Элементы векторной, линейной алгебры и аналитической геометрии, введение в математический анализ, производная и ее приложения, функции н
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»
Строительный
факультет
Контрольная работа № 1, 2
по дисциплине «Математике»
на тему: «Элементы векторной, линейной алгебры
и аналитической геометрии, введение в математический анализ,
производная и ее приложения, функции нескольких переменных,
неопределенный
и определенный интегралы, кратные
интегралы,
дифференциальные уравнения, ряды»
Майстренко Н.В.
Чебоксары 2010
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет
имени И.Н. Ульянова»
Строительный
факультет
РЕЦЕНЗИЯ
на
контрольную работу
по дисциплине
______________________________
специальность
______________________________
курс __________
группа ______________________________
Ф.И.О. студента
______________________________
Тема ______________________________
______________________________
Достоинства
работы ______________________________
______________________________
Недостатки
работы ______________________________
______________________________
Оценка
______________________________
(зачтено, не зачтено, на
Преподаватель
______________________________
(Ф.И.О., подпись)
Дата ______________________________
Чебоксары 2010
Содержание
Лист
1 Контрольная работа№1.Элементы векторной, линейной алгебры
и аналитической
геометрии
2 Введение в математический анализ. Производная и
ее приложения
3 Функции нескольких
переменных.
4 Контрольная
работа № 2. Неопределенный и определенный
интегралы
5 Кратные интегралы
6
Дифференциальные уравнения
7 Ряды
Контрольная работа
№1
Элементы векторной, линейной алгебры
и аналитической геометрии
Задача 1. Даны координаты вершин пирамиды , , , . Найти:
1) длину ребра
2) угол между ребрами и ;
3) угол между ребром и гранью ;
4) площадь грани ;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой ;
7) уравнение плоскости ;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .
Выполнить чертеж.
Решение.
1) Длина ребра A1A2 определяется по формуле
2) Угол между ребрами и есть угол между векторами и , который, согласно определению скалярного произведения, находится по формуле
3) Составим уравнение плоскости по трем точкам:
, откуда ,
где, раскрывая полученный определитель, получим:
или
.
Нормальный вектор плоскости имеет координаты ; , откуда найдем
4) Площадь грани вычислим по формуле
= , где
5) Объем пирамиды будем вычислять исходя из геометрического
смысла смешанного произведения:
6) Канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и , будут иметь вид:
Подставив соответствующие координаты, получим:
или в параметрической форме: х =4-4t, y=2-5t, z=5-3t.
7) Запишем
уравнение плоскости,
8) Нормальный вектор плоскости можно взять за направ-ляющий вектор искомой прямой, который имеет координаты . Канонические уравнения искомой высоты, опущенной из вершины согласно формулы , примут вид:
Делаем чертеж
Задача 3. Даны вершины треугольника АВС: , , . Найти:
1) длину стороны BC;
2) уравнение ли-нии BC;
3) уравнение высоты, про-веденной из точки A;
4) длину высоты, проведенной из точки A;
5) площадь треугольника;
6) угол В.
Решение.
1) Длину стороны BC находим, исходя из формулы
2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, определяется по формуле
согласно которой будем иметь искомое уравнение
откуда после преобразований получим уравнение стороны BC:
3) Угловой коэффициент прямой BC согласно формулы равен . Так как , то , откуда . Составим уравнение высоты согласно формулы . Подставив соответствующие координаты, будем иметь: или (уравнение высоты ).
4). Длину высоты находим согласно формулы для нахождения расстояния от точки A до прямой на плоскости:
где – общее уравнение прямой на плоскости.
Тогда
6). Угол при вершине треугольника находим, используя формулу
Так как
, то
или
Задача 4. Даны векторы a = (1;2;3), b = (–1;3;2), c = (7; –3;5),
d = (6;10; 17) в некотором базисе. Показать, что векторы a = (1;2;3), b = (–1;3;2), c = (7; –3;5) образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение.
Если векторы a = (1;2;3), b = (–1;3;2), c = (7; –3;5), образуют базис, то смешанное произведение этих векторов не равно нулю. Проверим это:
Следовательно, вектор d линейно выражается через базисные векторы a, b, c. Тогда требуется найти такие три числа , чтобы имело место равенство
или
Так как
то система уравнений имеет единственное решение. Воспользуемся правилом Крамера:
где
Тогда
Таким
образом разложение имеет вид
.
Задача 5. Дана матрица А. Найти матрицу А-1 обратную данной. Сделать проверку, вычислив произведение А . А-1 .
Решение.
Рассмотрим матрицу . Ее определитель отличен от нуля, следовательно матрица невырожденная и имеет единственную обратную матрицу, определяемую по формуле .
Запишем алгебраические дополнения для элементов матрицы A:
Тогда:
Задача 6. Применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса), решить систему линейных уравнений.
Решение. Рассмотрим
систему
Выполним элементарные (строчные) преобразования над расширен-ной матрицей:
~
~
~
~ .
Полученную расширенную
Решения нет, т.к. ранг основной матрицы
меньше ранга расширенной.
Введение в математический анализ.
Производная
и ее приложения
Задача 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение.
Задача
2. Задана функция y=f(x). Установить,
является ли данная функция непрерывной.
В случае разрыва функции в некоторой
точке найти ее пределы слева и справа,
классифицировать характер разрыва. Построить
схематично график функции.
Решение.
1. Неэлементарная функция определена для всех значений . Она может иметь разрыв только в точках x=-1 и x=1, где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, не-прерывную в своем интервале изменения аргумента x.
Исследуем точки x = -1 и x = 1:
а) ,
Согласно условию, значение функции в точке определяется первой формулой , следовательно, в точке выполняются все условия непрерывности функции: функция определена в окрестности точки x=-1 и
Поэтому
в точке x=-1 функция
непрерывна.
б) .
Здесь левый и правый пределы функции конечны, но различны, т.е. не выполняется условие непрерывности. Поэтому в точке x=1 функция имеет разрыв (конечный скачок), который равен:
Построим
схематический график:
Задача 3. Найти производные следующих функций.
Решение.
а) у=arccos
y’=(arccos
)
=
б) у =ln ctg
в)
Задача 4. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.
Решение.
Задача 5. Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f(x) для и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].
1. а) б) [-3; 3] .
Решение.
а)
1) Область
определения
.
2) Функция
непериодическая.
3)
- функция нечетная.
4) Точки пересечения с осью ОХ:
y = 0
x =0
c осью
OY: х = 0 ;
;
- График симметричен относительно начала координат
Находим критические точки: x1=2; x2=-2
Исследуем знак
производной на интервалах, на которые
критическая точка делит
| x | ||
| g’ | - | - |
| g | убывание | убывает |
6) Выпуклость/вогнутость
7) Вертикальных асимптот нет
- следовательно наклонных
8) График.
б) Найдем наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-3; 3]. Поскольку критическая точка функции x=-2 и х=2 принадлежит указанному отрезку, вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: , , ,
Очевидно,
что
,
.
Функции
нескольких переменных.
Задача
6. Дана функция двух переменных
. Найти все частные производные первого
и второго порядков.
1.
.
Решение. Вычислим первые частные производные:
Дифференцируя полученные частные производные по переменным x и y соответственно, получаем вторые частные производные:
Задача 7. Дана функция. Выяснить, имеет ли эта функция экстремум и определить максимум или минимум.
1. Z = x2 – y2 + 3xy + 7.
Решение. Находим координаты стационарной точки:
Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) в ограниченной замкнутой области D. Область D изобразить на чертеже.
- Z = x2 – y2 + 3xy + 7 ; D : -2 £ x £ 2, -2 £ y £ 2
Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные равны нулю:
Решив систему уравнений
найдем две точки О(0;0) и M(1;1), в которых обе частные производные равны нулю. Первая из них принадлежит границе области. Следовательно, если функция z принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то это может быть только в точке M(1;1). Перейдем к исследованию функции на границе области.
На отрезке АB и CD имеем x=0 и поэтому на этом отрезке функция есть убывающая функция от одной переменной y. Наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка AВ,CD
На отрезке BС и AD имеем y = 0. Поэтому на отрезке BС и AD функция z = представляет собой функцию одной переменной x. Ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди значений в критических точках и на концах отрезка. Находим производную . Решаем уравнение или и находим . Внутри отрезка имеется лишь одна критическая (стационарная) точка , соответствующей точкой отрезка AB и AD является точка .
Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области находятся среди ее значений в
точках O, A, B,C,D,Q и M, т.е. среди значений
z(O) = z(0;0) = 0, z(A) = z(0;-2) = 3, z(B)=z(2;0)=11, z(Q) = z( ) = 10+ ,
z(С) = z(0;2) = 3, z(D) = z(-2;0) =11, z(M) = z(1;1) = 10.
Наибольшее и
Задача
9. Даны: функция трех переменных
, точка
M0 (1; -2; 1) и вектор
(-1; 2; 2)
Найти:
1) производную в точке М0 по направлению вектора ;
2)
grad u в точке М0.
Решение. Найдем частные производные функции и направляющие косинусы вектора :
Воспользуемся формулой
где –нормальный вектор к поверхности уровня, – единичный вектор направления .
а) Найдем производную функции u по направлению вектора в любой точке:
б) Подставляя координаты
Находим градиент функции в точке A:
Так как тогда
Контрольная
работа № 2
Неопределенный
и определенный
интегралы
