Министерство  образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего  профессионального  образования

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

         Контрольная работа

по дисциплине «Экономико-математические методы и  прикладные модели»

(вариант  №3) 
 
 
 
 
 
 

Студентка      ___________________

Специальность      Финансы и кредит 

№ личного  дела      ________________ 

Образование       Первое высшее 

Группа                    _____________________ 

Преподаватель ________________________

____________2010

Задача  №1 

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений  для газонов:  обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных  и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

    Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему? 

Решение:

На основании  приведенных данных составим таблицу: 

     Построим  экономико-математическую модель задачи:

Пусть Х₁ – куплено обычных наборов удобрений

Х₂ – куплено улучшенных наборов удобрений 

Построим функцию  цели:

F (x) – {стоимость}            min

           min

Ограничения:

По количеству удобрения разного типа

Азотные:

Фосфорные:   

Калийные:  

  Область ограничений будет лежать в I квадратной четверти.

• – неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой:

Прямую  l₁ построим по двум точкам:

  Чтобы выбрать  нужную полуплоскость, возьмем контрольную  точку КТ (0;0) и подставим её координаты в неравенство:

  3 ложно

  Значит  искомая полуплоскость находится с правой стороны от прямой.

• – неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой:

Прямую l₂ построим по двум точкам:

  Чтобы выбрать  нужную полуплоскость, возьмем контрольную  точку КТ (0;0) и подставим её координаты в неравенство: 

 ложно

  Значит, искомая  полуплоскость находится с правой стороны от прямой.

• – неравенство определяет полуплоскость, ограниченную прямой:

Прямую l₃ построим по двум точкам:

  Чтобы выбрать  нужную полуплоскость, возьмем контрольную  точку КТ (0;0) и подставим её координаты в неравенство: 

 ложно

  Значит, искомая  полуплоскость находится с правой стороны от прямой.

Обозначим прямые на графике: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Областью  допустимых решений является многогранник АВСD.

   Построим  на графике линию уровня l₀. Она строится по целевым функциям и имеет вид: 
 

   Построим  вектор-градиент. Его координатами являются коэффициенты для переменных в функции цели: = (С₁;С₂) = (3;4)

   Начало  вектора находится в точке (0;0). Правильность построения проверим по свойствам вектора-градиента: всегда перпендикулярен линии уровня.

     Предельная точка при минимизации:  В (2;2)

   Min f(x) =

   Ответ:  Необходимо купить два обычных и два улучшенных набора, при этом затраты будут минимальным и составят 14 денежных единиц. 

   Если  решать задачу на максимум, то целевая  функция не ограничена, область допустимых решений является незамкнутым выпуклым многоугольником в направлении  оптимизации целевой функции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Задача  №2.

    Для изготовления четырех видов продукции  используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

    Требуется:

    1)  Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции;

    2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности;

    3) Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане;

    4) на основе свойств двойственных  оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменится выручка от реализации продукции  и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

   Решение:

1. Построим математическую модель прямой задачи.

   Введем  управляющие переменные:

   Х₁ – количество сырья А

   Х₂ – количество сырья Б

   Х₃ – количество сырья В

   Х₄ – количество сырья Г 

   Построим  функцию цели:

   F (x) = {выручка} = 5x₁+7x₂+3x₃+6x₄ max

   Построим  систему ограничений. Так как  расход сырья не может превышать  запаса, которым располагает предприятие, получим систему неравенств: 
 
 

2. Решим задачу с помощью надстройки Поиск решения в среде MS Excel.

   На  листе Excel обозначим искомые переменные x₁ x₂ x₃ и зарезервируем ячейки для их значений и оставим их пустыми.

   Обозначим целевую функцию F, введем в отдельные ячейки её коэффициенты  c₁ c₂ c_3… а в свободную ячейку (целевая ячейка) -  формулу для вычисления значений этой функции

   Для каждого ограничения задачи заполним ячейки коэффициентов левых частей неравенств a_ij,      в свободные ячейки введем формулы для вычисления их значений , укажем знак неравенства и величину его правой части b_i 

   Вызовем программу Поиск решения и укажем данные для расчета.

