Финансовая математика. 2

1. На какой  срок должен быть выпущен сберегательный сертификат номиналом 235 руб., если сумма  погашения при 12% годовых составляет 305 руб.? Год невисокосный

 

   Дано: , , ,

   Найти:  

   Решение

   Сумму погашения  можно представить в виде двух слагаемых: номинала и суммы процентов :

    ,

где

   

   где  - срок ссуды в долях года;

           - число дней в году (временная база);

            - срок операции в днях.

   - годовая процентная ставка

   Тогда

   

   Откуда

   

     дней 

   Ответ: 906 дней 

 

2. По сертификату, выданному на 120 дней начисляется  дисконт в размере 17% от суммы  погашения. Год невисокосный. Определить учетную и процентную ставку.

 

Дано: , .

Найти , - ? 

Решение

Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

,

где  - первоначальная сумма;

       - сумма погашения;

          - срок ссуды в долях года;

             - число дней в году (временная  база);

              - срок операции в днях.

или 51,7%

Определим процентную ставку

 

Из равенства  выражений имеем

,

откуда

 или 77,0%

Ответ: учетная ставка-51,7%, процентная-77,0%

 

3. Предприятие на условиях потребительского кредита продало товар с оформлением простого векселя, номинальная стоимость которого 0,75 тыс. руб., срок векселя – 54 дня, ставка процента за предоставленный кредит – 7% годовых. Через 15 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке, предложенная банком дисконтная ставка составляет:
1. 5%
2. 11%

Рассчитать  суммы, получаемые предприятием и банком. 

Решение

Определим будущую стоимость векселя к погашению:

где  - первоначальная сумма ссуды;

        - общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты ( ; дней);

        - годовая ставка процента;

руб.

При учете  векселя банк выплатит фирме (векселедержателю) сумму:

где  - сумма, получаемая при учете обязательства

         - срок от момента учета  до погашения долга ( ; дней);

       - учетная ставка.

а) При :

 руб.

При погашении  векселя банк реализует дисконт

 руб.

б) При  :

 руб.

При погашении  векселя банк реализует дисконт

 руб. 
 
 

 

4. В контракте  предусматривается погашение обязательства в сумме 600 тыс. руб. через 45 дней. Первоначальная сумма долга – 120 тыс. руб. Определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой ставки процента и учетной ставки ( ).

 

Дано: , , ,

Найти: , - ? 

Решение:

      ,

где

- наращенная сумма (сумма  погашения обязательства);

- первоначальная сумма;

- сумма процентов.

     

   где  - срок ссуды в долях года;

              - число дней в году (временная база);

               - срок операции в днях. 

       - годовая ставка процента

Тогда

Отсюда годовая ставка процента:

 или 3200%

Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

 или 640 % 

Ответ: i-3200 %, d-640%

 

5. По муниципальной облигации номиналом 50 тыс. руб., выпущенной на 4 года, предусматривается следующий порядок начисления процентов: первый год – 15%, в каждом последующем квартале ставка повышается на 0,3%.

Необходимо:

1. определить наращенную стоимость облигации по простой и сложной процентной и учетной ставкам;
2. составить план наращения первоначальной стоимости по простым и сложным процентам;
3. построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам на базе процентной и учетной ставок.

 

Решение

Наращенная  стоимость облигации по простой  процентной ставке

где  , , … - ставка процентов в периоде с номером , ;

   - продолжительность периода начисления по ставке

руб.

Наращенная стоимость облигации по сложной процентной ставке:

 руб.

Ответ: S по простой процентной ставке - 109250 руб., S по сложной процентной ставке – 154465,73 руб.

 

Рассчитать  эффективную годовую процентную ставку при различной частоте  начисления процентов, если номинальная ставка равна 18%. 

   Дано:   

   Если  проценты начисляются по сложной ставке раз в год, каждый раз со ставкой , то можно записать равенство для множителей наращения:

     ,

где  - эффективная ставка;

       - номинальная ставка.

Отсюда

     

     

     

     

     

     

 

     При , при различных частотах начисления процентов 

 

6. Вексель выдан  на сумму 175 руб. с уплатой 16.10. Векселедержатель учел вексель в банке 19.07 по ставке 8%. Требуется определить сумму, полученную векселедержателем и размер дисконта в пользу банка.

 

Дано: ,

Найти: , - ? 

Решение

      Принимаем K=360.

      Посчитаем количество дней до погашения векселя. По таблице порядковых номеров дней в году,  определяем, что 16.10 – это 289 день в году, а 19.07 – 200 день. Следовательно, количество дней до погашения:

      

      Сумма, полученная владельцем векселя, определяется по формуле:

      

        - сумма погашения;

        - срок ссуды в долях года;

        - сумма дисконта;

        - учетная ставка.

      Тогда сумма, полученная векселедержателем  равна

        руб.

      Размер  дисконта в пользу банка

        руб. 

Ответ: P- 171,54 руб.,D- 3,46 руб. 
 

 

7. Найти размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, если при разработке условий контракта была установлена  договоренность о доходности кредита в 28% годовых.

 

Дано:

Найти:  

Решение

Начисление  процентов по номинальной ставке производится по формуле:

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - годовая ставка процентов;

       - число периодов начисления  в году;

       - общее число периодов начисления ( , где - число лет начисления)

Отсюда:

 или  24,94% 

Ответ:j- 24,94% 

 

8. Найти величину учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 9% при условии, что срок учета равен 240 дней; 3 года.

 

Дано: , ,

Найти: ,  

Решение:

Наращенная  сумма определяется по формулам

 

где  - наращенная сумма;

      - первоначальная сумма;

       - годовая процентная ставка;

       - учетная ставка процента

       - срок наращения.

