Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Феномен и многомерность пространства

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена такому актуальному вопросу как гиперпространство. Дело в том, проблема размерности Вселенной интенсивно рассматривается уже более ста лет и понятие гиперпространство, по мнению многих ученых, это пространство, имеющее не три, а четыре измерения, включая измерение времени.

Существует мнение о том, что впервые понятие пространство было сформулировано в 1908г. Г.Минковским.

Немного позднее было введено понятие трехмерного пространства. Трехмерное пространство – это геометрическая модель материального мира, в котором мы находимся. Это пространство называется трехмерным, потому что оно имеет три измерения – высоту(y), ширину(x) и глубину(Z).

В ХХ веке физики-теоретики вновь обратились к проблеме многомерности пространства. В 1919 году математик Франц Колуц предложил теорию поля, в которую должно было войти четыре пространственные координаты, в том числе и время. В 1926 году шведский математик Оскар Клейн попытался объяснить, куда подевалась четвертая пространственная координата, по его мнению она свернулась в ничтожно маленький круг. Но эта теория породила больше вопросов, чем дала ответов.

В современной литературе достаточно хорошо освещались вопросы, связанные с феноменами и многомерностью пространства, можно отметить, например, работы И. Цёльнера, П.Д. Успенского, Ж. Валле. В научной и популярной литературе описано большое число пространственно-временных феноменов, объяснить которые в рамках существующей науки не представляется возможным. Существуют явления, которые можно объяснить при существовании гиперпространства. Их можно условно разбить на следующие группы:

-предсказания и предчувствие будущего;

-видения реальных картин из прошлого и будущего;

-перемещения во времени и пространстве;

-влияние будущего на прошлое.

Чтобы искать возможные проявления многомерных пространств в нашем трехмерном мире, следует знать какими свойствами, отличными от нашего, обладают эти пространства.

Существует такое понятие, как перманентные паранормальные объекты (ППО). Под ними понимаем типологически невозможные материальные объекты, например «вдетые» друг в друга цельные деревянные кольца. В журнале « Отцы и дети» можно найти упоминание об этом явлении в синагоге одного польского местечка было украшение: деревянная цепь. Подвижные кольца, которого были вдеты одно в другое. Фокус заключался в том, что они были цельные, а вся цепь выточена из одного ствола. Китайцы делают нечто подобное из одного бивня. [14]

Начиная с XIX века, были зарегистрированы случаи получения ППО. Некоторые медиумы по просьбам демонстрировали следующие опыты: выворачивание замкнутого металлического шара как перчатки, не проделав в нем дыры, вдевания друг в друга отдельных замкнутых колец, не разрывая их, завязывания узлов на веревках с закрепленными концами и т.п. [2]. Подобные опыты не прекратились и в XX веке. В 30-х годах были продемонстрированы серии ППО - «вдетые» друг в друга цельные деревянные кольца! В декабре 1987 года другой медиум продемонстрировал «вдетые» друг в друга сплошные рамки из картона и из алюминиевой фольги.

В Китайской Народной Республике изучалась способность некоторых лиц проводить телепортацию предметов [3,4]. Объективный контроль за всем происходившим проводился с помощью электронного оборудования (видеомагнитофоны, рентгеновские установки, приемопередающие радиоустройства и т.д.).

Наиболее показательны исследования с радиопередатчиком. Через некоторое время он исчезал с одного места комнаты (размером 9x5м²) и появлялся в другом. Работа радиопередатчика пеленговалась с помощью специальной аппаратуры. Во время опытов было отмечено полное исчезновение сигнала в момент телепортации и ослабление сигнала в момент появления радиопередатчика на прежнем месте. Отмечалось быстрое снижение потенциала питающей батареи по сравнению с обычным ее состоянием. Например, при нормальной работе радиопередатчика в течение 5 часов потенциал батареи снижается с 4,5 до 2,1 В, а при исчезновении его на 88 мин потенциал снижался с 4,5 до 0,2 В.

Исследователи проводили также эксперименты по переносу и исчезновению насекомых, часов и светочувствительных материалов (фотопленка, фотобумага); перенос осуществлялся из одного светонепроницаемого пакета в другой. Опыты показали, что фотоматериалы при переносе не были засвечены, ход механических часов не изменялся (время их отсутствия - 30 мин 43 с), а электронные отстали на 7,5 мин при общей длительности опыта 9 мин. Насекомые (плодовая мушка) после переноса и исчезновения (11ч73 мин) были живыми еще несколько дней. Авторы считают, что перенос не был механическим переносом в трехмерном пространстве.