   Получаем:

   В результате решения задачи найден оптимальный  план:

   , При этом  f(x)=460.

   Таким образом максимальная выручка составит 460 денежных единиц, и будет получена при выпуске 80 единиц изделия А, и 10 единиц изделия Г. Изделия Б и В производить нецелесообразно.

3. Для последующего экономического анализа и сформируем «отчет по устойчивости»:

Оптимальные значения переменных Х=(x₁,x₂,x₃,x₄) приведены в столбце «Результат значение»  первой таблицы. 

2. Сформулируем  двойственную задачу и найдем ее оптимальный  план с помощью  теорем двойственности.
1. Применим правила построения модели двойственной задачи:
1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений исходной задачи – 3. Введем обозначения y_i,  i=1,2,3 – двойственные оценки каждого вида сырья. Все переменные y₁, y_2, y₃ неотрицательны.
2. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены системы ограничений прямой задачи  (200, 160, 170)

  g(Y)=200y₁+160y₂+170y₃

3. Прямая задача – на максимум, следовательно, двойственная к ней – на минимум: g(Y)min
4. Число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в прямой – 3.
5. В прямой задаче все неравенства в системе ограничений имеют вид «», следовательно, в двойственной задаче – вид «»
6. Матрицы ограничений исходной и двойственной задач являются транспонированными друг к другу:

  A=  A^’=

7. Правыми частями в ограничениях двойственной задачи являются коэффициенты при неизвестных в целевой  функции исходной задачи:

  5

  7

  3

  6

  Учитывая  эти правила, запишем модель двойственной задачи:

  найти неизвестные         Y=(y₁, y₂, y₃)

  при которых                  g (Y)=

   и выполняются ограничения: 
 
 
 

  y₁, y₂, y₃

2. Найдем решение двойственной задачи с использованием теорем двойственности при оптимальных значениях .

Согласно  основной теореме двойственности минимальное  значение g_min существует, причем g_min=f_max=460

Проанализируем  соотношения теоремы о дополняющей  нежестокости:

   Учитывая, что , получим:

         ,     ,   

  Для проверки вычислим значение целевой  функции двойственной задачи: 

  Как и должно быть в соответствии с  основной теоремой двойственности, экстремальные  значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают, значит, оптимальный план двойственной задачи найден верно.

  Итак, оптимальный план двойственной задачи , ,  

3. Пояснить  нулевые значения переменных в оптимальном  плане.

  Рассмотрим  оптимальное решение прямой задачи:

   Компоненты оптимального решения  основной задачи и положительны, следовательно, два вида продукции я А и Г рентабельны, их следует производить в указанном количестве. Непроизводительных затрат нет, так как выполняется равенство: . Действительно  
 

  Нулевое значение показывает, что производство изделия Б нерентабельно, величина непроизводственных затрат при этом:  

  Действительно: 1)

  Значит, изготовление 1 ед. изделия Б будет  снижать достигнутый оптимальный  уровень выручки на 3 единицы.

  2)

  Значит, изготовление  1 ед изделия В будет  снижать достигнутый оптимальный  уровень выручки на 1,12 единицы.

  Величина  непроизводственных затрат приведена  в отчете по устойчивости в столбце  «Нормир. Стоимость». Для рентабельных видов продукции она равна нулю. Для нерентабельных величина нормированной стоимости показывает, на сколько изменится значение целевой функции в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение.

  В столбцах «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» первой таблицы показаны предельные значения приращений целевых коэффициентов, при которых сохраняется найденное оптимальное решение.

  Так, допустимое увеличение цены на нерентабельное изделие Б равно 3 ед,  а допустимое уменьшение – практически не ограничено (строка 2 в таблице). Это означает, что если цена изделия Б возрастет более чем на 3 ден ед то оптимальное решение измениться: выпуск данного вида изделия станет целесообразным. Если цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (80, 0, 0, 10) останется прежним. (Изделие Б нерентабельно). Аналогично и с изделием В. Допустимое увеличение цены на изделие В равно 1,14 ден. ед. 

