Содержание

 

Задание №1

1. Рассчитать  проводимость на единицу длины. Найти ток утечки.
2. Рассчитать и построить графики распределения напряженности электрического поля и потенциала в плоскости KF.
3. Рассчитать и построить вектор плотности тока в точке М
4. Провести эквипотенциаль с потенциалом, равным 0,25U, где U-приложенное напряжение
5. Рассчитать и построить график распределения плотности тока по цилиндрической поверхности R1

 
 
 
 

Рисунок 1.1 – Схематичное изображение  задания №1

 
 
 
 
 
 
 
 

Решение:

Рассчитаем  проводимость на единицу  длины,  и найдем ток утечки.

     Представим  две цилиндрические поверхности двумя заряженными осями с линейной плотностью заряда +τ и –τ . Найдем их расположение.

 и

     Емкость системы на единицу длины для двух заряженных осей равна:

     Перейдем  от параметров электростатического  поля к параметрам электрического стационарного поля.

  

     Отсюда  проводимость системы на единицу длины равна:

     Ток утечки на единицу длины равен:

Рассчитаем  и построим графики  распределения напряженности  и потенциала электрического поля в плоскости КF.

     Потенциал поля в любой точке данной системы:

      Так как в плоскости КF есть только составляющая по оси абсцисс то уравнения для нахождения напряженности и потенциала электрического поля примет вид:

 

     Построим  графики распределения напряженности  и потенциала электрического поля в  плоскости КF. Так как мы приняли поверхности проводников за эквипотенциали, то потенциал внутри проводников постоянен а напряженность равна нулю.

Рисунок 1.2 – Распределение потенциала в  плоскости КF

Рисунок 1.3 – Распределение напряженности электрического поля в плоскости КF

Рассчитаем  и построим вектор плотности тока в  точке М.

 

Рисунок 1.4 – Вектор плотности тока в точке  М

     Найдем  координаты точки М и рассчитаем в ней напряженность электрического поля:

     Вектор  плотности тока будет направлен  также как и вектор напряженности электрического поля, а его модуль будет равен:

   
 

Провести  эквипотенциаль с  потенциалом, равным 0,25U, где U приложенное напряжение.

 

Рисунок 1.5 – Эквипотенциаль с потенциалом  равным 0.25U

 

     Так как система симметрична относительно оси абсцисс, то эквипотенциаль будет  представлять собой окружность с  центром лежащем на оси абсцисс.

     Запишем выражение для нахождения потенциала в любой точке данной         системы:

       

     Найдем точки пересечения эквипотенциали с осью абсцисс:

 

     Найдем  радиус и центр окружности, которая  является эквипотенциалью:

Рассчитаем  и построим график распределения плотности  тока по цилиндрической поверхности R1.

 

     Выразим координаты поверхности через радиус R1 и угол поворота φ:

     

     Тогда напряженность электрического поля в любой точке на поверхности  R1 будет выражаться так:

     

     Распределение плотности тока примет вид:

 

Рисунок 1.6 – Распределение плотности  тока

Задание №2

     По  круглому цилиндрическому проводнику протекает синусоидальный ток I=I_msin ωt, A

      Радиус  проводника R, удельная проводимость материала σ, относительная магнитная проницаемость µ.

      Определить  плотность тока и напряженность  магнитного поля внутри проводника. Числовой ответ дать для точек, находящихся  на расстоянии от оси провода r=0; r=0.25R; r=0.5R; r=0.75R; r=R при двух частотах: f и nf.

      Построить графики зависимостей модулей плотности  тока и напряженности магнитного поля от r.

 

Рисунок 2.1 – Круглый цилиндрический проводник, по которому протекает синусоидальный ток

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение:

Определим плотность тока и  напряженность магнитного поля при частоте  f=200 Гц.

 

     Подразумевается, что обратный провод не влияет на поле в прямом.  Для цилиндрического проводника плотность тока определяется по формуле:

      , где J₀(х) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а J₁(х) – функция Бесселя первого рода первого порядка.

