Фридмановская модель Вселенной

Введение 
 

      Эйнштейновская  модель стационарной Вселенной была опровергнута в работах русского ученого А. Фридмана, который в 1922 г. показал, что искривленное пространство не может быть стационарным: оно должно либо расширяться, либо сжиматься. Возможны три различных модели изменения радиуса кривизны Вселенной, зависящие от средней плотности вещества в ней, причем в двух из них Вселенная бесконечно расширяется, а в третьей – радиус кривизны периодически изменяется (Вселенная пульсирует). 

      Во   фридмановской   модели   Вселенной  все галактики удаляются друг от друга. Это напоминает расползание цветных пятен на поверхности надуваемого воздушного шара. С ростом размеров шара увеличиваются и расстояния между любыми двумя пятнами, но при этом ни одно из пятен нельзя считать центром расширения. Более того, если радиус воздушного шара постоянно растет, то чем дальше друг от друга находятся пятна на его поверхности, тем быстрее они будут удаляться при расширении. Допустим, что радиус воздушного шара удваивается каждую секунду. Тогда два пятна, разделенные первоначально расстоянием в один сантиметр, через секунду окажутся уже на расстоянии двух сантиметров друг от друга (если измерять вдоль поверхности воздушного шара), так что их относительная скорость составит один сантиметр в секунду. С другой стороны, пара пятен, которые были отделены десятью сантиметрами, через секунду после начала расширения разойдутся на двадцать сантиметров, так что их относительная скорость будет десять сантиметров в секунду (рис. 19). Точно так же в модели Фридмана скорость, с которой любые две галактики удаляются друг от друга, пропорциональна расстоянию между ними. Тем самым модель предсказывает, что красное смещение галактики должно быть прямо пропорционально ее удаленности от нас — это та самая зависимость, которую позднее обнаружил Хаббл. Хотя Фридману удалось предложить удачную модель и предвосхитить результаты наблюдений Хаббла, его работа оставалась почти неизвестной на Западе, пока в 1935 г . аналогичная модель не была предложена американским физиком Говардом Робертсоном и британским математиком Артуром Уокером уже по следам открытого Хабблом расширения Вселенной.

Отношение средней  плотности вселенной к критической обозначается .

Существуют три  космологические  модели , зависящие от , по имени их создателя названные  фридмановскими . В этих моделях не учитывается энергия вакуума (космологическая постоянная).  

1. Фридмановская   модель , . Расширение вселенной будет вечным, причём скорости галактик никогда не будут стремиться к нулю. Пространство в такой модели — бесконечное, имеет отрицательную кривизну, описывается геометрией Лобачевского. Через каждую точку такого пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной, сумма углов треугольника меньше 180°, отношение длины окружности к радиусу больше 2π. 
2. Фридмановская   модель , . Расширение вселенной будет вечным, но в бесконечности его скорость будет стремиться к нулю. Пространство в такой модели — бесконечное, плоское, описывается геометрией Евклида. 
3. Фридмановская   модель , . Расширение вселенной сменится сжатием, коллапсом и закончится тем, что вселенная сожмётся в сингулярную точку (Большое сжатие). Пространство в такой модели — конечное, имеет положительную кривизну, по форме представляет собой трёхмерную гиперсферу, описывается сферической геометрией Римана. В таком пространстве нет параллельных прямых, сумма углов треугольника больше 180°, отношение длины окружности к радиусу меньше 2π.

По современным  данным^[1] . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      1.История открытия

      Решение Фридмана было опубликовано в авторитетном физическом журнале Zeitschrift für Physik в 1922 и 1924 (для Вселенной с отрицательной кривизной) Решение Фридмана было вначале отрицательно воспринято Эйнштейном (который предполагал стационарность Вселенной и даже ввёл с целью обеспечения стационарности в полевые уравнения общей теории относительности так называемый лямбда-член), однако затем он признал правоту Фридмана. Тем не менее, работы Фридмана (умершего в 1925) остались вначале незамеченными.

      Нестационарность  Вселенной была подтверждена открытием  зависимости красного смещения галактик от расстояния (Эдвин Хаббл, 1929). Независимо от Фридмана, описываемую модель позднее разрабатывали Леметр (1927), Робертсон и Уокер (1935), поэтому решение полевых уравнений Эйнштейна, описывающее однородную изотропную Вселенную с постоянной кривизной, называют моделью Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера. Эйнштейн не раз подтверждал, что начало теории расширяющейся Вселенной положил А. А. Фридман.

