Экономическое прогнозирование. 2

Задание 1

10. Прогнозирование  на основе однофакторных  моделей: виды  моделей, экономический  смысл параметров  моделей.  .  .  .  .  .  .  .  .  . .  .  .  .  .  .    2

15. F-критерий  Фишера: оценка параметра,  критерии оценки.  .  . .  . 5

21. Прогнозирование  с учетом сезонных  и циклических  колебаний.  . 6

Задание 2.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   8

Задание 3.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   . 12

Задание 4.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   . 14

Задание 5.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   . 16

  Задание 6.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    10. Прогнозирование  на основе однофакторных  моделей: виды  моделей, экономический  смысл параметров  моделей

    Моделью называется материальный или мысленно представляемый объект, замещающий в  процессе исследования объект-оригинал таким образом, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Модель выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов на основе реальной статистической информации. Применение метода моделирования вызвано тем, что большинство объектов (или проблем, относящихся к этим объектам) непосредственно исследовать или совершенно невозможно, или подобное исследование требует много времени и средств.

    Однофакторные регрессионные модели  - модели в которых прогнозирование какого – либо показателя Y  осуществляется на основе использования его зависимости от причинно или статистически зависимого фактора х.

    В общем виде зависимость результативного  показателя Y от объясняющей (факторной) переменной х можно задать функцией

    где Y i – некоторое фактическое значение,

     – соответствующее ему теоретическое  значение,

    е i – отклонение фактического значения от теоретического.

    Типы  однофакторных моделей:

    1) Динамические и пространственные (статические)

    При использовании однофакторных динамических моделей исходная информация представлена в виде двух динамических рядов по одному объекту за несколько временных  реализаций. Один ряд является зависимой  переменной Y (прогнозируемый показатель), а другой – независимой x (табл. 1). 

    Таблица 1- Объемы оборота розничной торговли и промышленного производства по Новосибирской области, млрд р.

    При использовании пространственных (статических) моделей обрабатывается информация за один временной интервал (год, месяц) по множеству объектов (табл. 2). В  этом случае отсутствуют взаимосвязи, вызываемые совместным изменением во времени прогнозируемого показателя и факторов-причин.

    Таблица 2 - Оборот розничной торговли и объем промышленного

производства, млрд. р.

    При прогнозировании по динамическим рядам  важным этапом является анализ причинно-следственных зависимостей. Для установления зависимости одного показателя от другого используются различные методы: анализ таблиц, ранжирование рядов динамики, построение графиков, выражающих зависимость одного показателя от другого, использование группировок (если объем исходной информации достаточно велик), расчет коэффициентов связи. 

    2) Линейные и нелинейные регрессии

    Линейная  регрессия: у=a+bx+e

    Нелинейные  регрессии:

    - гипербола y=a+b/x+e,

    - показательная y=ab^xe,

    - степенная y=ax^be,

    - экспоненциальная y=e^a+bx+e

    и т.д.

    Коэффициент «а» указывает величину Y при х=0, «b» указывает

    наклон  линии регрессии. Коэффициент «b» называется коэффициентом регрессии. Он показывает среднее изменение результата при изменении фактора на единицу.

    Регрессионное уравнение y=a+bx+е указывает, что при увеличении «х» на единицу «y» увеличивается на «b» единиц.

    Регрессионное уравнение y=a-bx+е указывает, что при увеличении «х» на единицу «y» уменьшается на «b» единиц. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    15. F-критерий Фишера: оценка параметра,  критерии оценки

    F-критерий  Фишера.

    F-тест  состоит в проверке гипотезы  Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

    Сравниваются  фактическое Fфакт и критическое (табличное) Fтабл значения F-критерий Фишера.

    Гипотеза  Н 0 – природа оцениваемых характеристик случайна.

    Гипотеза  Н 1 – природа оцениваемых характеристик не случайна.

    F факт можно рассчитать по формуле

    где n – число единиц совокупности.

    Fтабл – максимально возможное значение критерия под влиянием

случайных факторов при данных степенях свободы  и уровне значимости α. Уровень значимости – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна ( равна 0,05 или 0,01).