4. На  основе двойственных оценок и теорем двойственности провести экономический  анализ решения задачи.
1. Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.

Рассмотрим  оптимальное решение двойственной задачи: , ,

Нулевая компонента указывает, что ресурс сырья 1  - недефицитный, он используется не полностью. По теореме о дополняющей нежестокости выполняется неравенство:  
 

   Излишки этого ресурса составляют:

   =200 – (2 ед

   Увеличение  запаса сырья 1 не повлияет на величину общей выручки.

   Ненулевые значения означают, что ресурсы сырья 2 и сырья 3 являются дефицитными, они полностью используются в оптимальном плане и таким образом сдерживают рост функции цели. Действительно, по теореме дополняющей нежестокости выполняются равенства:  

     следовательно, ресурс  сырья 3 является  более дефицитным, чем ресурс сырья  2, его двойственная  оценка выше. Каждая  дополнительная единица  сырья 3, введенная  в производство, позволит  увеличить выручку  на 2,26 ден. ед., а каждая дополнительная единица сырья 2 – на 0,47 ден. ед.

   Относительная заменяемость ресурсов сырье 2 и сырье 3 определяется соотношением: , т.е 7 дополнительных единиц ресурса сырья 2 в плане получения выручки равноценны 34 дополнительным единицам ресурса сырья 3.

   Во  второй таблице отчета по устойчивости содержится информация, относящаяся  к ограничениям: «результат. значение» - затраты соответствующего ресурса  по оптимальному плану; «Ограничения правая часть» - запасы ресурсов.

2. Определить, как изменится выручка от реализации продукции и план её выпуска при увеличении запасов сырья 1 и 2 видов 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья 3 вида.

  Анализ  чувствительности решения к изменению  запасов сырья проведем с помощью  отчета по устойчивости.

  В столбцах «Допустимое уменьшение»  и «Допустимое увеличение» второй таблицы показано, на сколько можно  уменьшить (устранить излишек запасов) или увеличить (повысить минимально необходимое количество) ресурс, сохранив при этом оптимальное решение  двойственной задачи. Анализ использования  ресурсов в оптимальном плане  показал, что существуют причины (ограничения), не позволяющие предприятию выпускать  больше продукции, чем в оптимальном  решении, и получать более высокую  выручку. Такими ограничениями являются дефицитные ресурсы сырья 2 и сырья 3.

  По  условию задачи запас сырья 1 и  сырья 2 предполагается увеличить на 8 и 10 единиц соответственно, что соответствует  значению ,

 . Эти изменения входят в интервал устойчивости (для запасов ресурса сырья 1 и сырья 2 допустимое увеличение равно:

 , допустимое уменьшение

соответственно) значит можно применить теорему об оценках

 : –для сырья 1

  - для сырья 2

     Таким образом, увеличение запасов сырья 1 на 8 единиц не повлияет на выручку, а  при увеличении запасов сырья 2 на 10 единиц выручка увеличится на 4,7 ден. единиц.

     По  условию задачи запас сырья 3 вида предполагается уменьшить на 5 единиц, что соответствует значению: . Это изменение входит в интервал устойчивости (для запасов ресурса сырья 3 допустимое увеличение равно ) значит можно применить теорему об оценках:

     Таким образом, при уменьшении запасов  сырья 3 на 5 единиц выручка уменьшится на 11,3 ден. единицы.

     Для определения новой производственной программы воспользуемся надстройкой  «Поиск решения», изменив в системе  ограничений величину запасов сырья 1,2,3: 

  В результате решения найдем новый  оптимальный план

  При этом  .

  Таким образом, максимальная выручка уменьшится на 6,63 ден единиц. (460-453,33). Это объясняется  изменением производственной программы. При новых запасах ресурсов целесообразно производить 77 единиц продукции А и 12 единиц продукции Г. Продукция Б и продукция В по-прежнему нерентабельна. 

3. Оценить целесообразность включения  в план изделия  Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две  единицы каждого  вида сырья.

Рассчитаем  критерий эффективности включения  в производство нового изделия:  

, значит производство  изделия Д целесообразно. 

Задача  №4.

    Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного  временного ряда.

    В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице