Функции комплексной переменной
Задача №362. Представить заданную функцию , где , в виде проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной точке :
Решение: .
Найдем частные производные:
условие Коши-Римана выполняется, и функция является аналитической.
Найдем ее производную в указанной точке:
Ответ: функция аналитическая; -6.
Задача №372. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки :
Решение:
Ответ: .
Задача №382. Определить область (круг) сходимости данного ряда и исследовать сходимость его (расходится, сходится условно, сходится абсолютно) в точках
Решение:
По признаку Даламбера
Область сходимости представляет собой круг радиусом 1, центр которого находится в точке O (1; -i).
лежит вне круга сходимости, следовательно, в данной точке ряд расходится.
лежит в центре круга сходимости, следовательно, в ней ряд сходится абсолютно.
точка на границе окружности.
сходится, следовательно, исходный ряд также сходится абсолютно в точке .
Ответ:
Круг радиусом 1 с центром в точке О(1; -i); сходится абсолютно в точках z2 и z3, расходится в точке z1.
Задача №392. При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру
Решение: Кругу принадлежит точка –i - полюс первого порядка, точка 0 – существенная особая точка, вычет в ней равен 1 (как коэффициент -1 степени при разложении выражения в ряд Лорана).
Вычет в полюсе –i равен:
Тогда
Ответ: .
Задача №402. Найти изображение заданного оригинала
Решение:
Из теоремы смещения изображения:
Ответ:
Задача №412. Найти изображение заданного оригинала
.
Решение:
=
Используя свойство интегрирования оригинала находим:
.
Ответ: .
Задача №422. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
`
Решение: Перейдем к изображениям:
Подставляем вышеуказанные значения и получаем обычное уравнение:
,
,
Разложим дробь на сумму простейших методом неопределенных коэффициентов:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях p справа и слева и получаем систему для нахождения коэффициентов:
Следовательно,
Возвращаемся к оригиналам: .
Ответ: .