    При нахождении Fтабл. в таблице значений F-критерия Фишера принимаются: k 1 =n-2 и k 2 =m, где n – объем выборки, m – количество

объясняющих переменных.

    Если  Fтабл. <Fфакт. , то Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 1- α.

    Если  Fтабл. >Fфакт. , то Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется и признается их статистическая незначимость и ненадежность с вероятностью 1- α . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    21. Прогнозирование  с учетом сезонных  и циклических  колебаний

    Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько  последовательных моментов или периодов времени.

    Любой временной ряд включает два обязательных элемента:

    1) время t,

      2) значение показателя, или уровень ряда yi .

    Количественные  значения показателя во временном ряду называются уровнями, где y 1 – начальный уровень ряда, а yn – конечный уровень ряда. Уровни расположены в хронологическом порядке через равные промежутки времени.

    Основные  компоненты временного ряда

    Каждый  уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, имеющих разный временной характер действия, которые можно разделить на три группы:

    1) длительные, постоянно действующие факторы, оказывающие на изучаемое явление определяющее влияние и формирующие основную тенденцию ряда. Они будут составлять трендовую компоненту T;

    2) кратковременные, периодические факторы, формирующие циклические (или сезонные) колебания ряда. Они будут составлять циклическую (или сезонную) компоненту S;

    3) случайные факторы, отражаемые случайными изменениями уровней ряда. Они будут составлять случайную компоненту Е.

    На  рисунке 1 показан временной ряд, содержащий сезонную компоненту. 

    Рисунок 1

    Основная  задача анализа временных рядов заключается в определении каждой компоненты и исключении воздействия на уровни временного ряда. Этот процесс называется декомпозицией или разложением временного ряда.

    Модели, в которых временной ряд представлен  как сумма перечисленных компонент, называются аддитивными моделями временного ряда:

    Y = T + S + E.

    Модели, в которых временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называются мультипликативными моделями временного ряда:

    Y = T S E.

    Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний:

    если  амплитуда сезонных колебаний приближенно постоянна, используют аддитивную модель.

    если  амплитуда возрастает или уменьшается по мере роста уровней временного ряда, используют мультипликативную модель. Эта модель чаще всего используется на практике.

    Процесс построения модели включает следующие шаги:

    1. Выравнивание исходного ряда  методом скользящей средней.

    2. Расчет значений сезонной компоненты  S.

    3. Устранение сезонной компоненты из исходного ряда и получение выровненных данных (Т+Е) в аддитивной модели и (Т · Е) в мультипликативной.

    4. Аналитическое выравнивание уровней  (Т+Е) или (Т · Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

    5. Расчет полученных по модели  значений (Т+S) или (Т · S).

    6. Расчет абсолютных и (или) относительных  ошибок.

    Однако  нужно иметь в виду, что экстраполяция в рядах динамики носит не только приближенный, но и условный характер. Поэтому ее следует рассматривать как предварительный этап в разработке прогнозов. Для составления прогноза должна быть привлечена информация, не содержащаяся в самом динамическом ряду. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 2

    Построить диаграммы, показывающие зависимость  каждого из показателей от времени. Проанализировать полученные результаты, сопоставляя характер динамики каждого  из показателей за различные годы. Выдать диаграмму на печать вместе с анализом. 

Решение

Данная  зависимость имеет сезонный характер.

Линейный  характер зависимости.

Гиперболический характер зависимости.

Данная  зависимость имеет сезонный характер.

Гиперболический характер зависимости.

Параболический  характер зависимости.

Гиперболический характер зависимости.

Линейный  характер зависимости.

Линейный  характер зависимости. 
 
 
 
 

Задание 3

    По  приведенным в таблице 3 данным построена однофакторная линейная модель y=10+0,8x+е. Коэффициент корреляции равен r_xy =1 –70/α. Табличное значение F-критерия Фишера (F табл. ) равно 19,5.

при Р=0,95.

    Таблица 3

Оцените качество модели с помощью:

1) коэффициента  детерминации;

2) средней ошибки  аппроксимации;

3) F-критерия Фишера. 

Решение

    Коэффициент корреляции r_xy =1-70/290=0,76.