     Напряженность магнитного поля рассчитывается по формуле:

     

     

     Рассчитаем  плотность тока и напряженность  магнитного поля внутри проводника.

     

Определим плотность тока и  напряженность магнитного поля при частоте  nf=5000 Гц.

 

     Рассчитаем  плотность тока и напряженность магнитного поля внутри проводника.

 
 
 
 
 
 
 

Построим  графики зависимостей модулей плотности  тока и напряженности  магнитного поля от r.

 

Рисунок 2.2 – Зависимость модуля напряженности магнитного поля от r. Основной линией построен график при частоте f=200, Гц, пунктирной при частоте f=5000, Гц. 

Рисунок 2.3 – Зависимость модуля плотности  тока от r. Основной линией построен график при частоте f=200, Гц, пунктирной при частоте f=5000, Гц.

Задание № 3

     По  отрезку прямолинейного провода  длиной l проходит переменный ток i=I_msin10⁸t, А. Среда окружающая провод – воздух. Считать, что со средней точкой отрезка провода совмещено начало отсчета сферической системы координат и что ось отсчета углов совпадает с положительным направлением тока в проводе.

      Требуется:

1. Построить полярную диаграмму зависимости от угла θ модуля среднего за период значения вектора Пойтинга в точках сферы радиусом R.
2. Записать выражения для мгновенных значений векторов напряженности электрического и магнитного полей в точках А и В, предварительно выяснив, в какой зоне поля находится каждая точка. Радиус R, координаты точек A и В в сферической системе координат приведены в таблице.

 
 

Рисунок 3.1 – Прямолинейный провод длиной l по которому проходит переменный ток i=I_msin10⁸t, А.

 

Решение:

Построить полярную диаграмму  зависимости от угла θ модуля среднего за период значения вектора Пойтинга в точках сферы радиусом R.

 

Определим, в  какой зоне находиться точка.

     Запишем мгновенные значения напряженности  магнитного и электрических полей, с учетом того что точка удаленная  на расстояние R находиться в дальней зоне:

     

     Запишем вектор Пойтинга и его среднее  значение за период:

       

     

Рисунок 3.2 – Полярная диаграмма

Записать  выражения для  мгновенных значений векторов напряженности  электрического и  магнитного полей в точках А и В, предварительно выяснив, в какой зоне поля находится каждая точка.

 

а) Точка А.

    точка находиться в средней зоне

  Запишем мгновенные значения напряженности  электрического поля:

        
 
 
 

     Запишем мгновенные значения напряженности  магнитного поля:

      

       б) Точка В.

        точка  находиться в дальней зоне

  Запишем мгновенные значения напряженности  электрического поля:

  

     Запишем мгновенные значения напряженности  магнитного поля:

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выводы:

1. Первое  задание:

  Наибольшее  значение Е(х) в точках 1 и 3, наименьшее – в точках 2 и 4.

При расчете  и построении вектора плотности тока в точке М выяснили, что он имеет только y-составляющую.

Эквипотенциаль  смещена от трубы с радиусом  R₁ влево (в противоположную сторону от другой трубы).

Максимальное  значение плотности тока на цилиндрической поверхности R₁ - в точке 1 (самой близкой к другой трубе), а минимальное значение – в точке 2.

2. Второе задание

При увеличении частоты f, магнитное и электрическое поля вытесняются от центра к стенкам цилиндрического провода (“поверхностный эффект”).

При увеличении r от 0 до R, j_m увеличивается в ‘b₀’ раз.

При увеличении r от 0 до R, H_m увеличивается в ‘b₁’ раз.

3. Полярная диаграмма имеет вид лепестка.

Напряженность электрического поля в дальней зоне больше напряженности магнитного поля в Z_в.

В средней  зоне поле до конца не сформировано, поэтому при расчетах мы не можем ни чем пренебрегать.