Экономико-математические методы и прикладные модели. 3

Министерство  образования и  науки РФ

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа 

по дисциплине: «Экономико-математические методы и  прикладные модели» 

Вариант № 10 
 
 
 
 
 

     Исполнитель:

     Специальность: Финансы и Кредит

     Группа: 3 курс (2 поток)

     №зачетной книжки:

                                          Руководитель:  
 
 
 
 

Краснодар 2009 г.

Оглавление

Задача 1.

Решить  графическим методом типовую задачу оптимизации.

      Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,1 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,3 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует, производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?

      Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение.

Экономико-математическая модель задачи:

Введем переменные: Х₁ – объем производства напитка «Лимонад», Х₂- объем производства напитка «Тоник».  

Введем целевую  функцию: F(X) = 0,1 x₁+0,3 x₂ max

Вводим ограничения:

0,02х₁ + 0,04 х₂ 24;

0,01х₁ + 0,04 х₂ 16;

х_1,2 0.

Первое  ограничение (по времени работы оборудования) имеет вид: 0,02х₁ + 0,04 х₂ 24. Находим пересечение с осями координат. Прямая 0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24 проходит через точки (1200;0) и (0;600). Второе ограничение (по расходу ингредиента) имеет вид 0,01х₁ + 0,04 х₂ 16. Найдем пересечение с осями координат. Прямая 0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16 проходит через точки (1600;0) и (0;400). Решением этих неравенств системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. В результате пересечения построенных полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых значений данной задачи. (рис. 1.)  

Рис. 1. Область допустимых значений.  

Построим вектор-градиент. Начало вектора совпадает с началом координат. Построим линию уравнения, перпендикулярную вектору – градиента: 0,1x₁+0,3x₂ = 0. При максимизации функции движемся в направлении вектора-градиента.

Реши систему уравнений:

0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24

0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16

Получаем: x₁ = 800; x₂ = 200. При этих значениях f_max = f (800;200) = 0,1*800 +0,3*200=140.

Ответ.

     Для получения максимальной ежедневной прибыли 140 ден.ед. необходимо производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника». При решении задачи на минимум решения не будет, так как целевая функция не ограничена снизу.

Задача 2.

Использовать  аппарат теории двойственности для экономико-математического  анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

     Для изготовления трех видов продукции  используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

    Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• Определить, как изменится выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса  первого вида на 24 единицы;
• Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

Решение.

1. Сформулировать  прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем  переменные: Х₁ – норма расхода ресурсов на ед.продукции I вида; Х₂ – норма расхода на ед.продукции II вида; Х₃ – норма расхода на ед.продукции III вида.

Введем целевую  функцию: F(X) = 6 x₁+10 x₂ + 9 х₃ max

Вводим ограничения:

  3 х₁ +   6 х₂ +   4 х₃ 2000

20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 15000

10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 7400

              3 х₂ +   5 х₃ 1500

х_1,2,3 0 

Для решения  задачи воспользуемся программой Excel. Сначала необходимо ввести исходные данные, далее устанавливаем зависимость для целевой функции. После этого вводим зависимости для ограничений и запускаем команду поиск решений (рис. 2.) 

Рис. 2. Поиск решения.  
 

В результате данного решения было выявлено, что  для получения максимальной прибыли в размере 4110 ден.ед. фирма должна производить 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции II вида. Также было выявлено, что сырья 1 понадобиться лишь 12 600, вместо 15 000, а оборудования задействовано лишь 550, вместо 1500. Трудовые ресурсы и сырье 2 будет использовано полностью (рис. 3).

Рис. 3. Результаты поиска решения.  

В отчете по результатам (рис. 4.) содержатся оптимальные  значения переменных х₁, х₂, х₃, которые равны 520;0;110 соответственно; значение целевой функции (4110 ед.), а также левые части ограничений.

* = (520;0;110) 

Рис. 4. Отчет по результатам  решения.  

2. Сформулировать  двойственную задачу и найти ее оптимальный  план с помощью теорем двойственности.

Вводим  переменные: исходная задача содержит 4 ограничения: по труду, по сырью 1, по сырью 2, по оборудованию. Следовательно, в двойственной задачи – 4 переменные.

y₁ – двойственная оценка ресурса «Труд»

y₂ – двойственная оценка ресурса «Сырье 1»

y₃ – двойственная оценка ресурса «Сырье 2»

y₄ – двойственная оценка ресурса «Оборудования»

Целевая функция двойственной задачи формулируется  на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

G(Y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ min

Требуется определить такие «цены» на типы ресурсов (y_i), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Вводим ограничения. В исходной задаче 3 переменные, следовательно, в двойственной задачи 3 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть ограничений определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции. Каждое ограничение соответствует определенной норме использования ресурса на единицу продукции:

3 y₁ + 20 y₂ + 10 y₃           6

6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ 10

4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ 9 

Определим оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы  двойственности

, тогда

y₁(  3 х₁+    6 х₂+    4 х₃ – 2000)   = 0;

y₂(20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 15000) = 0;

y₃(10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 7400)   = 0;

y₄(              3 х₂ +   5 х₃ – 1500)   = 0.