    Тогда коэффициент детерминации:

    r_xy2=0,76²=0,58>0,5

    Получили  значение выше 0,5. Условие, определяющее высокое качество модели, выполнено.

    Среднюю ошибку аппроксимации можно вычислить  по формуле

Расчеты удобно проводить в следующей таблице: 

Считаем сумму  в последней колонке:

    В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 12%. Ошибка аппроксимации высокая, регрессионная модель плохо описывает изучаемую закономерность. Второе условие не выполнилось.

    Найдем  F факт :

    F_факт = 0,58/(1-0,58)*(4-2)=2,76. 

Сравниваем  F факт и F табл : 

2,76 < 19,5. 

    следовательно, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется и признается их статистическая незначимость и ненадежность с вероятностью 1-0,05=0,95. Третье условие не выполнилось.

    Вывод: рассмотренная модель плохо описывает  изучаемую закономерность, так как  не выполнены условия по средней  ошибке аппроксимации и F-критерию Фишера. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 4

     На  основе матрицы парных коэффициентов  корреляции выявить и устранить мультиколлинеарные факторы. После их устранения построить уравнение регрессии по новым данным регрессионногоанализа, характеризующее зависимость результирующего показателя (y) от факторных (x i ) в линейной форме. 

    Решение

     Матрица парных коэффициентов частной корреляции задана

следующими значениями:

     Взаимосвязь может быть выражена следующим уравнением линейной регрессии: у=а 0 +а 1 х 1 +а 2 х 2 +а 3 х 3 +а 4 х 4 +а 5 х 5 +е.

По диагонали  в матрице частной корреляции стоят единицы, потому что рассматривается  корреляция фактора самим с собой.

     Проверим  факторы на мультиколлинеарность. Мультиколлинеарная зависимость присутствует, если выполняется условие по коэффициенту парной корреляции:

     Это условие выполняется для факторов:

     - х₁ и х₂, т.к. r_х1х2=0,98;

     -  х₂ и х₃, т.к. r_х2х3=0,83.

     Нашли мультиколлинеарные факторы. Для устранения используется метод исключения переменных. Будем поочередно исключать факторы, имеющие наименьшее значение r_xiy. 

    Исключаем х2, т.к. rx1y > rx2y

    0,93>0,88.

    Исключаем х3, т.к. rx1y > rx3y

    0,93>0,86.

    Таким образом, после удаления мультиколлинеарных факторов исходное уравнение регрессии примет вид:

    у=а0+а1х1+ а4х4+а5х5+а6х6+е. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 5

    Имеются некоторые данные об объеме продаж (д.е.) за восемь лет.

    Измерить  тесноту связи между объемом  продаж текущего и предыдущего годов  с помощью коэффициента автокорреляции 1-го и 2-го порядка.

    Решение

    Добавим в исходную таблицу временной  ряд y_t-1. Коэффициент автокорреляции уровней ряда 1-го порядка, измеряющий зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1,рассчитывается по формуле:

    Расчет  коэффициента автокорреляции 1-ого  порядка

    Сумма по 4 и 5 графам должна быть равна нулю.

    где

    Для данных примера:

Y₁ = (6,625+8,625+9,625+13,625+15,625+18,625+19,625)/7 = 13,1

Y₂ = (5,625+6,625+8,625+9,625+13,625+15,625+18,625)/7 = 11,2 

    Тогда коэффициент автокорреляции 1-го порядка  равен: 
 

r₁ = 143,71/(153,78*141,71)^1/2 = 0,974

    Полученное  значение свидетельствует об очень  тесной зависимости между объемами продаж текущего и непосредственно  предшествующего годов и, следовательно, наличии во временном ряде объемов продаж сильной линейной тенденции.

    Коэффициент автокорреляции 2-го порядка характеризует  тесноту связи между уровнями y_t и y_t-2:

    где

    Для данных примера

Y₃ = (8,625+9,625+13,625+15,625+18,625+19,625)/6 = 14,29

Y₄ = (5,625+6,625+8,625+9,625+13,625+15,625)/6 = 9,96

    Расчет  коэффициента автокорреляции 2-ого  порядка