Элементы функционального анализа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РФ

Государственное образовательное  учреждение

 высшего профессионального  образования

«Мурманский государственный  гуманитарный университет»

(МГГУ)

 

 

 

РЕФЕРАТ

Тема: «Элементы функционального анализа»

 

 

 

                                           Выполнил: студент 2 курса, факультета  ФМОИиП

                                        Воробьева Мария Петровна

                                        Проверила: Ст. преподаватель кафедры  МиМОМ                             Шупова  Галина Михайловна 

 

 

 

 

 

Мурманск,  2011

СОДЕРЖАНИЕ

Линейные функционалы…………………………………..................................................3

Список используемой литературы………………………………………………………32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейные функционалы

 

Теорема (Банаха — Штейнхауса). Если последовательность линейных функционалов, определенных на банаховом пространстве Е, ограничена в каждой точке х Е, то последовательность норм {||ƒ_n||} этих функционалов также ограничена.

Теорема 1. Если последовательность линейных функционалов {f_n(x)} сходится в себе в каждой точке банаховом пространства Е, то существует линейный функционал f (х) такой, что

                                                                       ƒ_n→ f (х)

для любого х Е.

Теорема 2. Для того чтобы последовательность {f_n} линейных функционалов сходилась в каждой точке х банахова пространства Е к функционалу f₀, необходимо и достаточно, чтобы

1. последовательность {||f_n||} была ограничена,

2. f_n(x) → f₀(х) любого х из некоторого множества М Е, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в Е.

Теорема 3. Линейный функционал f₀, заданный на линейном многообразии L, всюду плотном в линейном нормированном пространстве Е, и ограниченный на нем, может быть продолжен на все пространство без увеличения нормы и притом однозначно.

§ 1. Теорема Банаха — Хана и ее следствия

Нижеследующая теорема показывает возможность продолжения на все пространство без увеличения нормы линейного функционала, заданного первоначально на линейном многообразии L линейного нормированного пространства Е, не обязательно всюду плотном в Е.

Теорема 4. (Банаха —Хана). Всякий линейный функционал f (х), определенный на линейном многообразии L линейного нормированного пространства Е, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы, т. е. можно построить линейный функционал F(x), определенный на Е и такой, что

1. F(x)= f(x) для x L,
2. ||F||_E=|| f ||_L

Возьмем элемент х₀ L и рассмотрим множество (L; x₀)=L_l элементов вида х + tx₀, где

х L, a t — любое вещественное число.

Очевидно, множество L₁ есть линейное многообразие. Докажем, что каждый его элемент однозначно представим в виде x+tx₀. Допустим, что имеются два представления элемента и L_1.

и = х₁ + t₁x₀ и и = х₂ +t₂x_0,

причем t_{1 ≠} t₂ (в противном случае из х₁₊t₁x₀ = х₂+t₁x₀ получаем, что х₁ = x₂ и представление единственно). Имеем

x₁ — x₂-=(t₂ — t₁)x_о и x₀ = x₁-x₂

         t₂-t₁

Но это невозможно, так  как x₀ L, а х_х и x₂ L. Итак. t₁ = t₂, а значит, х₁ = х₂, и однозначность представления доказана.

Возьмем теперь два элемента x’ и x" L. Имеем

Отсюда

Так как х’ и х" — произвольные элементы из L, независимые друг от друга, то

Существует, следовательно, вещественное число с, удовлетворяющее неравенствам

Возьмем теперь любой  элемент u L₁. По доказанному выше он имеет вид

u=x+tx₀

где элемент х L и вещественное число t однозначно определены. Введем новый функционал φ >(u), определив его для элемента и = x+tx₀ равенством

φ(u)= f (x)-tc,

где с — некоторое фиксированное вещественное число, удовлетворяющее неравенствам (1).

Очевидно, f и φ на L совпадают. Очевидно также, что φ(u) аддитивен. Покажем, что φ(u) ограничен и имеет ту же норму, что и f (x).

Рассмотрим два случая.

1. t > 0. Из x L и из (1) получаем

                           t

                

Итак,

                  

 

2. t < 0. Из (1) получаем

Отсюда

т. е. снова получили (2).