Целью работы является изучение научной литературы в поисках ответа на вопрос: «существует ли гиперпространство?»

Гипотеза:

1)Гиперпространство существует в современном мире

2)Возможно перемещение в пространстве и во времени

Задачи:

1)На основе изучения научной литературы доказать существование гиперпространства

2)Попробовать объяснить при помощи гиперпространства уникальные природные явления, такие как четочные молнии, аномальные дожди, торнадо, природные самосветящиеся образования

3)Объяснить явление перемещения в пространстве и времени людей и предметов, видение реальных картин из прошлого и будущего

2.1.2 Псевдоевклидова плоскость

Мир Минковского четырехмерен, но увеличение размерности – не самая главная трудность на пути овладения этим понятием. Гораздо труднее преодолеть барьер необычности метрических свойств пространства Минковского. На первый взгляд они кажутся фантастическими. И если даже математика ручается за их логическую непротиворечивость, остается впечатление, что здесь речь идет о такой математической абстракции, которой нет места в природе. Репутация нереальности метрики мира Минковского тесно связана с сохраняющимся в качестве пережитка представлением о нереальности комплексных чисел, чему сильно способствует и терминология («мнимые» числа). Вот почему необходим небольшой экскурс в эту область.

На протяжении истории науки понятие числа развивалось, приобретая все большую общность. И теперь каждому человеку при получении математического образования приходится в сжатом виде повторять этот процесс расширения понятия числа.

В простейшем представлении число есть количество предметов. Такому представлению соответствует понятие натурального числа (целого положительного). Множество N натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это значит, что, складывая или перемножая любые натуральные числа, мы необходимо будем получать в результате натуральные числа, т.е. не выйдем из множества N.

Операция деления натуральных чисел может привести к дроби, которая не является натуральным числом. Признание дробей числами не вызывало затруднений даже в древние времена. Этот выход за пределы множества N заставил расширить понятие числа. Числом стали называть не только количество предметов, но и отношение количеств.

Несравненно медленнее и труднее формировалось в науке понятие отрицательного числа. Сталкиваясь с необходимостью вычитать из меньшего числа большее, древние математики истолковывали решение как недостаток некоторого количества, но само это количество выражали положительным числом. У них не было числа, которым можно выразить результат такого, например, действия: 2–5 =… И когда они получали при решении уравнения отрицательный корень, то просто отбрасывали его как «недопустимый». «В Европе математики XVI в., хотя и пользовались иногда отрицательными числами, все же называли их «ложными» и «неясными», «меньше, чем ничто» и т.п.» [2]. Лишь в XVII в., после того как Декарт ввел в употребление координатные системы и установил взаимно однозначное соответствие между числами и точками координатной оси, в математике окончательно утвердилось представление о равноправии положительных и отрицательных чисел. Сложилось понятие рационального числа как отношения любых целых чисел т та п. Множество Q рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, умножения и деления.

Так потребность в увеличении набора операций, которые можно выполнять над числами, приводила к обобщению понятия числа. Сталкиваясь с задачами, решение которых не могло быть выражено числом в прежнем, узком его понимании, математики приходили к расширению множества объектов, заслуживающих названия числа, формировали новое, более емкое определение числа, включающее в себя и такие числа, которые считались прежде несуществующими или по крайней мере неполноценными. Объективная значимость нового, расширенного понятия числа заключается в том, что с его помощью удается более полно и логически непротиворечиво выражать отношения, существующие в природе.

Точки координатной оси, которым соответствуют рациональные числа, расположены всюду плотно. Это значит, что, сколь бы малый отрезок оси мы ни взяли, на нем найдется бесконечно много точек, служащих образами рациональных чисел. Вместе с тем на любом отрезке координатной оси имеется бесконечно много таких точек, которые не являются образами рациональных чисел. Классическим примером тому, поразившим древних математиков, является задача о сравнении длин стороны квадрата и его диагонали.