      В творчестве А. А. Фридмана работы по теории относительности могли бы на первый взгляд показаться довольно внезапными. Ранее в основном он работал в области теоретической гидромеханики и динамической метеорологии.

      Усвоение  Фридманом общей теории относительности было весьма интенсивным и в высшей степени плодотворным. Совместно с Фредериксом он взялся за капитальный труд «Основы теории относительности», в которой предполагалось изложить «достаточно строго с логической точки зрения» основы тензорного исчисления, многомерной геометрии, электродинамики, специального и общего принципа относительности.

      Книга Фредерикса и Фридмана «Основы теории относительности» — это обстоятельное, подробное изложение теории относительности, основанное на весьма солидном математическом фундаменте геометрии общей линейной связности на многообразии произвольной размерности и теории групп. Исходной для авторов оказывается геометрия пространства-времени.

      В 1923 г. была опубликована популярная книга Фридмана «Мир как пространство и время», посвящённая общей теории относительности и ориентированная на довольно подготовленного читателя. В 1924 г. появилась статья Фридмана, рассматривавшая некоторые вырожденные случаи общей линейной связности, которые, в частности, обобщают перенос Вейля и, как считали авторы, «может быть, найдут применение в физике».

      И, наконец, главным результатом работы Фридмана в области общей теории относительности стала космологическая нестационарная модель, носящая теперь его имя.

      По  свидетельству В. А. Фока, в отношении Фридмана к теории относительности преобладал подход математика: «Фридман не раз говорил, что его дело указывать возможные решения Эйнштейна, а там пусть физики делают с этими решениями, что они хотят»

      Первая  модель расширяющейся Вселенной, согласующейся  с общей теорией относительности  Эйнштейна и наблюдениями Э. Хабблом  красного смещения, была предложена советским физиком и математиком А. А. Фридманом в 1922 г. Согласно фридмановской модели и ее последующим обобщениям, Вселенная одинакова в каждой точке пространства и во всех направлениях. Ясно, что в сравнительно малых объемах космического пространства имеются неоднородности, связанные, например, с существованием Земли и Солнца или с тем фактом, что в направлении центра нашей галактики наблюдается гораздо больше звезд, чем в других направлениях. 
 
Существует три вида обобщенных фридмановских моделей Вселенной. В одной из них галактики удаляются друг от друга достаточно медленно, так что гравитационное притяжение между ними в конце концов должно остановить их разбегание и заставить галактики сжиматься. В другой модели галактики разбегаются настолько быстро, что гравитационные силы никогда не смогут остановить их, и Вселенная будет расширяться бесконечно. Наконец, имеется и третья модель в которой скорость разбегания галактик в точности равна некоторому минимальному критическому значению, которое еще позволяет избежать сжатия Вселенной. В принципе, можно определить, какая из моделей соответствует нашей Вселенной, сравнив наблюдаемую скорость разбегания галактик с современным значением плотности масс во Вселенной. Та масса во Вселенной, которая непосредственно доступна нашим наблюдениям, не сможет остановить ее расширение. Остается открытым вопрос, достаточно ли много во Вселенной «скрытой массы», чтобы когда-нибудь расширение Вселенной прекратилось. Сейчас ученые считают, что верной является первая теория, и расширение Вселенной сменится сжатием. 

      В той фридмановской модели, где  Вселенная со временем начнет сжиматься, пространство конечно, но не имеет границ, как и в эйнштейновской модели. В двух других фридмановских моделях  Вселенная расширяется вечно, в пространство бесконечно.  
 
С другой стороны, время имеет границу (или край). Во всех этих моделях расширение начинается из состояния с бесконечной плотностью, называемого сингулярностью «Большого взрыва». В модели, где расширение сменится сжатием, есть и другая сингулярность, называемая «Большим сжатием»; ею завершается процесс коллапса. 
 
Сингулярности – это такие точки, где кривизна пространства-времени становится бесконечной и сами понятия пространства и времени теряют всякий смысл. 