Таким образом, неравенство (2) справедливо для всех u (L;х₀)= L_1. Заменив в (2) и на — u, получим

Отсюда и из

откуда

 

Но так как функционал φ есть продолжение функционала  ƒ с L на L_1, то

Следовательно,

 (отметим, что норму функционала φ мы определяем, исходя из того линейного многообразия, на котором он определен). Таким образом, функционал f(x) продолжен на L₁ = (L; х₀) с сохранением нормы.

Если  пространство Е сепарабельно, то доказательство теоремы Банаха — Хана можно завершить следующим образом. Пусть N—счетное всюду плотное множество в Е. Возьмем элементы этого множества, которые не попали в L, и занумеруем их:

 

 

Распространяя функционал f(x) на многообразия

 

 

и т. д., мы в конце концов построим некоторый линейный функционал φ_ω, определенный на всюду плотном в Е линейном многообразии L_ω, равном объединению всех L_n, причем || φ_ω ||=||ƒ||. Продолжая затем функционал по непрерывности на все Е (теорема 3), мы приходим к требуемому функционалу F. В общем случае доказательство теоремы Банаха — Хана завершается так.

Рассмотрим  всевозможные продолжения с сохранением нормы функционала ƒ. Как показано выше, такие продолжения существуют. В множестве Φ этих продолжений введем частичное упорядочение, полагая, что

если линейное многообразие L’, на котором определен ƒ', является частью линейного многообразия L", на котором определен ƒ", и ƒ' (х) = ƒ" (х) при х L'. Ясно, что соотношение обладает всеми свойствами упорядочения.

Пусть теперь {ƒ_α} — произвольное упорядоченное подмножество множества Ф. Это подмножество имеет верхнюю грань, которой является функционал ƒ_*, определенный на линейном многообразии L_* = L_α где L_a — область определения ƒ_α, причем

                    

если x L_* есть элемент Lα₀. Очевидно, ƒ_* — линейный функционал и ||ƒ_*|| = ||ƒ||, т. е.ƒ Ф. Таким образом, мы видим, что все условия леммы Цорна выполнены, и Ф имеет максимальный элемент F. Этот функционал определен на всем Е, так как в противном случае его можно было бы продолжить и F не был бы максимальным элементом Ф.

Теорема полностью доказана.

Следствие 1. Пусть Е—линейное нормированное пространство и х₀=0 — любой фиксированный элемент из Е.

Тогда существует линейный функционал ƒ(x), определенный на всем Е и такой, что

1) ||ƒ||=1,

2) ƒ(x₀)=||x₀||

Рассмотрим  множество элементов {tx₀} = L, где t пробегает всевозможные вещественные числа. Множество L является подпространством пространства Е, определяемым элементом x₀. На L определим функционал φ(x) следующим образом: если л: = tx₀, то

φ(x₀)=t||x₀||.                                                                     (3)

Очевидно,

1. φ(x₀)=||x₀||,
2. |φ(x)|=|t| ||x₀||=||x||, откуда ||φ||=1

 

Продолжая функционал φ(х) на все пространство без увеличения нормы, получим функционал f (х), имеющий требуемые свойства.

Следствие 2. Пусть в линейном нормированном пространстве Е заданы линейное многообразие L и элемент х₀ £ L_% находящийся на расстоянии d>0 от L(d= inf (||x₀-x||).

Тогда существует функционал ƒ(x), определенный всюду на Е и такой, что

1. ƒ(x)=0 для x L
2. ƒ(x₀)=1
3. ||ƒ||=1

                   d

Рассмотрим  множество (L; x₀). Любой его элемент однозначно представим в виде u=x+tx₀, где х L и t — вещественное число. Построим функционал φ(и) по следующему закону:

Если u=x+tx₀,(u)=t

Очевидно, φ(x) = 0, если x L, и φ(x₀)=1.

Найдем || φ ||. Имеем

 

откуда

 

                                                              (4)

Далее, существует последовательность {x_n} L такая, что

 

lim||x_n-x₀|=d.

Имеем

                          

И так как

               

то

                             

Переходя к пределу, находим

                                    

или

                                                                                                                          (5)

Сравнивая (4) и (5), получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах

Для многих конкретных функциональных пространств  можно указать общий вид линейных функционалов, определенных на этих пространствах. Знание общего вида линейных функционалов может оказаться полезным при  различных исследованиях функциональных пространств.

Линейные функционалы в и-мерном пространстве Еn.

