчеты (см. приложение 2)