Экономико математическое моделирование

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве  Российской Федерации»

(Финансовый университет)

                  Челябинский филиал Финансового университета


 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ   РАБОТА  № 1

 

по дисциплине Экономико – математические методы и модели

 

на тему вариант №8

 

 

 

 

 

 

Студент           _____________________ ______

                                                                       (фамилия, имя, отчество)

 

факультет ______ГМУ__________________ курс ____3_________  группа _____327_____

зач. книжка № __________________________

 

Преподаватель ___________________________

     (звание, степень, фамилия, имя, отчество)

 

 

 

 

Челябинск – 2013

 

Задание 1

Решить задачу графическим методом

ВР – 8

Финансовый консультант  от «Вили-Макен» консультирует клиента  по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства в  два наименования акций крупных  предприятий в составе группы «Хансон», многонационального конгломерата компаний, представленных в горнодобывающей, химической отраслях, а также табачной промышленности. Анализируются акции «Хансон-Иквити» и «Фар-Ист». Цены на акции следующие:

- «Хансон-Иквити» –  6 ден. ед. за акцию; - «Фар-Иств  – 4 ден. ед. за акцию.

Всего в наличии имеются 30 000 ден. ед., направленные на инвестиции в эти акции. Клиент уточнил, что  он хочет приобрести максимум 6000 акций  обоих наименований, при этом акций  одного из наименований должно быть не более 5000 штук. И, наконец, по оценкам «Вили-Максн», прибыль от инвестиции в эти дм акции в следующем году составит:

- «Хансон-Иквити» –  1,20 ден. ед.; - «Фар-Ист» – 1,00 ден.  ед.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту  рекомендации по оптимизации прибыли  от инвестиции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

X1 - количество акции «Хансон-Иквити»

X2 – количество акций «Фар-Ист»

 

F(x)= 1,2 x1 + x2 ® max

 

          6 x1+4x2 £ 30000


          x1+x2  £ 6000

          x1 £ 5000

          x2 £ 5000

 

         x1, x2 ³ 0

 

Поиск оптимального значения целевой функции

 

Построение ОДР (области  допустимых решений) системы ограничений

 

          6 x1+4x2 = 30000


          x1+x2  =6000

          x1 = 5000

          x2 =5000

 

x1, x2 ³ 0, следовательно ОДР находится в 1-м квандранте координатной плоскости (1), (2).

 

Определение полуплоскости  решения 1-го неравенства 6 x1+4x2 = 30000 (3)

 

X1

0

5000

X2

7500

0


 

2-е неравенство  x1+x2  =6000 (4)

 

X1

0

6000

X2

6000

0


 

3-е неравенство   x1 = 5000 (5)

Прямая параллельная  оси Y

 

4-е неравенство x2 =5000 (6)

Прямая параллельная оси X

 

Определение направления  возрастания целевой функции F(x)

 

Построение вектора-градиента

 

F(x)= 1,2 x1 + x2

 

ABCDO – ОДР (область допустимых решений)

 

Вектор-градиент

Начало – (.)  О (0;0)

Конец – (.) q (1,2; 1)

 

Построение линии уровня – перпендикулярно вектору-градиенту

 

F(x)= const = a

1,2 x1 + x2= a

a=0

1,2 x1 + x2= 0

 

X1=

 

X1

0

-1

X2

0

1,2


 

Линия уровня проходит через  (.) (0;0) и (.) (-1; 1,2)

 

Определение граничной  точки, в которой целевая функция  принимает максимальное значение.

Перемещение нулевого уровня по направлению вектора-градиента, до достижения точки,  через которую  линия покидает ОДР

 

(.) C (x1; x2)

 

         6 x1+4x2 = 30000


          x1+x2  =6000

 

         D = ½ ½= 6-4=2

        Dx1= ½ ½=30000-24000=6000

 

         Dx2= ½½=36000-3000=6000

 

        x1=    = = 3000

 

        

        x2=    = = 3000

 

(.) С (3000;3000)

 

F(x)= 1,2 x1 + x2

 

F(x)= 1,2 *3000 + 1*3000= 6600

 

Вывод: максимальная прибыль составит 6600 ден. ед. при приобретении акций  «Хансон-Иквити» в количестве 3000 шт. и «Фар-Ист» в количестве 3000 шт.

 

 

 

 

Задание 2

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех  средств: телевизора, радио, газет и рекламных плакатов. Маркетинговые исследования показали, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 5, 7 и 4 доллара в расчете на 1 доллар, затраченный на рекламу. Распределение рекламного бюджета по различным видам рекламы подчинено следующим ограничениям: 
 
а) Полный бюджет составляет 500000 долларов; 
 
б) Следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более 20% бюджета на рекламные щиты; 
 
в) Вследствие привлекательности для молодежной части населения различных музыкальных каналов на радио по этой позиции следует расходовать по крайней мере половину того, что планируется на телевидение.

 
Сформулировать и решить задачу распределения средств по различным  источникам как задачу линейного программирования и решить ее.