Пусть ƒ — линейный функционал определенный на Еп. Для

 

                                               

где {e₁,e₂,…,e_n} — базис в Еп, имеем

 

 

Обратно, выражение вида

 

                                                                     (1)                                                   

где f i — произвольные числа, есть, очевидно, линейный функционал на Еп. Таким образом, выражение (1) дает общий вид линейного функционала, определенного на п-мерном пространстве. Так как f i можно рассматривать как компонент n-мерного вектора ƒ, то пространство Еп*, сопряженное с Еп, есть также n-мерное пространство с метрикой, вообще говоря, отличной от метрики Еп.

Пусть, например, ||x|| = m a x |ƺ_i|; тогда

           ⁱ

                             

 

откуда

                                                                     

                                                                                                                     (2)

 

С другой стороны, если взять  элемент

 

То ||x||=1 и

 

и потому

 

                                                                    (3)

Из (2) и (3) следует, что 

 

Если  в Еп ввести евклидову метрику, то легко убедиться, что в Еп* метрика также будет евклидовой.

Согласно  терминологии, принятой в тензорной  алгебре, элементы пространства Еп называются контравариантными, а элементы пространства Еп* — ковариантными. Линейный функционал f (х) представляется в виде скалярного произведения

ƒ (x) = (x, ƒ) .

где х  Е п, f E n*.

Общий вид линейных функционалов в S. Пусть ƒ(х) — линейный функционал, заданный на S.

Положим e_n={ƺ_i⁽ⁿ⁾}, где ƺ_n⁽ⁿ⁾=1 и ƺ_i⁽ⁿ⁾=0 для i≠n и пусть ƒ(e_n)=а_п. Так как сходимость в пространстве S есть сходимость по координатам, то для элемента x ={ƺ₁,ƺ₂,…,ƺ_n,…} имеет место равенство

 

 

 

Отсюда в силу непрерывности функционала ƒ(х) получаем

 

Так как этот ряд должен сходиться для любой числовой последовательности {ƺ_k}, то a_k, начиная с некоторого номера, должны быть равны нулю и, следовательно,

 

 

Так как, обратно, такое выражение  для любых вещественных чисел a_k и любого натурального п есть линейный функционал в пространстве S, то мы получаем: общий вид линейных функционалов, определенных на пространстве s, дается равенством

 

Числа п и a_k, k =1,…,n однозначно определяются функционалом ƒ .

Общий вид линейных функционалов в С [0, 1]. Теорема Рисса. Пусть на С [0, 1] задан линейный функционал ƒ(х). Так как каждая непрерывная функция, заданная на [0, 1] ограничена и так как для непрерывной функции

 

sup x ( t )= max x(ƒ),

^{0≤t≤1                0≤t≤1}

 

то пространство С [0, 1] можно рассматривать как подпространство пространства M [0, 1], где

                                             ||x|| = р (x,0) = sup |х (t)|.

                                                                                           ^{0 ≤t≤1}

Заданный в пространстве С [0, 1] функционал f (х) продолжим с сохранением нормы на все пространство M [0, 1]; продолженный функционал обозначим через F(x),

Рассмотрим функции

 

Очевидно,

  

Пусть

 

                                                  F[u_t(ƺ)]= g (t)

Докажем, что g(t) — функция с ограниченным изменением.

Разобьем [0, 1] на части точками

     t₀=0<t₁<t₂<…<t_n-1<t_n=1.

Построим сумму

    

и положим

Тогда

 

Отсюда

 

 

так как

Итак,

 

 

и, следовательно, g(t) — функция с ограниченным изменением.

Возьмем любую непрерывную функцию x(t), заданную на [0, 1], и построим функцию

 

 

z_n(t) есть ступенчатая функция. Имеем

 

Поэтому

 

С другой стороны, при  n → последовательность {z_n (t)}равномерно сходится к x(t), т. е. ||z_n-x || → 0, а так как функционал F(x) непрерывен, то

 

Поэтому

 

Но

F(x)=ƒ(x)

для непрерывной функции  x(t). Поэтому

 

 

При этом функция g (t) может быть заменена на функцию g(t), совпадающую с ней в точках непрерывности и полу-непрерывную слева: g (t — 0) = g (t),

Итак, приходим к теореме Ф. Рисса.

Теорема (Ф. Рисса). Всякий линейный функционал, заданный в пространстве С [0, 1], выражается с помощью интеграла Стильтьеса по формуле (4), где g(t) — функция с ограниченным изменением, определяемая по функционалу ƒ(х).