      2.Фридмановские  модели Вселенной:  геометрия

      Расширение  Вселенной в настоящее время  интерпретируется не как движение галактик в пространстве, а как расширение самого пространства, к которому галактики  как бы "приклеены". Дело в том, что пространство, согласно общей теории относительности А.Эйнштейна (общая теория относительности), это не ничто, лишенное каких-либо качеств; у пространства как такового есть свои свойства. Главное из этих свойств — так называемая кривизна. В космологии используется два понятия: кривизна пространства-времени и кривизна пространства. Согласно общей теории относительности, кривизна пространства-времени обусловлена материей, и радиус кривизны пространства-времени тем больше, чем выше плотность. В отличие от кривизны пространства-времени, кривизна пространства может быть нулевой. По определению, ненулевая кривизна пространства означает, что в нем не выполняются некоторые аксиомы и теоремы евклидовой геометрии. Например, в искривленном пространстве сумма углов треугольника не равна 180°, отношение длины окружности к ее радиусу не равно 2π, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника не равна квадрату гипотенузы, и т.д. Отклонение свойств пространства от евклидового (плоского) характеризуется величиной, называемой "радиусом кривизны пространства” (R). Чем больше эта величина, тем меньше кривизна, тем ближе свойства пространства к евклидовому, тем менее оно искривлено. Радиус кривизны пространства меняется пропорционально масштабному фактору. Радиус кривизны евклидова пространства формально равен бесконечности.

      Согласно, кривизна пространства обусловлена  наличием материи. Чем больше плотность  материи, тем больше кривизна (т.е. радиус кривизны меньше). Основное утверждение  общей теории относительности можно сформулировать так: материя говорит пространству, как ему искривляться, пространство говорит материи, как ей двигаться. Пространство и материя — это как бы единая субстанция; галактики “прикреплены” к пространству Вселенной, пространство “прикреплено” к галактикам. По этой причине радиус кривизны пространства меняется по такому же закону, как расстояние между галактиками в расширяющейся Вселенной.

      Модели  Фридмана различаются между собой  не только поведением во времени, но и  геометрическими свойствами пространства. Только лишь в модели II (Ω=1) оно "плоское", описывается геометрией Евклида. В модели I пространство Вселенной подчиняется геометрии Лобачевского. Такое пространство называется пространством постоянной отрицательной кривизны. В нем через каждую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной, сумма углов треугольника меньше 180°, отношение длины окружности к радиусу больше 2π. Двумерным аналогом пространства Лобачевского является так называемая псевдосфера — поверхность, каждый элемент которой напоминает по форме седло (рис. 4.4.1, слева). Плоский лист бумаги невозможно расстелить по такой седловидной поверхности без образования многочисленных разрывов. Это связано с тем, что площадь круглого участка псевдосферы больше πR². Аналогично, объем пространства, заключенного внутри шара радиусом r в пространстве Лобачевского, больше объема шара евклидова пространства такого же радиуса. 

      В модели III (Ω>1) пространство подчиняется сферической геометрии Римана. Оно называется пространством постоянной положительной кривизны. Двумерным аналогом его является сфера (рис. 4.4.1, справа). В пространстве такого типа, по сравнению с пространством Лобачевского, все наоборот: вообще нет параллельных прямых (любые две прямые пересекаются), сумма углов треугольника больше 180°, отношение длины окружности к радиусу меньше 2π. На сфере невозможно равномерно расстелить лист бумаги — неизбежно образуются складки. Это говорит о том, что площадь круга радиуса r на сфере (радиус определяется как длина нити, натянутой по поверхности) меньше площади круга такого же радиуса на плоскости. Значит, объем шара в пространстве постоянной положительной кривизны меньше шарового объема такого же радиуса в евклидовом пространстве.

      У сферы есть одно замечательное свойство — она имеет конечную площадь. Вместе с тем, сфера безгранична, т.е. двигаясь по ней, мы никогда не наткнемся на какую-либо границу, но в конечном итоге придем в ту же точку, из которой вышли, с противоположной стороны (что экспедиция Магеллана доказала в 1522 году экспериментальным путем). Все направления на сфере равноправны, так что можно сказать, что на сфере выполняется космологический принцип. Совершенно аналогично этому, пространство постоянной положительной кривизны имеет конечный объем, оно замкнуто (в отличие от пространства Евклида или Лобачевского, являющихся бесконечными, открытыми). Как и на сфере, в нем выполняется космологический принцип, т.е. оно безгранично. Безгранично, но не бесконечно, — вряд ли можно себе представить что-либо более парадоксальное, но ни логика, ни математика не видят здесь никакого противоречия, что доказывает пример с двумерной сферой.