 

 

Решение:

 

 

Математическая модель

X1 - количество средств, затраченных на телевидение

X2- количество средств, затраченных на рекламные плакаты

X3- количество средств, затраченных на радио

X4- количество средств, затраченных на газеты

 

Соответственно ожидаемая прибыль (целевая функция) от рекламы составит:

F(x)=  10x1 + 4x2 + 5x3 +7 x4 ® max

Система ограничений

x1 + x2 + x3 + x4 £ 500000


x1 £ 200000

 x2 £ 100000

 x3 ³ 100000

 x4 £ 100000

x1 ,x2 , x3 , x4 ³ 0

Решение получено с помощью  пакета «Поиск решения»  программы  EXCEL

x1 ,x2 , x3 , x4 – изменяемые ячейки

 

X1

200000

X2

0

X3

200000

X4

100000

   

Целевая функция

=10*B1+4*B2+5*B3+7*B4

   
   

ограничения

  

=B1+B2+B3+B4

500000

=B1

200000

=B2

100000

=B3

100000

=B4

100000

   

=B1

0

=B2

0

=B3

0

=B4

0


 

 

 

Результат расчетов:

x1 = 200000

x2 = 0

x3 = 200000

x4 = 100000

F(x)=  10x1 + 4x2 + 5x3 +7 x4 = 10* 200000 + 4*0 + 5*200000 + 7*100000 = 3700000

Вывод: максимальная прибыль от рекламы составит  3700000  долларов, при распределении бюджета следующим образом: телевизор – 200000 долларов, радио 200000 долларов, газет 100000 и рекламных плакатов – 0 долларов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

Имеется динамика прибыли  торгового предприятия (табл. 1).

Дата

100 INR к 1 RUR

07.11.2012

57,6805

08.11.2012

57,7765

09.11.2012

57,7984

10.11.2012

57,8655

13.11.2012

57,4068

14.11.2012

57,6347

15.11.2012

57,8321

16.11.2012

57,7003

17.11.2012

57,7959

20.11.2012

57,6143

21.11.2012

57,1595

22.11.2012

56,8463

24.11.2012

56,2009

27.11.2012

55,7865

28.11.2012

55,6343

29.11.2012

57,0919

30.11.2012

56,2975

01.12.2012

56,5184

04.12.2012

56,4513


 

 Необходимо провести следующие исследования при помощи аналитического пакета "VSTAT":

  1. Определить наличие аномальных уровней
  2. Используя метод автоматического расчета построить все возможные модели;
  3. На основании одной лучшей модели исследовать:

-  адекватность (RSн=3,18 RSв=4,5; dн=1,18 dв=1,4);

- точность;

- построить прогноз на два шага вперед с доверительной вероятностью 95% ( tтабл=1,383);

- Результаты отобразить на графике

 

Решение:

1. В результате  проведенного  анализа с помощью пакета статистических  программ "VSTAT" наличие аномальных уравнений не обнаружено.

2. Построение моделей:

а) Кривые роста представлены в таблице 2:

 

Таблица 2 – Кривые роста

Функция

Критерий

Эластичность

Y(t)=+58.159-0.105*t

0,22

-0,02

Y(t)=+58.036-0.070*t -0.002*t*t

0,23

-0,02

Y(t)=+56.834+1.477/t

0,47

0,00

Y(t)=1./(+0.017+0.000*t)

0,22

0,02

Y(t)=1./(+0.018-0.001*exp(-t))

0,54

0,00

Y(t)= +58.166*exp(-0.002*t)

0,22

-0,02

Y(t)= +58.412-0.629*ln(t)

0,32

-0,01

Y(t)= (+58.041)*(+0.999)**t*(+1.000)**(t*t)

0,23

0,00

Y(t)= (+58.166)*(+0.998)**t

0,22

-0,02

Y(t)=0+0/ln(t)

-1,00

0,00

Y(t)= (+58.425)*t**(-0.011)

0,32

-0,01

Y(t)= +57.343-0.217*t+0.644*sqr(t)

0,22

-0,02

Y(t)= t/(-0.002+0.018*t)

3,51

-0,01

Y(t)= +56.830*exp(+0.026/t)

0,47

0,00

Y(t)= +57.766-0.005*t**2

0,23

-0,02

Y(t)= +56.574+1.785*t**1-0.867*t**2+0.183*t**3-0.018*t**4+0.001*t**5-0.000*t**6

0,11

-0,05

Выбрана функция Y(t)= +56.574+1.785*t**1-0.867*t**2+0.183*t**3-0.018*t**4+0.001*t**5-0.000*t**6


 

б) В качестве базы моделей  пакет статистических программ "VSTAT" предлагает модели, представленные в таблице 2.