Легко видеть, что и, обратно, функционал

где h(t) — любая функция с ограниченным изменением, является линейным функционалом в пространстве C[0,1].

В самом  деле, аддитивность φ(x) очевидна, а непрерывность следует из того, что при равномерной сходимости последовательности функций можно переходить к пределу под знаком интеграла Стильтьеса.

Таким образом, убеждаемся, что формула (4) дает общий вид линейных функционалов в пространстве С [0, 1] в том смысле, что этой формулой при всевозможных функциях с ограниченным изменением g(t) выражаются все линейные функционалы в С[0, 1].

Найдем норму функционала  ƒ(x). Имеем

 

 

откуда полное изменение

С другой стороны, из (4)

Отсюда

Из (5) и (6) следует, что

Легко показать, что соответствие между линейными  функционалами в С [0, 1] и функциями с ограниченным изменением на [0, 1], устанавливаемое формулой (4), взаимно однозначно, если считать тождественными две функции с ограниченным

изменением, отличающиеся во всех своих точках непрерывности на постоянное слагаемое.

При замене в формуле (4) функции g(t) на g(t) неравенство (6) остается в силе, а неравенство (5) только усилится. Итак, равенство (7) сохраняется.

Общий вид линейных функционалов в lр. Пусть f(x) — линейный функционал, определенный на lр. Так как элементы e={ƺ_i^(k)} , где ƺ_i^(k)=1 и ƺ_i^(k)= 0 при i≠k, образуют базис в 1p, то любой элемент х 1р можно записать в виде

 

В силу линейности функционала f (x) будем иметь

   

 

Положим f (e_k) = c_k. Тогда числа с_к однозначно определяются функционалом ƒ, и получаем

                     (8)

Выясним свойства чисел c_k. Положим xn = { ƺ_i⁽ⁿ⁾}, где

 

Число q здесь взято так, чтобы выполнялось равенство

Тогда

  

С другой стороны,

 

Таким образом,

 

откуда

   

Это неравенство справедливо  для любого п. Поэтому

Итак,

Обратно, возьмем произвольную последовательность

Тогда

является линейным функционалом в пространстве lр. В самом деле, аддитивность этого функционала очевидна, а ограниченность доказывается с помощью неравенства Гельдера.

Таким образом, формула (8) дает общий вид линейних функционалов в пространстве lр.

Вычислим  норму функционала ƒ. Из формулы (8) с помощью неравенства Гельдера получаем

 

Следовательно,

 

 

Сравнивая (9) и (10), заключаем, что

Следствие. Возьмем пространство i₂. Общий вид линейного функционала, определенного на i₂, будет

 

где

 

и

 

В функциональном анализе, кроме пространства lр, рассматривают еще пространство l , элементами которого являются всевозможные последовательности чисел

              

           

такие, что

причем

Можно доказать, что всякий линейный функционал в пространстве l имеет вид

где {c_k} — ограниченная последовательность вещественных

чисел. Норма функционала  ƒ дается равенством

 

 

Общий вид линейных функционалов в  пространстве Lp [0, 1]. Рассмотрим произвольный линейный функционал ƒ (x) , заданный на Lp [0, 1] (р > 1). Положим

и пусть g(i) = [u_t(ƺ)].

Докажем, что g(t) — абсолютно непрерывная функция. Пусть , i = 1, 2, . . . , п — произвольная система неперекрывающихся интервалов, расположенных на отрезке [0, 1].

 

Имеем

 

 

Из полученного  неравенства следует абсолютная непрерывность функции g{t). Как абсолютно непрерывная функция, g(f) является интегралом Лебега от своей производной.

Положим g'(t) = α (t). Тогда

Ho

 

так как

есть нулевой элемент  пространства Lp[0, 1]. Следовательно

    

Пользуясь функцией , получим

и так как ƒ — линейный функционал, то, полагая

        

получим

   

Пусть х (t) — произвольная ограниченная измеримая функция. Тогда найдется такая последовательность ступенчатых функций {z_m(t)}, что

 

 

почти всюду при m→ . При этом можно считать, что последовательность {z_m(t}) равномерно ограничена.

По теореме  Лебега об интегрировании ограниченной последовательности получаем

Так как, с другой стороны,

z_n(t)→x(t)

 

почти всюду и z_n(t) равномерно ограничены, то

при m→ . Поэтому f (z_m)→ f (х) и, следовательно,

Рассмотрим теперь функцию х_п(t), определенную посредством равенства

 

 

где q— число, сопряженное с р , т, е.