Выберем на прямой линии единицу измерения и построим квадрат ОАВС со стороной, равной этой единице. Отложив длину диагонали ОВ на координатной оси, получим отрезок OD (рис. 2). Его длина, очевидно, должна равняться отношению длин отрезков ОB и ОА:

Между тем это отношение отрезков не может быть выражено никаким отношением целых чисел, т.е. никаким рациональным числом. Действительно, по теореме Пифагора имеем

Если допустить, что существуют такие целые числа m и n, отношение которых равно длине отрезка OD, выраженной в единицах :

то придем к противоречию. Мы вправе считать, что числа m и n не имеют общих множителей (при наличии общего множителя можно произвести сокращение на него и в дальнейшем рассматривать уже несократимую дробь). Кроме того, , т.е. не является целым числом, так как из неравенства следует . Возводя равенство в квадрат, мы

Рис. 2

получили бы . Но числа и не имеют общих множителей, поскольку их не имеют числа и n, причем . Значит, – несократимая дробь, которая не может равняться целому числу 2. Мы доказали, что не существует такого рационального числа, квадрат которого был бы равен 2 [1].

Если считать, что числа могут быть только рациональными, то нельзя выполнять операцию извлечения квадратного корня да числа 2 и символ следует признать лишенным смысла. Он обозначает нечто «потустороннее», не имеющее места в множестве чисел (рациональных чисел). Но такая точка зрения не согласуется с геометрическим содержанием рассмотренной задачи.

Ведь символ в данном случае выражает вполне реальную геометрическую величину – длину диагонали квадрата, сторона которого принята за единицу. Точка D (см. рис. 2), отстоящая на расстоянии этой длины от точки О, реально существует на координатной прямой ОА. Положение этой точки может быть указано приближенно с любой точностью посредством рациональных чисел, которые соответствуют границам сколь угодно малого отрезка, содержащего в себе точку D.

Немаловажно и следующее обстоятельство. Пусть есть только символ, которому не соответствует число (в смысле определения рационального числа). Но в ряде случаев операции над такими «потусторонними» объектами, выполняемые по правилам оперирования «настоящими» числами, могут приводить к вполне посюстороннему результату – рациональному числу. Например,

Подобные соображения настоятельно склоняли математиков к мысли, что символам , и т.д. соответствуют некоторые реальные числа, хотя они и не могут быть выражены в виде отношения целых чисел. Удивление перед этими «невыразимыми» числами отразилось в их названии – иррациональные числа, т.е. числа, не поддающиеся разумному истолкованию (racio – разум). Именно, в противовес иррациональным числам, числа, которые могут быть выражены в виде отношения целых чисел, получили название рациональных.

2.2.4 Четырехмерный мир Минковского. Гиперплоскости

На основе четырехмерного линейного пространства могут быть построены различные типы псевдоевклидовых пространств. Если среди четырех векторов базиса , , , этого пространства один вектор имеет длину, выражаемую мнимым числом, а длины остальных трех векторов выражаются вещественными числами, то такому пространству присваивается индекс 1. Умножив на мнимую единицу длины всех базисных векторов четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1, получим пространство индекса 3, имеющее по существу такие же метрические свойства. Герман Минковский понял, что реальное мировое пространство обладает такими же линейными и метрическими свойствами, как псевдоевклидово четырехмерное пространство индекса 1. Для краткости мы будем называть его также пространством Минковского. Желая принять во внимание не только геометрические свойства, но и физические объекты и процессы в мировом пространстве, мы будем пользоваться термином «мир Минковского».

Ортонормированный базис в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1 будем характеризовать следующей таблицей скалярных произведений векторов:

(2.33)

Таблица (2.33) говорит о том, что любые два различных вектора в этом базисе взаимно перпендикулярны, а длины их имеют следующие значения:

(2.34)

Запишем разложения произвольных векторов а и b пространства Минковского по ортонормированному базису , , , :

(2.35)

и вычислим скалярное произведение <а, Ь> с учетом таблицы (2.33):

. (2.36)

По общему определению – модуль вектора есть корень квадратный из скалярного произведения вектора на самого себя. В пространстве Минковского модуль вектора выражается через его координаты следующим образом:

. (2.37)

Выберем в пространстве одну точку в качестве полюса О. Совокупность ортонормированного базиса, характеризуемого таблицей (2.33), и полюса О образует ортонормированную систему координат OXYZW. Координаты радиус-вектора в этой системе будем обозначать буквами х, у, z, w и называть координатами точки М, указываемой концом радиус-вектора:

(2.38)

Рассмотрим, что представляет собой множество точек в четырехмерном пространстве Минковского, у которых радиус-векторы перпендикулярны к базисному орту (к оси OW). От векторной записи этого условия перпендикулярности

перейдем к координатному выражению

(2.39)

Здесь ясно видно, что условием перпендикулярности радиус-вектора к базисному орту является равенство нулю четвертой координаты вектора. При этом три первые его координаты х, у, z могут принимать независимо друг от друга любые значения от до . Но множество всевозможных линейных комбинаций вида

образует трехмерное пространство. Таким образом, геометрическое место точек в четырехмерном пространстве, описываемое уравнением (2.39), представляет собой трехмерное пространство, а так как любой принадлежащий ему вектор перпендикулярен к базисному вектору , то говорят, что это трехмерное пространство в целом перпендикулярно к направлению (к оси OW).

