Экономико-математическое моделирование. 7

Задание 1.

     Дан следующий отчётный межотраслевой баланс (МОБ) (пример условный).

                  L           76           36       69        40          58       

                 Ф           33           97       125      83          75

     Здесь в шахматке указаны межотраслевые потоки промежуточной продукции, в последних двух строках (за пределами таблицы) – объёмы затрат труда и фондов, а в последнем столбце – конечная продукция.

     Задания для выполнения работы 

1. Построить таблицу отчётного МОБ, проверить основное балансовое соотношение.
2. Составить плановый МОБ при условии увеличения спроса на конечный продукт по отраслям соответственно на 10, 9, 7, 8 и 7 процентов.
3. Рассчитать коэффициенты прямых и полных затрат труда и фондов и плановую потребность в соответствующих ресурсах.
4. Проследить эффект матричного мультипликатора при дополнительном увеличении конечного продукта по 3-й отрасли на 5 %.
5. Рассчитать равновесные цены при увеличении зарплаты по всем отраслям на 10 % (считать доли зарплаты в добавленной стоимости по отраслям следующими: 0,33, 0,5, 0,52, 0,35, 0,43, 0,6). Проследить эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты в 1-й отрасли на 5 %.

Вектор конечных продуктов:

Матрица В:

Решение.

1. Заполним таблицу отчётного баланса

   Основное  балансовое соотношение соблюдается: суммарный конечный продукт (последняя ячейка столбца «Конеч.продукт») и суммарная добавленная стоимость (последняя ячейка строки «Доб. ст-ть.») равны (2435,58 =2435,58).

   2. Для составления таблицы планового баланса необходимо рассчитать плановый валовой выпуск по формуле

   X =B Y

   и плановые межотраслевые потоки по формуле

                                       x_ij  =  a_ij   x_j   (i,j = )

      Для расчёта планового валового выпуска необходимо вычислить плановый конечный продукт, увеличив отчётный по каждой отрасли на 10, 9, 7, 8, и 7 (%).

Получили плановый конечный продукт:  316,25

                                                                      367,2973

                                                                      513,0864

                                                                      171,9252

                                                                    1254,468.

Плановый валовой  выпуск:

     ×                            =                                                                                                               

    
Для вычисления и плановых межотраслевых потоков воспользуемся формулой:

                                       x_ij  =  a_ij   x_j   (i,j = )

Получаем матрицу  А:

    После соответствующих вычислений получим:

                 Таблица планового  МОБ                                   

    3. Рассчитаем коэффициенты прямой трудоёмкости и фондоёмкости. Расчёт будем проводить соответственно по формулам: t_j = L_j/X_j, f_j = Ф_j/X_j. Получим:

    Подсчитаем  плановую потребность в труде  и фондах, используя формулы 

                                          L                                                   

                 t_j =  L_j / x_j .                                                      

    Эту потребность сначала рассчитаем отдельно по отраслям, а затем просуммируем, чтобы получить общую потребность  для всей экономики. Получим:

    Первые 5 цифр – это потребность в  труде и фондах отдельно по отраслям, последние – по всей экономике.

   4. Эффект матричного мультипликатора проследим, используя соотношение DX = B DY. DY рассчитаем из условия дополнительного увеличения спроса на конечный продукт по 3-й отрасли на 5 %. Итак, спрос на конечную продукцию по всем отраслям, кроме 3-й, останется прежним, т. е. прирост спроса по этим отраслям будет равен нулю, а по 3-й отрасли такой прирост будет равен

   513,22 × 0,05 = 25,661.

   Имеем,

       DY = (0  0  25,661  0  0 )^Т,

тогда

      DX = B DY.

  ×                                =     
 
 

       DX = (1,21  6,16 29,54 2,59 5,69)^Т 

     Как видим, по всем отраслям произошло изменение  спроса на валовую продукцию. В процентном соотношении это составляет:

(0,27 0,83 3,94 0,66 0,33).

   Как и следовало ожидать, наибольшее изменение спроса на валовую продукцию произошло по 3-й отрасли.

   5. Равновесные цены определим из соотношения P = B^T V, а доли добавленной стоимости рассчитаем по формуле v_j = z_j / x_j, изменив их затем из условия 10 %-го увеличения зарплаты. Разделив добавленную стоимость по отраслям на валовой выпуск, получим:

   Выделим из добавленной стоимости зарплату, воспользовавшись информацией о долях зарплаты в добавленной стоимости.

   0,33; 0,5; 0,35; 0,43; 0,6 

     Получим:

   Добавив 10 % этих величин к ранее рассчитанным v_j,  получим требуемую величину доли добавленной стоимости. Итак, новые значения v_j  равны:

   Для расчёта по формуле P = B^T V необходимо протранспонировать матрицу В коэффициентов полных затрат, заменив строки столбцами. В результате получим матрицу В^Т. Умножив её на исправленные доли добавленной стоимости, получим равновесные цены. 