Функция x_n(t) ограничена и измерима. Следовательно,

и

С другой стороны,

Следовательно,

 

Отсюда

 

Но, очевидно,

  

 

при п→ почти всюду на [0, 1], так как a(f) — суммируемая функция и, следовательно, обращается в бесконечность лишь на множестве точек меры нуль. Переходя к пределу при п→ , получаем

или

     

Отсюда следует, что

 

Пусть теперь x (f) — любая функция из Lp[0, 1]. Тогда существует   Далее, найдется последовательность ограниченных функций {x_m(t)} такая, что

 

при m→ . В силу неравенства Гельдера

   

при m→ . Так как x_m(t)—ограниченные измеримые функции, то

 

 

Следовательно,

при m→ . С другой стороны,

 

     f (x_m)→ f (x) .

Но тогда получаем, что

                                                                                 (12)   

 

Итак, всякий функционал, определенный на Lp [0, 1], можно представить с помощью равенства вида (12). Обратно, если β(t) — произвольная функция, принадлежащая Lq[0, 1], то

есть линейный функционал, определенный на Lр [0, 1]. В самом деле, аддитивность функционала очевидна, а ограниченность легко следует из неравенства Гельдера.

Таким образом, формула (12) при произвольной фиксированной функции

a(t) Lq[0, 1] дает общий вид линейного функционала, определенного на Lp[0, 1].

Нетрудно  найти норму этого линейного  функционала. Из (12) имеем

          

Следовательно,

       

Сопоставляя (13) и (11), заключаем, что

Часто рассматривают пространство L[0, 1] функций, суммируемых по Лебегу, в котором

   

Общий вид линейных функционалов, определенных на L [0, 1], дается формулой

где a(t) — почти всюду ограниченная функция и

 

 

Общий вид линейных функционалов в  гильбертовом пространстве. В гильбертовом пространстве Н рассмотрим линейный функционал f (x) . Так как Я — комплексное линейное пространство, естественно предполагать, что f (x) может принимать комплексные значения. При этом комплексный функционал называется линейным, если он аддитивен, однороден и непрерывен (отметим, что для комплексных функционалов эти три условия независимы).

Пусть f(х) — произвольный линейный функционал, определенный в гильбертовом пространстве Н. Обозначим через L множество нулей этого функционала, т. е. совокупность элементов х Н таких, что f (x) = 0. Легко видеть, что L — подпространство. В самом деле, то, что L — линейное многообразие, следует из аддитивности и однородности функционала f (x), а из непрерывности f (х) следует замкнутость L.

Возьмем произвольный элемент пространства W, не принадлежащий L, и обозначим через х₀ проекцию этого элемента на подпространство H — L. Пусть ƒ(x₀)= а, причем, очевидно, а≠0. Положим

 

Тогда

                      ƒ(x₁)=1.

 

Если теперь х — любой элемент пространства Н и ƒ(x)=β, то мы имеем

ƒ (x)-βƒ(x₁)=0

или

  ƒ (x-βx₁)=0

 

откуда х –βx₁= z , где z L, или

  х = βx₁+z.

Это равенство показывает, что пространство Н есть ортогональная сумма подпространства L и одномерного подпространства, порожденного элементом x_1.

Так как, x_{1 ┴} z то мы имеем

          (x, x₁)=β||x₁||²

или, так как β= f (x),

 

Обозначив элемент через u, получаем равенство

 

       ƒ(x)=(x, u)                                                (14)

 

т. е. выражение произвольного  линейного функционала ƒ(х) в виде скалярного произведения элемента х на фиксированный элемент и. Элемент и определяется по функционалу ƒ однозначно, ибо если также

     f (x) = (x, v)

то

   (х, u — v) = 0

для любого х Н, откуда следует, что u = v . Далее из равенства (14) получаем

 

    

откуда следует, что

            ||ƒ|| ≤ ||u||.

Так как, с другой стороны,

       f (u) = (u, и)=||u||²,

то отсюда следует, что ||ƒ|| не может быть меньше, чем ||u||.