Мы не станем делать попытку наглядно изобразить четырехмерное пространство. Можно, конечно, построить некоторый условный чертеж четырех координатных осей, но вряд ли это придаст наглядность геометрическим объектам, которых мы не воспринимаем зрительно. Мы никогда не видели трехмерное пространство «извне» и не представляем, куда направлен перпендикуляр к трехмерному пространству. Лучше избрать другой путь. В аналитических соотношениях, описывающих геометрические объекты четырехмерного мира в векторной или координатной форме, нетрудно заметить сходство с аналитическим описанием знакомых нам объектов трехмерного мира. Вот этими наглядными образами из трехмерного мира мы и будем пользоваться как подспорьем, облегчающим формирование представлений о четырехмерном мире на основе математических формул. Например, уравнение вида (2.39) описывает в случае трехмерного пространства плоскость, перпендикулярную к оси координат W. Но плоскость является двумерным множеством точек, а мы теперь должны иметь дело с трехмерным множеством, описываемым уравнением (2.39). Чтобы подчеркнуть сходство этого множества с плоскостью и отличие от нее, его называют гиперплоскостью. Базис плоскости состоит из двух векторов, базис гиперплоскости в четырехмерном пространстве состоит из трех векторов. В частности, для гиперплоскости (2.39) базисом являются векторы , , , входящие в состав ортонормированного базиса четырехмерного пространства Минковского. Поскольку длины этих трех векторов выражаются вещественными числами, приходим к заключению, что гиперплоскость (2.39) несет на себе собственно евклидову метрику, т.е. является хорошо знакомым нам трехмерным собственно евклидовым пространством.

Возьмем на оси OW какую-нибудь точку Р, отличную от точки начала координат О. Три первые координаты точки Р равны нулю, а четвертая отлична от нуля: . Запишем координатный столбец радиус-вектора точки Р:

Разность любого радиус-вектора и радиус-вектора есть связанный вектор, имеющий своим началом точку Р:

Те из векторов , которые перпендикулярны к базисному орту , удовлетворяют векторному уравнению

Оно выражается в координатной форме следующим образом:

(2.40)

Как и в предыдущем примере, условие перпендикулярности векторов к оси OW свелось к обращению в нуль их четвертой координаты , а три первые координаты х, у, z этих векторов могут принимать любые значения. Точки, указываемые концами векторов , подчиненных условию (2.40), образуют трехмерное множество, которое тоже является гиперплоскостью, перпендикулярной к оси OW. В гиперплоскости (2.40) нет ни одной точки гиперплоскости (2.69), так как у всех точек гиперплоскости (2.39) четвертая координата w равна нулю и эти точки не могут удовлетворять уравнению (2.40). Значит, гиперплоскости (2.39) и (2.40) не пересекаются, и их следует назвать взаимно параллельными. Подобно тому как мы представляем трехмерное пространство состоящим из параллельных плоских слоев, или в виде бесконечного множества параллельных плоскостей, нанизанных на перпендикулярную к ним прямую, так следует представлять четырехмерное пространство в виде бесконечного множества взаимно параллельных гиперплоскостей (трехмерных пространств), нанизанных на перпендикулярную к ним ось OW.

Рассмотрим теперь множество радиус-векторов, перпендикулярных к базисному орту , (к оси ОХ). В векторной форме это условие перпендикулярности выражается уравнением

а в координатной форме принимает следующий вид:

(2.41)

У радиус-векторов рассматриваемого множества первая координата равна нулю, а три другие координаты могут принимать независимо одна от другой произвольные значения от до . Множество всех линейных комбинаций

представляет трехмерное пространство (гиперплоскость), в котором линейно независимые векторы , , играют роль базиса. Так как длины векторов и выражаются вещественными числами, а длина вектора – мнимым числом, заключаем, что гиперплоскость (2.41) несет на себе псевдоевклидову метрику, т.е. представляет такое же трехмерное псевдоевклидово пространство, как описанное в предыдущей главе.

Нетрудно показать, что множество точек, у которых радиус-векторы перпендикулярны к базисному орту , представляет псевдоевклидову гиперплоскость OXZW с базисом , , , описываемую уравнением . Уравнению z = 0 соответствует в четырехмерном пространстве Минковского псевдоевклидова гиперплоскость OXYW с базисом , , , перпендикулярная к координатной оси OZ.

Рис. 5.

Теперь понятно, почему условное изображение координатной системы OXYZW в виде четырех осей (рис. 5) практически бесполезно для создания наглядного представления о четырехмерном пространстве. Такой рисунок не помогает нам увидеть какую-либо гиперплоскость как трехмерное пространство, вне которого существуют другие трехмерные пространства. Мы сможем увидеть в лучшем случае лишь четыре плоскости OXY, OYZ, OZW, OXW, а не координатные гиперплоскости. Каждая из указанных плоскостей представляет лишь пересечение двух координатных гиперплоскостей. Например, гиперплоскость (OXYZ) пересекается с гиперплоскостью (OYZW) по плоскости OYZ. Действительно, гиперплоскости принадлежат все радиус-векторы, являющиеся линейными комбинациями вида

где х, у, z – любые вещественные числа. Гиперплоскость х = 0 представляет множество радиус-векторов, являющихся линейными комбинациями вида

где у, z, w – любые вещественные числа. Обеим гиперплоскостям принадлежат лишь те радиус-векторы, которые являются линейными комбинациями вида

Но множество таких радиус-векторов и есть плоскость, параллельная базисным ортам е₂, е₃и проходящая через точку О, ч. е. плоскость OYZ.

Рис. 5 демонстрирует замечательную черту четырехмерного мира, о которой мы не имеем представления в мире трехмерном. Плоскости OYZ и OXY, изображенные на рис. 5.пересекаются по прямой OY, что для нас привычно. Но плоскость OYZ пересекается с плоскостью OXW в одной-единственной точке О. Представить наглядно этот удивительный факт мы не можем, но в справедливости его легко убедиться аналитическим путем. Различие этих двух случаев пересечения плоскостей связано с тем, что плоскости OYZ и OXY принадлежат одному и тому же трехмерному пространству (гиперплоскости OXYZ), а плоскости OYZ и OXW не умещаются в одном трехмерном пространстве (принадлежат различным гиперплоскостям).

Согласно (2.36) длина радиус-вектора (2.37) равна

(2.42)

Она обращается в нуль, если координаты радиус-вектора удовлетворяют условию

, или . (2.43)

Соотношение (2.43) определяет в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1 геометрическое место точек, радиус-векторы которых являются изотропными. Что представляет собой это геометрическое место точек?

Прежде всего, замечаем, что уравнение (2.43) по своей структуре похоже на уравнение (2.24) изотропного конуса в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. За формальным сходством этих уравнений обнаруживается глубокое геометрическое родство описываемых ими объектов. Рассмотрим пересечение геометрического места точек (2.43) с координатной гиперплоскостью UYZW:

. (2.44)

Гиперплоскость OYZW является трехмерным псевдоевклидовым пространством, а уравнение (2.44) представляет изотропный конус этого пространства. Аналогичным образом пересечения геометрического места точек (2.43) с двумя другими псевдоевклидовыми координатными гиперплоскостями OXYW и OXZW являются изотропным конусами этих гиперплоскостей:

Но с собственно евклидовой координатной гиперплоскостью OXYZ множество точек, удовлетворяющих уравнению (2.43), пересекается в одной-единственной точке:

Это точка начала координат, служащая вершиной трех рассмотренных выше изотропных конусов в псевдоевклидовых координатных гиперплоскостях.

Естественно считать множество точек, удовлетворяющих уравнению (2.43), обобщением конической поверхности на случай большего числа измерений и назвать его изотропным гиперконусом. Гиперконус представляет трехмерное множество точек в четырехмерном пространстве, аналогичное двумерной конической поверхности в трехмерном пространстве.

Продолжая аналогию между изотропным конусом и изотропным гиперконусом, назовем внутренней областью гиперконуса (2.43) множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

или .

Согласно (2.42) длина радиус-вектора любой точки внутренней области изотропного гиперконуса выражается мнимым числом. Недостаток наглядности в представлении о четырехмерной внутренней области изотропного гиперконуса мы можем частично восполнить, рассматривая пересечения этой области с псевдоевклидовыми координатными гиперплоскостями:

Оказывается, внутренняя область изотропного гиперконуса пересекается с каждой псевдоевклидовой гиперплоскостью, проходящей через вершину гиперконуса, по внутренней области изотропного конуса этой гиперплоскости.

Рис. 6.

Здесь будет полезна наглядная иллюстрация с понижением размерности: вместо четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1 рассмотрим трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1, а вместо псевдоевклидовой гиперплоскости – псевдоевклидову плоскость. Как видно на рис. 6, внутренняя область изотропного конуса пересекается с плоскостью по внутренней области, мнимых секторов плоскости. Если не выходить из псевдоевклидовой плоскости, то за пределами мнимых секторов можно найти только вещественные секторы. Но, выйдя из плоскости в трехмерное пространство, мы найдем вне мнимых секторов плоскости внутреннюю область изотропного конуса (в частности, мнимые секторы другой плоскости). Аналогичным образом, оставаясь в трехмерном пространстве, мы обнаруживаем за пределами внутренней области изотропного конуса только его внешнюю область. Но если выйти из трехмерного пространства в четырехмерное, то вне внутренней области изотропного конуса найдется внутренняя область изотропного гиперконуса (в частности, внутренняя область изотропного конуса другой гиперплоскости).

Аналогичное сравнение можно провести для внешних областей изотропного гиперконуса четырехмерного пространства Минковского, изотропного конуса трехмерного псевдоевклидова пространства и вещественных секторов псевдоевклидовой плоскости. Внешняя область изотропного гиперконуса состоит из точек, координаты которых удовлетворяют условию

или

(2.46)

Все векторы четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1 независимо от точки их приложения можно разбить на три класса по признаку их принадлежности к одной из трех областей. Мы будем говорить, что произвольный вектор

принадлежит внутренней области изотропного гиперконуса, если его координаты удовлетворяют условию

аналогичному условию (2.45) для радиус-векторов, длина (модуль) всякого вектора внутренней области выражается мнимым числом (см. (2.37)). Мы будем говорить, что произвольный вектор а принадлежит внешней области изотропного гиперконуса, если его координаты удовлетворяют условию

аналогичному условию (2.36) для радиус-векторов. Длина (модуль) всякого вектора внешней области выражается вещественным числом. Наконец, если координаты вектора а удовлетворяют условию

то вектор а является изотропным и коллинеарным некоторому радиус-вектору, принадлежащему изотропному гиперконусу (2.43).

Рассмотрим в четырехмерном пространстве Минковского множество всех радиус-векторов , перпендикулярных к ненулевому вектору а. Это множество определяется уравнением

(2.47)

которое в координатной форме, согласно (2.36), принимает вид

(2.48)

Уравнение (5.16) линейное (все переменные входят в него только в первой степени), как и уравнение плоскости (2.29), но в уравнении (2.48) больше переменных, причем три из них могут принимать независимо друг от друга любые значения. Это говорит о том, что уравнение (2.48) определяет в четырехмерном пространстве трехмерное множество точек, аналогичное плоскости, т.е. гиперплоскость общего положения (проходящую через начало координат). Вектор а в уравнении (5.47) называют нормалью к гиперплоскости, потому что всякий радиус-вектор, принадлежащий этой гиперплоскости, перпендикулярен к вектору а.

Проводя такие же рассуждения, но уже для четырех переменных, нетрудно доказать, что если нормаль а к гиперплоскости (2.48) принадлежит внутренней области изотропного гиперконуса, то гиперплоскость несет на себе собственно евклидову метрику, т.е. является трехмерным собственно евклидовым пространством. Можно также доказать, что гиперплоскость, нормаль к которой принадлежит внешней области изотропного гиперконуса, несет на себе псевдоевклидову метрику, т.е. является трехмерным псевдоевклидовым пространством такого же типа, как рассмотренное выше. Наконец, гиперплоскость, перпендикулярная к изотропному вектору, содержит в себе этот вектор и обладает специфическими метрическими свойствами, отличными от собственно евклидовых и псевдоевклидовых свойств. Такую гиперплоскость называют изотропной. В ней содержатся векторы вещественные длины, но нет ни одного вектора мнимой длины и имеется только одно изотропное направление. Это значит, что изотропная гиперплоскость не проникает во внутреннюю область изотропного гиперконуса и имеет с ним только одну общую прямую, т.е. является касательной гиперплоскостью к изотропному гиперконусу.