Экономико-математические методы и модели в отрасли связи

Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов      
 
 
 

Контрольная работа 

По  дисциплине: Экономико-математические методы и модели в отрасли связи   
 
 

Выполнил: студент

Группа: ЭПТ-92

                                                                                        Вариант №

                      Проверил: Батый Ада Рамазановна 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Новосибирск, 2011 г. 

    ЗАДАЧА 1.

    На  территории города имеется три телефонных станции А, Б и В. Незадействованные емкости станций составляют на станции А - Q_А, Б - Q_Б, В - Q_В номеров (таблица 1.1). Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют: 1 - q₁, 2 - q₂, 3 - q₃, 4 - q₄ номеров (таблица 1.2).

    Необходимо  составить экономико-математическую модель задачи и с помощью распределительного или модифицированного метода линейного программирования найти вариант распределения емкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети. Естественно, что таким вариантом при прочих равных условиях будет такое распределение емкости, при котором общая протяженность абонентских линий будет минимальной.

    Исходные  данные

    Таблица 1 - Незадействованные ёмкости телефонных станций.

Таблица 2 - Спрос  на установку телефонов

Таблица 3 - Среднее  расстояние от станции до районов застройки, км (для всех вариантов)

    РЕШЕНИЕ

    Стоимость доставки единицы груза из каждого  пункта отправления в соответствующие  пункты назначения задана матрицей тарифов

    Распределительный метод является одним из вариантов базового симплексного метода. Поэтому идея распределительного метода (как и симплексного) содержит такие же три существенных момента.

    Прежде  всего, отыскивается какое-то решение задачи — исходный опорный план. Затем посредством специальных показателей опорный план проверяется на оптимальность. Если план оказывается не оптимальным, переходят к другому плану. При этом второй и последующие планы должны быть лучше предыдущего. Так за несколько последовательных переходов от не оптимального плана приходят к оптимальному.

    Проверим  необходимое и достаточное условие  разрешимости задачи.

∑ a = 600 + 400 + 700 = 1700

∑ b = 350 + 400 + 500 + 450 = 1700

    Условие баланса соблюдается. Запасы равны  потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

    Занесем исходные данные в распределительную  таблицу.

    Первая  итерация заключается в определении  исходного опорного плана и проверке его на оптимальность.

    Определение исходного опорного плана. Первый опорный план может быть найден посредством различных способов: по правилу северо-западного угла, приоритету ближайших пунктов, способу минимального элемента С=(cij), способу Фогеля и по способу Лебедева-Тихомирова.

    Этап I. Поиск первого  опорного плана.

    1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.

    План  начинается заполняться с верхнего левого угла.

    Искомый элемент равен 4

    Для этого элемента запасы равны 600, потребности 350. Поскольку минимальным является 350, то вычитаем его.

    x₁₁ = min(600,350) = 350. 

    Искомый элемент равен 5

    Для этого элемента запасы равны 250, потребности 400. Поскольку минимальным является 250, то вычитаем его.

    x₁₂ = min(250,400) = 250.

    Искомый элемент равен 2

    Для этого элемента запасы равны 400, потребности 150. Поскольку минимальным является 150, то вычитаем его.

    x₂₂ = min(400,150) = 150.

    Искомый элемент равен 1

    Для этого элемента запасы равны 250, потребности 500. Поскольку минимальным является 250, то вычитаем его.

    x₂₃ = min(250,500) = 250.

    Искомый элемент равен 5

    Для этого элемента запасы равны 700, потребности 250. Поскольку минимальным является 250, то вычитаем его.

    x₃₃ = min(700,250) = 250.

    Искомый элемент равен 2

    Для этого элемента запасы равны 450, потребности  450. Поскольку минимальным является 450, то вычитаем его.

    x₃₄ = min(450,450) = 450.

    В результате получен первый опорный  план, который является допустимым, так как все грузы из баз  вывезены, потребность магазинов  удовлетворена, а план соответствует  системе ограничений транспортной задачи.

    2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

    Значение  целевой функции для этого  опорного плана равно:

    4*350 + 5*250 + 2*150 + 1*250 + 5*250 + 2*450  = 5350

    Этап II. Улучшение опорного плана.

    Проверка  опорного плана на оптимальность. Чтобы установить является ли опорный план оптимальным, надо проверить, как повлияет на величину целевой функции любое возможное перераспределение поставок.

    План  распределения поставок будет оптимальным  лишь в том случае, когда целевая функция имеет минимальное значение, т.е. когда дальнейшее уменьшение затрат на поставку будет невозможно.

    Проверим  возможность уменьшения суммарных  затрат на поставку продукции. С этой целью для каждой свободной от поставки клетки определяется величина Δ_ij, характеризующая изменение суммарных затрат на поставку (в расчете на единицу перераспределяемой продукции), при условии включения в план единичной поставки х_ij=1 от поставщика А_i к потребителю В_j.

    При этом должно быть произведено такое  изменение остальных поставок, чтобы получившаяся совокупность поставок не нарушала баланса спроса и поставок транспортной задачи.

    Величина  Δ_ij называется оценкой свободной клетки (или характеристика).

    В исходном решении задачи имеются  клетки свободные от поставок.

    Необходимо вычислить значение оценок Δ_ij для этих свободных от поставок клеток. С этой целью для каждой свободной клетки составляется означенный цикл перерасчета (или замкнутая цепь, круг, кольцо, контур и т.д.).

    Под циклом пересчета (цепью) понимается замкнутая ломаная линия. Вершинами цикла (цепи) являются клетки таблицы, проще – вершины лежат в клетках таблицы.

    Причем  одна из вершин находится в свободной  от поставки клетке, в той, для которой  определяется оценка Δ_ij. Все другие вершины находятся в базисных клетках, т.е. клетках, занятых поставками.

    Вершины, в которых поставки при перераспределении  увеличиваются, отмечаются плюсом и  называются положительными вершинами  и, наоборот, вершины, в которых поставки при перераспределении уменьшаются  отмечаются минусом и называются отрицательными вершинами.

    В цикле знаки по вершинам расставляют  начиная с вершины, лежащей в  свободной клетке, для которой  определяется Δ_ij. В нее записывают знак плюс, затем знаки по вершинам чередуются: минус, плюс , минус, плюс и т. д., независимо от того, расставляют ли их по часовой стрелке или в обратном направлении. Таким образом, в цикле всегда насчитывается одинаковое число положительных и отрицательных вершин.

    Следующий этап решения транспортной задачи заключается  в улучшении опорного плана.

    Если  при каком-то опорном плане оказывается  несколько свободных клеток с  отрицательными оценками Δ_ij, то за один переход к лучшему плану можно занять поставкой только одну клетку – ту, которая обеспечивает наибольшее снижение целевой функции.

    Шаг 1. Определяем оценку для каждой свободной клетки.

    (1;3): В свободную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

    Цикл  приведен в таблице (1,3; 1,2; 2,2; 2,3; ).

    Оценка  свободной клетки равна Δ₁₃ = (6) - (5) + (2) - (1) = 2.

    (1;4): В свободную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

    Цикл  приведен в таблице (1,4; 1,2; 2,2; 2,3; 3,3; 3,4; ).

    Оценка  свободной клетки равна Δ₁₄ = (4) - (5) + (2) - (1) + (5) - (2) = 3.

    (2;1): В свободную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

    Цикл  приведен в таблице (2,1; 2,2; 1,2; 1,1; ).

    Оценка  свободной клетки равна Δ₂₁ = (3) - (2) + (5) - (4) = 2.

    (2;4): В свободную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

    Цикл  приведен в таблице (2,4; 2,3; 3,3; 3,4; ).

    Оценка  свободной клетки равна Δ₂₄ = (4) - (1) + (5) - (2) = 6.

    (3;1): В свободную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

    Цикл  приведен в таблице (3,1; 3,3; 2,3; 2,2; 1,2; 1,1; ).

    Оценка  свободной клетки равна Δ₃₁ = (6) - (5) + (1) - (2) + (5) - (4) = 1.

    (3;2): В свободную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

    Цикл  приведен в таблице (3,2; 3,3; 2,3; 2,2; ).

    Оценка  свободной клетки равна Δ₃₂ = (7) - (5) + (1) - (2) = 1.

    Из  приведенного расчета видно, что  ни одна свободная клетка не имеет  отрицательной оценки, следовательно, дальнейшее снижение целевой функции Fx невозможно, поскольку она достигла минимального значения.

    Таким образом, последний опорный план является оптимальным.

    Минимальные затраты составят:

    4*350 + 5*250 + 2*150 + 1*250 + 5*250 + 2*450  = 5350

    Если  в оптимальном решении задачи имеется несколько оценок равных нулю, то это является свидетельством того, что среди бесчисленного  множества решений этой задачи существуют еще решения, являющиеся также оптимальными, поскольку значение целевой функции остается одинаковым — минимальным. Их принято называть альтернативными.

    Примечание. Основной алгоритм распределительного метода является не лучшим методом решения транспортных задач, так как на каждой итерации для проверки опорного плана на оптимальность приходилось строить [mп—(m+n—1)] циклов пересчета, что при больших размерах матрицы оказывается очень громоздким и трудоемким делом. Так, для расчетов по матрице 10х10 на каждой итерации надо строить 81 цикл, а по матрице 20x20 — 361 цикл.