   ×

   Получим:

   Как видим, результаты расчётов показали, что при 10 %-ном росте зарплаты одновременно по всем отраслям  цены на продукцию отраслей увеличились в пределах от 3,5 % до 5,7 %.

  Рассчитаем  теперь эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты по отрасли «сельское хозяйство» на 5 %. Расчёты будем вести по формуле DP = B^T DV, где DV определим из условия задачи. 

  0,897 × 0,05 = 0,045

       DV = (0,045  0  0  0  0  )^Т.

    Тогда 

DP =         

                                                                                                 ×  
 
 
 

DP = (0,0474 0,0113 0,0021 0,0013 0,0014)^Т.

   Как и ожидалось, наибольший прирост  в цене продукции пришёлся на 1-ю отрасль – увеличение на 4,74 %, а по остальным отраслям этот прирост составил доли процента. Например, по 3-й отрасли на 0,21 %.  Эффект же ценового мультипликатора проявился в том, что при изменении цены только в одной отрасли произошло изменение цен во всех отраслях и это изменение можно отследить с помощью ценового мультипликатора B^T.

Задание 2.

   Пусть в производстве 4-х видов продукции  участвуют 4 вида ресурсов. Известны нормы  расхода ресурсов на производство единицы продукции (матрица А), цены её реализации (матрица С) и запасы ресурсов (матрица В). Определить план производства продукции, максимизирующий выручку от реализации производственной продукции.

   Тогда математическая модель задачи примет вид: найти х₁, х₂, х₃, х₄ (объёмы производства каждого вида продукции), удовлетворяющие ограничениям:

               х₁ + 7x₂ + 5x₃ + 2х₄ 400,

            3x₁  + x₂ +       + 4x₄   500,

            3x₂ + 6x₃ + 2x₄

 4x₁ + 2x₂   + 5x₃ + 2x₄

при которых  функция  z=4x₁+3x₂+5x₃+2x₄ достигает максимума. 

Таблица оптимального решения

Итак, для  получения максимального дохода от реализации производственной продукции её необходимо выпустить в объёмах: х₁^*=161,1111; х₂^*=16,6667; х₃^*=24,4444; х₄^*=0. При этом z_max=816,67.

   Двойственная  задача. Найти значения переменных у₁, у₂ у₃, у₄, удовлетворяющих ограничениям: 

   y₁ + 3y₂ +       + 4y₄  4,

7y₁ +   y₂ + 3y₃ + 2y₄

               5y₁ +     + 6y₃ + 5y₄  5,

  2y₁ + 4y₂ + 2y₃ + 2y₄

, для которых целевая функция  будет минимальной.

w=400y₁+500y₂+300y₃+800y₄.

      Решения этой задачи выпишем  из последнего столбца таблицы y₁^*=0,1667, y₂^*=0,1667, y₃^*=0, y₄^*=0,8333.

   Проиллюстрируем свойства двойственных оценок на основе этой задачи.

   1. Каждая из оценок указывает,  на сколько изменится максимальное  значение целевой функции (максимальная выручка), если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов. Наибольшее изменение выручки произойдёт, если изменить объём 4-го ресурса ( = 0,8333), а изменение третьего ресурса (в границах устойчивости) не приведёт к изменению целевой функции (у₃^*= 0).

   2. Оценки у₁^*, у₂^*, у₄^* положительны. Это означает, что при реализации оптимального плана соответствующие ресурсы расходуются полностью. Проверим это. Подставим в 1-е сопряжённые условия исходной задачи.               .

   Аналогично  для второго и четвертого ресурсов.

3∙ 161,1111 + 1∙ 16,6667 + 0∙24,4444 + 4∙0 = 500

4∙ 161,1111 + 2∙ 16,6667 + 5∙24,4444 + 2∙0 = 800.

  Следовательно, 1, 2, 4-й ресурсы дефицитны, у₃^*= 0. Это означает, что в оптимальном решении третий ресурс расходуется не полностью. Проверим это. Подставим в третье ограничение исходной задачи:   

0∙ 161,1111 + 3∙ 16,6667 + 6∙24,4444 + 2∙0 = 197 300               

   Остаток второго ресурса составляет 300-197=103. Это и есть значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.

   3. Рентабельными являются 1, 2, и 3 продукции (х₁^*, х₂^*, х₃^* в оптимальном плане положительны), а нерентабельной 4-я – х₄^*. Проверим это, подставив у_i^* в сопряжённые условия двойственной задачи. Для первой продукции: . Получили строгое равенство.

   Аналогично  для 2 и 3-й продукции:

   7∙ 0,1667 + 1∙ 0,1667 + 2∙0,8333 =3,

   5∙ 0,1667 + 5∙ 0,8333 =5.

     Покажем нерентабельность четвертой продукции, подставив в четвертое ограничение двойственной задачи. Получим:

   2∙ 0,1667 + 4∙0,1667 +2∙ 0,8333 =3 > 2.

   Итак, оценка ресурсов, необходимых для  производства единицы 4-й продукции, больше цены единицы этой продукции на 3 – 2 = 1. 

   Задание 3.

Найти решение игры, заданной матрицей