Электростатика. Сила электрического взаимодействия

Электростатика. Сила электрического взаимодействия.

Сила электрического взаимодействия действует на расстоянии.

Постулаты (факты, которые нельзя доказать).

1. Существует некое количество, называемое зарядом, которое определяет взаимодействие тел на расстоянии. Заряды бывают двух типов: условно обозначаемые “+” и “-”. Одинаково заряженные тела отталкиваются, разноимённо заряженные притягиваются.
2. Количество электрических зарядов во вселенной не меняются во времени (закон сохранения заряда).
3. Пусть a – характерный размер заряженных тел, r – расстояние между ними. В случае, если , сила взаимодействия между телами определяется по формуле:

,

где - величина зарядов, - коэффициент пропорциональности, зависящий от системы единиц.

1. Если имеется заряженных тел, удовлетворяющих третьему постулату, то сила, действующая на тело, равна векторной сумме всех сил, действующих со стороны каждого заряда.

.

Постулаты электростатики.

1. Найдется такая система отсчета, в которой все заряды неподвижны.
2. Заряд во всех системах отсчета сохраняется.
3. Закон Кулона:

.

Гауссова система: .

СГС: - величина заряда СГСЕ.

СИ: , .

4. Принцип суперпозиции полей.

Электростатика – наука о неподвижных зарядах.

Понятие электрического поля. Напряженность.

Предположим, что в пространстве имеет место быть зарядов, удовлетворяющих постулату два ( - велико, заряды – малы). Исследуем, как это тело действует на другие заряды.

Для этого надо взять еще один маленький точечный заряд (удовлетворяющий постулату 2). Для простоты положим, что (пробный заряд) в той системе отсчета, в которой мы работаем. Будем помещать этот заряд в разные точки пространства, и измерять силу, действующую на заряд (обозначим ее буквой ). Получим некоторую векторную функцию, зависящую от векторного аргумента. Получим векторное поле. Если все заряды неподвижны, то поле – электростатическое. Величина называется напряженностью электростатического поля.

Частный случай для точечного заряда: .

Из принципа суперпозиции для сил следует принцип суперпозиции полей. Пусть имеются зарядов, – их поля. .

Силовые линии электрического поля.

Пусть у нас имеется некоторое заряженное тело. Выберем точку, поместим туда пробный заряд и нарисуем вектор напряженности. Далее выберем другую точку в направлении этого вектора и опять нарисуем вектор напряженности. И так далее.

Таким образом, мы построим некоторую ломаную, в пределе представляющую из себя гладкую кривую. Касательная к этой кривой в каждой точке будет совпадать с направлением вектора напряженности электрического поля. Построенные таким образом кривые называются силовыми линиями.

Теорема Гаусса для электрических полей.

Рассмотрим некоторую поверхность , в которой имеется электрическое поле. Выберем на поверхности малую площадку , настолько малую, что ее можно считать частью плоскости. Построим нормаль к этой площадке.

.

Пусть настолько мало, что вектор электрического поля на постоянен. Введем величину .

.

Величина называется потоком вектора через площадку . Если мы разобьем все поверхность на площадки и их просуммируем, то получим поток вектора через поверхность .

.

Теорема Гаусса: поток вектора через замкнутую поверхность равен

,

где – полный заряд, содержащийся внутри поверхности .

Доказательство.

1. Точечный заряд и поверхность в виде сферы с центром в точечном заряде.

Поскольку модуль вектора напряженности поля точечного заряды определяется , то модуль вектора напряженности во всех точках сферы постоянен. Из закона Кулона следует, что вектор напряженности направлен по радиусу.

.

1. Точечный заряд и произвольная поверхность, окружающая точечный заряд.

Выберем площадку на поверхности. Она должна быть настолько мала. Чтобы можно было ее считать плоскостью и вектор напряженности электрического поля на ней считать постоянным.

,

где – конус, под которым из точки можно увидеть выбранную площадку.

1. Заряженное тело внутри произвольной поверхности.

Разобьем заряженное тело на множество кусочков, удовлетворяющих второму постулату. Введем функцию плотности заряда . По доказанному выше следует, что для каждого точечного заряда теорема Гаусса выполняется.

где .

.

Замечания.

1. Теорема Гаусса выглядит так замечательно потому, что поле обратнопропорционально .
2. для гравитационного поля тоже можно записать теорему Гаусса.

Пример1. Поле заряженной сферы.

– радиус сферы, – заряд, равномерно распределенный по поверхности сферы .

Выберем точку, находящуюся на расстоянии от центра сферы. Окружим сферу воображаемой поверхностью, проходящей через эту точку, и для нее запишем теорему Гаусса. Поле выбранной поверхности симметрично, так как симметрично поле источника.

Большая сфера создает такое же поле, как и точечный заряд.