Из равенства  выражений имеем

,

откуда

 

Тогда

 или 9,6%

 или 12,3% 

Ответ: ,

 

9. Депозитный сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая с погашением 7 ноября под 25% годовых.

Определить  сумму начисленных процентов  и сумму погашения долгового  обязательства (3-мя способами). 

   Сумму погашения  можно представить в виде двух слагаемых: номинала и суммы процентов :

    ,

где

   

   где  - срок ссуды в долях года;

           - число дней в году (временная база);

            - срок операции в днях.

   Рассмотрим  различные варианты расчета:

1. Точные проценты с точным числом дней депозита

      Точное  количество дней определим по таблице  порядковых номеров дней в году:  5 мая – это 125 день в году, а 7 ноября – 311 день. Следовательно, точное количество дней: дней

      Временная база дней

        руб.

       руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней депозита

      Точное  количество дней  , временная база дней

        руб.

       руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней депозита

      Найдем  приближенно число дней, считая что в мае по ноябрь содержится по 30 дней:

      5 мес. · 30 дн. + (30 дн. – 5 дн.) + 7 дн. = 182 дн.

      Временная база дней

        руб.

       руб. 
 
 
 
 

 

10.  Вексель  с обязательством 15 тыс. руб. учитывается банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента.

 

Дано: , ,

Найти:  

Решение

Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

где  - наращенная сумма;

      - первоначальная сумма;

       - учетная ставка процента

       - период времени от момента  учета векселя до даты его  погашения в годах.

 или 66,7%

Годовая процентная ставка находится из равенства следующих соотношений

 

Отсюда:

,  

 или 80%

Ответ: i-80%

 

11. Облигация номиналом 80 тыс. руб. под 6,5% годовых погашается по тройному номиналу. На какой срок размещается займ при условии наращения по процентной ставке?

 

Дано: , ,

Найти: -?   

Решение

 день

Ответ: t-11231 день

 
 
 

 

12.  Пусть  во вклад с капитализацией  процентов помещены 10 млн. руб.  определить наращение суммы вклада  через 3 года, если проценты начисляю  ежеквартально из расчета 17% годовых.

 

Дано:  , ,

Найти: - ? 

Решение

Начисление  процентов по номинальной ставке производится по формуле:

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - годовая ставка процентов;

       - число периодов начисления  в году;

       - общее число периодов начисления ( , где - число лет начисления)

 руб.

Ответ: 16478314 руб. 
 
 

 

13.  В условиях  выпуска сертификата Сбербанка  номинал 1230 руб. предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения: за 5 лет – 1615 руб., 7 лет – 2205 руб. Определить уровни годовых сложных ставок процента для указанных сумм наращения.

 

Дано: , , , ,

Найти: ,  

Решение

Формула наращения сложных процентов:

,

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - годовая ставка сложных процентов;

       - срок наращения.

Тогда

1) или 5,6%

2) или 8,7% 
 

Ответ: 5,6%; 8,7% 
 

 

14.  Простая процентная ставка по векселю равна 6%. Определить значение эквивалентной ставки, если вексель выдан:
1. на 2 года
2. на 270 дней.

При сроке 270 дней рассмотреть варианты:

1. временная база ставок одинакова – 360 дней;
2. временная база процентной ставки 365 дней, учетной – 360 дней.

 

Наращенная  сумма определяется следующими выражениями:

 

Из равенства  выражений имеем

,

откуда:

 

в случае, когда  , получим 

а) 

 или 5,36%

б)

 или 5,74%

или 5,67%

Ответ: 5,36%, 5,74%, 5,67%. 

 

15.  Облигация номиналом 2500 руб., срок платежа по которой наступает через 3 года, продана с дисконтом 15% годовых. Определить сумму дисконта.

 

Дано: , ,

Найти:  

Размер  дисконта, удерживаемого банком равен:

где  - сумма дисконта;

       - номинал облигации;

       - учетная ставка процента

       - период времени от момента  учета векселя до даты его  погашения в годах.

руб. 

Ответ: 1125 руб. 
 
 

 

16.  Определить, на какой срок должен быть  выпущен сертификат номиналом  1 тыс. руб. при 40% (простых и  сложных) годовых, если сумма  погашения составляет 1,75 тыс. руб.

 

Решение

Для простой  ставки наращения

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - годовая ставка сложных процентов;

       - срок наращения.

откуда

 года

Для сложной  ставки

 года 

Ответ: 1,875 года, 1,663 года

 

17. Вексель, выданный на 120 дней с обязательством уплатить 50 тыс. руб., учитывается по ставке 8%.

Определить  приведенную величину наращенной стоимости  и размер дисконта при математическом дисконтировании и коммерческом учете. 

Решение

Математическое  дисконтирование:

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - годовая ставка процентов;

       - срок наращения.

Сумма дисконта :

 руб.

 руб.

Коммерческое  дисконтирование:

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - учетная ставка процентов;

       - срок наращения.

 руб. 

 

18.  Вексель,  выданный на 90 дней с обязательством  уплатить 40 тыс. руб., учитывается  по ставке 10%. Определить приведенную  величину наращенной стоимости  и размер дисконта при математическом  дисконтировании и коммерческом  учете.

 
 

Математическое  дисконтирование:

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - годовая ставка процентов;

       - срок наращения.

 руб.

 руб.

Коммерческое  дисконтирование:

где   - наращенная сумма;

       - первоначальная сумма;

       - учетная ставка процентов;

       - срок наращения.

 руб.

 руб. 
 

 

19. За какой  срок наращенная стоимость финансового  инструмента номиналом 60 тыс. руб. достигнет 70 тыс. руб. при условии, что начисляются сложные проценты по ставке 10% годовых раз в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам.

 

Решение

Для сложной  процентной ставки при начислении раз в году используем формулу:

где   - наращенная сумма;