 

 

Таблица 3 – Характеристики базы моделей

Характеристики  базы моделей 

     

Модель 

Адекватность 

Точность

Качество 

Y(t)= +56.574+1.785*t**1-0.867*t**2+0.183*t**3-0.018*t**4+0.001*t**5-0.000*t**6

24,26

86,99

71,31

Метод Брауна(+0.625)

41,65

54,59

51,35

Метод Хольта(+0.749, +0.000)

61,00

61,39

61,29

АР(0, 1)

41,14

58,60

54,23

АРИСС(0, 1,1)

62,28

61,43

61,64

ОЛИМП(0, 1)

45,45

0,00

11,36

Лучшая модель Y(t)= +56.574+1.785*t**1-0.867*t**2+0.183*t**3-0.018*t**4+0.001*t**5-0.000*t**6


 

Докажем адекватность лучшей модели.

Модель адекватна, если выполняется все 4 свойства остаточной компоненты одновременно. Отчет аналитического пакета содержит две таблицы, характеризующие  остаточную компоненту: таблица 4 и таблица 5.

Модель считается адекватной, если выполняется четыре свойства остаточной компоненты одновременно.

  1. Математическое ожидание остаточной компоненты должно быть равно нулю.

Свойство выполняется (см. табл. 5 строка 1)

  1. Уровни остаточной компоненты должны быть случайны:

Фактические поворотные точки определены таблицей 4. В данной задаче 9 поворотных точек.

Фактическое число поворотных точек сравнивают с расчетным  числом поворотных точек Ррасч.

Ррасч.= 7.

Вывод:  фактическое число поворотных точек больше расчетного, следовательно, свойство выполняется.

 

Таблица 4 – Таблица остатков

Таблица остатков

   

номер

Факт

Расчет 

Ошибка  абс.

Поворотные  точки

1

57,68

57,66

0,02

  

2

57,78

57,87

-0,09

1

3

57,80

57,77

0,03

0

4

57,87

57,64

0,22

1

5

57,41

57,61

-0,21

1

6

57,63

57,68

-0,04

0

7

57,83

57,77

0,06

1

8

57,70

57,81

-0,11

1

9

57,80

57,74

0,06

0

10

57,61

57,51

0,11

1

11

57,16

57,15

0,01

1

12

56,85

56,72

0,13

1

13

56,20

56,31

-0,11

0

14

55,79

56,04

-0,25

0

15

55,63

55,99

-0,35

1

16

57,09

56,19

0,90

1

17

56,30

56,55

-0,25

0

18

56,52

56,78

-0,26

1

19

56,45

56,33

0,12

  

 

 

 

Таблица 5 – Характеристики остатков

 

Характеристики  остатков

 

Характеристика

Значение

Среднее значение

0,00

Дисперсия

0,07

Среднеквадратическое  отклонение

0,26

Приведенная дисперсия

0,08

Средний модуль остатков

0,18

Относительная ошибка

0,31

Критерий Дарбина-Уотсона 

2,68

Уравнение значимо  с вероятностью 0.85


 

  1. Уровни остаточной компоненты  должны быть распределены по нормальному закону распределения. Проверка свойства осуществляется с помощью RS-критерия:

Рассчетное значение критерия произведено следующим  образом: из таблицы 4 найдено минимальное и максимальное значение остаточной компоненты, а из таблицы 5 взято значение среднеквадратического отклонения (SE):

 

RSрасч.= (Еmax-Emin)/SE = (0,90-(-0,26)) / 0,26 = 4,46

 

Расчетное значение RS-критерия сравнивается с двумя табличными RSнижняя = 3,18 и RS верхняя =4,5. Таким образом RS расчет RSрасч = 4,46 входит в выбранную доверительную вероятность, следовательно свойство выполняется.

  1. Отсутствие автокорреляции уровней остаточной компоненты. Наличие автокорреляции определяется с помощью критерия Дарбина - Уотсона. Расчетное значение критерия dрасч. возьмем из таблицы 5 и сравним с двумя табличными, нижним и верхним:

dрасч=2.68

dнижн =1,18

dверх =1,4

Таким образом, dрасч. = 2,68 > dверх =1,39 , следовательно, автокорреляция отсутствует.

 

Вывод: модель адекватна.

 

Оценим точность модели. Для оценки точности используют две  характеристики:

  1. Среднюю относительную ошибку Eотнос.

Для данной задачи среднюю  относительную ошибку рассчитаем, как  произведение значения среднего модуля остатков (см. таблицу 5) на 100 %:

Eотнос. = 0,18*100%= 18 %, т.о. сравнивая по качественной шкале среднюю относительную ошибку, можно сделать вывод о хорошей точности модели.

  1. Среднеквадратическое отклонение остаточного компонента SE

Значение SE  = 0,26 из таблицы 5, которое рассчитали с помощью пакета статистических программ "VSTAT".

 

Построение прогноза

Прогноз сделан при помощи пакета статистических программ "VSTAT", который представлен в таблице 6:

 

Таблица 6 - Прогноз на 2 шага вперед

Таблица прогнозов (p = 95%)

  

Упреждение

Прогноз

Нижняя  граница 

Верхняя граница 

1

54,32

51,75

56,90

2

49,40

42,65

56,15


 

 

 

 

 

 

                                           Литература

  1. Конспект лекций
  2. Орлова И.В. Экономико – математические методы и модели. Практическое пособие по решению задач. Москва – 2003 г.