Итак, ||ƒ|| = ||u||, и мы получили следующую теорему:

всякий линейный функционал ƒ(x), определенный в гильбертовом пространстве, имеет вид

         f (x) = (x, и),

где элемент и однозначно определяется функционалом ƒ. При этом

         ||ƒ||=||u||                                               (15)

Легко видеть, что и, обратно, при любом и Н соотношение (14) определяет линейный функционал f (х) с нормой (15).

Таким образом, формула (14) дает общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.

 

 

§ 3. Сопряженные пространства и  сопряженные операторы

Как уже было указано, совокупность всех линейных функционалов ƒ (х), определенных на линейном нормированном пространстве Е, образует банахово пространство Е*, называемое пространством, сопряженным с пространством Е. Пользуясь общим видом линейных функционалов, в некоторых случаях можно указать реализацию пространства Е* с точностью до изоморфизма.

1. Пусть Е=С[0,1]. Рассмотрим множество функций g(t)с ограниченным изменением, определенных на [0, 1] и обращающихся в нуль в точке t=0. Будем считать, что в точках разрыва τ g(τ) = g (τ-0). Очевидно, это множество есть линейное пространство при обычном определении операции сложения двух функций и умножения функции на вещественное число. Введем норму для функций с ограниченным изменением, полагая ||g||= {g}. Нетрудно видеть, что все аксиомы нормы выполняются.

Полученное  линейное нормированное пространство называется пространством V функций с ограниченным изменением.

Рассмотрим, с другой стороны, пространство Е* = С*[0,1] всех линейных функционалов, определенных на С [0,1]. Как доказано выше, каждый линейный функционал ƒ С*[0, 1] определяет однозначно некоторую функцию g (t), g (0) = 0, с ограниченным изменением и, обратно, каждой функции g(t), g (0) = 0, с ограниченным изменением соответствует функционал ƒ С*[0, 1]. Поэтому между множеством всех линейных функционалов из С*[0, 1] и множеством всех элементов пространства функций с ограниченным изменением существует взаимо однозначное соответствие. Так как очевидно, что сумме функционалов ƒ₁+ƒ₂ отвечает сумма g₁+g₂ соответствующих функций и функционалу λƒ соответствует функция λg(t), то соответствие между С*[0, 1] и пространством функций с ограниченным изменением есть изоморфизм. Так как, далее, ||ƒ|| = {g} = ||g||, то это соответствие будет также изометрическим.

С тачки  зрения многих вопросов функционального  анализа эти два пространства неразличимы; поэтому часто говорят, что пространство, сопряженное с пространством непрерывных функций, есть пространство функций с ограниченным изменением.

2. Пусть E =Lp [0, 1]. Рассмотрим, кроме того, пространство Lq[0, 1], где . Так как каждому функционалу ƒ Lp*[0, 1] и однозначно соответствует функция α(t) Lp[0, 1] и обратно», то между пространствами Lр*[0, 1] и Lq[0, 1] устанавливается взаимно однозначное соответствие. Как и раньше, убеждаемся в том, что это соответствие изоморфно и изометрично, т. е. Lp*[0, 1 ] = Lq[0, 1], понимая это равенство с точностью до изометрии и изоморфизма. В частности, при р = 2 имеем L₂*[0,1]=L₂[0,1]. Поэтому пространство L₂[0,1] называется самосопряженным пространством.

3 . Легко  видеть, что  l^*_p = lq И, в частности, l*₂=l₂.  Пространство, сопряженное с линейным нормированным, не обязательно полным пространством, есть банахово, т. е. полное линейное нормированное пространство. Так как Lp [0, 1] есть пространство, сопряженное с Lq[0, 1], , и 1р— сопряженное с lq, то как следствие из 2 и 3 мы получаем новое доказательство полноты пространств Lp [0, 1] и 1р.

4. Линейный  функционал в гильбертовом пространстве порождается элементом того же пространства. Гильбертово пространство является самосопряженным.

По той  же причине и n-мерное евклидово пространство является самосопряженным.

Рефлексивные пространства. Пусть E — линейное нормированное пространство и Е*— сопряженное пространство. Так как Е* также линейное нормированное пространство, то можно построить Е** =(Е*)* и т. д.

Рассмотрим  подробнее Е**. Это — пространство линейных функционалов F, определенных на пространстве E*, элементами которого являются линейные функционалы, определенные на Е. Рассмотрим линейный функционал f(х), определенный на Е. Здесь функционал ƒ фиксирован, а х — переменный элемент из Е.