      Еще один  парадокс. Поскольку в замкнутой Вселенной помещается только конечное (хотя, разумеется, очень большое) количество галактик, можно сосчитать ее полную массу. Эта масса оказывается равной... нулю! Это второе удивительное свойство этой модели. Равенство нулю полной массы Вселенной с плотностью выше критической можно понять с помощью следующего рассуждения. Полная масса любой материальной системы всегда меньше сумм масс составляющей ее частей. Это явление связано с тем, что энергия взаимодействия, связывающего части системы воедино, отрицательна, а масса, согласно знаменитой формуле Эйнштейна E=mc² (где E — энергия, m — масса, c — скорость света) пропорциональна энергии. Разность между массой системы и суммой масс ее частей носит название дефекта массы. Впервые дефект массы был обнаружен в атомных ядрах, где он не превосходит нескольких процентов (но именно благодаря этим процентам в недрах звезд идут термоядерные реакции). Если Вселенная замкнута, то ее дефект массы равен 100%, т.е. энергия гравитационного взаимодействия всех помещающихся в ней тел в точности равна (с обратным знаком) внутренней энергии всего, что находится во Вселенной. 

3. Фридмановские модели Вселенной: динамика

Для того, чтобы  понять, как расширение Вселенной  будет происходить в далеком  будущем, рассмотрим следующий пример. С поверхности планеты радиуса  r и массы M запущена ракета с начальной скоростью v. Притяжение к планете тормозит движение ракеты. Если скорость ракеты меньше скорости убегания (второй космической скорости), равной

 
то в некоторый момент времени  сила тяготения остановит ракету, после чего она начнет движение в обратном направлении (уже с возрастающей скоростью) и в конце концов упадет на планету. Если начальная скорость ракеты больше или равна скорости убегания, то сила тяготения не сможет остановить ракету, и она будет вечно удаляться от планеты. Различие между случаями v=v_уб и v>v_уб заключается в том, что в первом из них скорость ракеты в бесконечности будет стремиться к нулю, тогда как во втором — к некоторой ненулевой величине. Заметим, что чем больше радиус и чем меньше масса планеты, тем легче ракете при данной начальной скорости преодолеть силу притяжения.

Теперь вернемся к примеру с шаровой областью вещества во Вселенной, рассмотренному в предыдущем разделе. Этот шар является типичной областью пространства, и  по его поведению можно судить о поведении Вселенной в целом. Тогда какая-нибудь галактика, находящаяся на границе шара, будет аналогом ракеты, а шар как целое — планеты (напомним, что вещество вне шара не оказывает влияния на движение внутри него). Падению ракеты соответствует сжатие шара, удалению ракеты — его расширение. Представим себе, что в начальный момент времени эта шаровая область расширяется, т.е. галактики, находящиеся на краю шара, удаляются от его центра. Масса всего шара радиуса r есть M=(4/3)πρr³, а скорость удаления галактики определяется по закону Хаббла v=Hr. Подставляя эти величины в формулу (4.2), получаем, что скорости убегания соответствует критическое значения плотности 

       
При постоянной Хаббла H=65 км/(с·Мпк) критическая плотность равна 0.8·10^-29 г/см³. 

      Отношение средней плотности к критической  обозначается Ω. При Ω<1 расширение шара (а стало быть, и всей Вселенной) будет вечным, причем скорости галактик никогда не будут стремиться к нулю (модель I на рис. 4.3.1), при Ω=1 расширение будет вечным, но в бесконечности его скорость будет стремиться к нулю (модель II) и, наконец, при Ω>1 расширение Вселенной неизбежно должно остановиться и смениться сжатием (коллапсом), и через некоторое время Вселенная обратно сожмется в точку (сингулярность) (модель III); это событие обычно называется “Большой Хруст”. По имени их первооткрывателя эти модели носят название моделей Фридмана. 

Необходимо добавить, что модель II — это единственная модель Вселенной, в которой зависимость  масштабного фактора a от времени t можно выразить в элементарных функциях:

 
где t₀ — нынешний момент времени. Все остальные модели для своего полного описания требуют специальных функций. 
 
 
 
 
 
 
 

      Список  используемой литературы: 

1. Антонов В.В. Курс лекций по дисциплине Концепции  современного естествознания
2. Вакс И. Интуитивная модель вселенной