Подставим оптимальные значения вектора  * = (520;0;110) в полученные выражения:

y₁(3*  520+    6*0+   4*110   – 2000)   = 0;

y₂(20*520 + 15*0 + 20*110 – 15000) = 0;

y₃(10*520 + 15*0 + 20 *110 – 7400)   = 0;

y₄(3 *     0 +   5*110              – 1500)   = 0.

Следовательно:

y₁(2 000- 2 000) = 0;

y₂ (12 600 – 15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y₂ = 0;

y₃ (7400-7400) = 0;

y₄ (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y₄ = 0.

Воспользуемся соотношением второй теоремы двойственности:

, если  >0, то

В условиях нашей задачи: х₁=520 > 0 и х₃ = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

х₁ (3 y₁ + 20 y₂ + 10 y₃ –             6) = 0;

х₂ (6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ - 10) = 0;

х₃ (4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ –  9) = 0.

Решая полученную систему уравнений, находим y₁ и y₃

3*у₁ + 20*у₂+10у₃-6=0

у₂ = 0

4*у₁ + 20*у₂ + 20 у₃ + 5*у₄-9=0

у₄ = 0,

Определяем, что  теневые цены ресурсов «Труд», «Сырье 1», «Сырье 2» и «Оборудования» соответственно равны у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0.

Проверим  выполнение первой теоремы двойственности:

G(Y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110

F(X) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃ = 6*520+9*110 = 4 110.

Это означает, что оптимальный план двойственности определен верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решения – Отчет по устойчивости в Excel (рис. 5).

Рис. 5. Отчет по устойчивости.  

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Поясним равенство нулю х₂. Если изделие вошло в оптимальный план (хj > 0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В нашем случае — это продукция первого и третьего видов.

Если  стоимость ресурсов, затраченных  на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашем случае в план выпуска не вошла продукция второго вида, потому что затраты по нему превышают цену на 1,25 единиц (11,25 – 10 = 1,25). Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора У:

3*1,5 + 20*0+10*0,15 6  6=6;

6*1,5 + 15*0 + 15*0,15 + 3*0 10 11,25>10;

4*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*0 9 9=9.

Разницу между правыми и левыми частями  ограничений двойственной задачи можно найти в Отчете по устойчивости в столбце Нормируемая стоимость (с обратным знаком по сравнению с симплексной таблицей) (рис. 5). 

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• Определить, как изменится выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса  первого вида на 24 единицы;
• Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

• Проанализировать  использование ресурсов в оптимальном  плане исходной задачи:

Ресурсы «Труд» и «Сырье 2» имеют отличные от нуля оценки равные 1,5 и 0,15 соответственно. Эти ресурсы полностью используются в опитмальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части ограничений равны левым:

  3 х₁ +   6 х₂ +   4 х₃ 2000

10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 7400

3*520 + 6*0 + 4*110 = 2000 = 2000.\

10*520 + 15*0 + 20*110 = 7400 = 7400.

Ресурсы «Сырье 1» и «Оборудование» используются не полностью, поэтому имеют нулевые  двойственные оценки у₂ = 0, у₄ = 0

20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 15000

          3 х₂ +   5 х₃ 1500

20*520 + 15*0 + 20*100  = 12600 15000

  0*520 + 3*0 +5*110 = 550 1500

Общая стоимость используемых ресурсов при  выпуске 520 ед. I продукции и 110 ед. III продукции составит 4 110 ден. ед.

G(Y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110 

• Определить, как изменится выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса  первого вида на 24 единицы;

Из теоремы  об оценках известно, что колебание  величины b_i приводит к увеличению или уменьшению f ( ). Оно определяется:

f ( ) =

b_i = 24, у₁ = 1,5 

=24*1,5 = 36

F (x)*= 4110 + 36 = 4146 (ед.)

В результате проведенных решений видно, что если увеличить запасы ресурса I вида на 24 единицы, то выручка увеличиться на 36 ед., т.е. общая выручка составит 4146 ед.

При этом структура плана не изменилась –  изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на них не изменились.

y₁ = 1,5   3 х₁ +   6 х₂ +   4 х₃ 2000 + 24 = 2024

у₂=0 20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ ≤15000

y₃ = 0,15 10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 7400

y₄ = 0   0 х₁ +   3 х₂ +   5 х₃ 1500

Решим систему уравнений и определим х₁ и х₃:

3 х₁ + 4 х₃ = 2024

10 х₁ + 20 х₃ = 7400,

х₁ = 544, х₃ = .

Новый план выпуска cоставит 544 ед. продукции I вида и 98 ед. продукции III вида = (544; 0; 98).

= 24 * 6 = 144, т.е. при увеличении запаса  ресурса I вида выручка увеличится на 144 ед. 

• Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Для определения  целесообразности включения в план выпуск изделия IV вида с заданными характеристиками рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации изделия:

8y₁ + 4y₂ + 20y₃ + 6y₄=11

подставим у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0

8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0 = 11

15=11. Т.к. 15>11, то включение в план изделия четвертого вида нецелесообразно.

Задача  3.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

     В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице: 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

     Вычисления  провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение.

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

     Искажение результатов моделирование возникает из-за наличия аномальных наблюдений. Чтобы убедиться в их отсутствии используем Метод Ирвина. Для всех или только для подозреваемых в аномальности наблюдений вычисляется величина: 

Результаты  расчетов по методу Ирвина: