Функция полезности

Содержание

1. Функция полезности      

Составить регрессионную модель, осуществить спецификацию

переменных, оценить параметры регрессии, проверить

статистическую значимость оценок и сделать

соответствующие выводы                                                                                       3

2. Кривая Гомперца

Составить регрессионную модель, осуществить спецификацию

переменных, оценить параметры регрессии, проверить

статистическую значимость оценок и сделать соответствующие

выводы                                                                                                                    13

Список источников используемой литературы                                                    16

1.Функция  полезности. Составить регрессионную модель, осуществить спецификацию переменных, оценить параметры регрессии, проверить статистическую значимость оценок и сделать соответствующие выводы.

Функция полезности - математическое выражение, распределяющее значения для всех возможных вариантов.

Функция полезности - в портфельной теории - выражение предпочтения экономических структур в отношении осознаваемого риска и ожидаемого дохода.

В экономической теории - функция, выражающая зависимость полезности для индивида от потребляемых им благ и их количества. Формально эта функция может быть записана в следующем виде: U = f (X, Y, Z), где U - полезность; X, Y, Z - количества рассматриваемых благ.

Полезность блага это способность блага удовлетворять одну или несколько человеческих потребностей. Существует закономерность: потребляемые последовательно части какого-либо блага обладают убывающей полезностью для потребителя. При этом полагается, что вкусы потребителя постоянны, а функция потребителя непрерывна (и, следовательно, дифференцируема в каждой точке). Это означает, что любому бесконечно малому увеличению количества блага Q соответствует прирост общей полезности (total utility) TU. Хотя общая полезность с увеличением количества благ постепенно возрастает, предельная полезность (marginal utility) MU каждой дополнительной единицы блага неуклонно уменьшается. Максимум удовлетворения общей полезности достигается тогда, когда предельная полезность равно нулю. Это и означает, что благо полностью удовлетворяет потребность.

Предположим, что вероятность сохранения региональным лидером своего положения увеличивается с ростом степени удовлетворенности представителей каждой из четырех групп экономических агентов, интересы которых связаны с интересами регионального лидера. Таким образом, мы будем рассматривать функцию полезности регионального лидера, которая монотонно возрастает по каждому из своих аргументов, которыми являются значения целевых функций электората, групп специальных интересов, чиновников (федерального и регионального подчинения), а также федерального центра.

Для упрощения проблемы будем полагать, что влияние каждой группы на положение лидера является прямым, каждая из функций полезности четырех групп независима от остальных и влияние лидера на рассматриваемые группы (посредством определения параметров) также осуществляется непосредственно. То есть региональный лидер максимизирует следующую целевую функцию

где V (∙) – значение косвенной функции полезности репрезентативного домашнего хозяйства (выбор репрезентативного представителя, а не медианного избирателя, объясняется ниже),

P(∙) - значение  косвенной функции полезности  представителя группы со специальными  интересами (комментарий к такому  выбору целевой функции группы  специальных интересов также  приводится ниже),

S(∙) - значение  косвенной функции полезности  чиновников аппарата управления,

F(∙) - значение  некоторой функции, описывающей  оценку деятельности регионального  лидера федеральными властями.

Переменные, от которых зависят функции V(∙), P(∙), S(∙), F(∙), а также целевые функции описанных экономических агентов и инструментальные переменные, выбираемые ими, определяются ниже. При этом предполагается, что функция W монотонно возрастает по каждому из своих аргументов V, P, S, F.

Бюджетное ограничение регионального лидера имеет следующий вид:

где E – расходы регионального бюджета на финансирование общественных благ на территории региона и трансфертов населению,

T - собственные  налоговые доходы бюджета (они  складываются из различных видов  налогов, которые рассматриваются  ниже),

Z - выплаты  чиновникам аппарата управления,

B – сумма  выплат из регионального бюджета  пенсий, пособий, заработной платы  работников бюджетной сферы за  исключением чиновников, вознаграждение  которых учитывается в аргументах  функции S.

Tr – финансовая  помощь, получаемая регионом из  федерального бюджета.

Учет в функции полезности регионального лидера интересов различных групп лиц не является необычной постановкой задачи. Например, в работе Е. Журавской целевая функция лидера (мэра) выбирается зависящей от переменных "уровень обеспечения общественными благам", "уровень регулирования частного бизнеса" и "сумма доходов бюджета, используемая мэром в личных целях", которые отражают интересы не только избирателей в населенном пункте.

Рассмотрим косвенную функцию полезности . Для формализации интересов населения региона выбрана функция полезности U (Ч) репрезентативного домашнего хозяйства, а не медианного избирателя. Обычно при анализе межбюджетных грантов в качестве целевой функции рассматривается функция полезности некоторого жителя региона (медианного избирателя или репрезентативного потребителя).

В ряде простых случаев можно вместо целевой функции региональных властей рассматривать предпочтения индивидуума, в частности, в рамках модели с медианным избирателем, согласно предпочтениям которого выбирается оптимальный уровень обеспечения частными и общественными благами. Однако возможное включение в модель, кроме объемов государственных расходов и частных благ (уровня налогообложения) переменных, характеризующих структуру расходов, технику исполнения бюджета, наличие сложной структуры групп специальных интересов, включающих в себя и отдельную группу региональных чиновников, приводит к трудностям интерпретации модели в терминах выбора медианного избирателя.

Кроме того, проблема с использованием в качестве функции, определяющей поведение регионального лидера, функции полезности медианного избирателя возникает потому, что линейное упорядочение рассматриваемых альтернатив является проблематичным. Даже в крайне упрощенной модели предпочтения избирателей могут определяться не только объемом расходов на финансирование общественных благ, но и долей налогов, которые приходятся на долю избирателя, сроком выплаты пенсий, пособий, если он является их получателем, заработной платы в бюджетных организациях, если он работник бюджетной сферы. Если же линейное упорядочение альтернатив невозможно, то само понятие медианного избирателя или его аналог может не существовать.

В качестве переменной, описывающей альтернативы, можно рассмотреть расходы на общественные блага в сумме с полученными пособиями и заработной платой за вычетом налогов, уплачиваемых данным индивидуумом, но тогда остается вопрос, являются ли в этом случае предпочтения всех участников голосования одновершинными относительно рассматриваемых линейно упорядоченных альтернатив, поскольку функция полезности от переменной, определенной таким образом, может не быть квазивогнутой.

Вопрос о том, является ли медианный избиратель в регионе получателем пособий и заработной платы, также остается открытым, и ответ на него может зависеть от характеристик региона и различаться в разные периоды времени. Вообще говоря, медианный участник может перемещаться при изменении налогов или бюджетных грантов из одной группы в другую.

Исходя из сказанного, в качестве агента, предпочтения которого учитывает региональный лидер, целесообразно рассматривать репрезентативного налогоплательщика. Более того, мы полагаем возможным в качестве экономического агента рассматривать не индивидуума, а домохозяйство в некотором расширенном смысле, то есть как группу родственников, включающих три поколения, и предположить однородность таких «укрупненных» домохозяйств в регионе.

где c - объем потребления частных благ репрезентативным домохозяйством,

Ls - предложение  труда домохозяйством для работы  в частном секторе (мы будем  полагать, что число работников  бюджетного сектора и время  их работы экзогенно задано, причем на каждое укрупненное домохозяйство приходится равное число таких работников),

E - расходы  бюджета на обеспечение населения  общественными благами,

th - вектор  налоговых переменных, используемых  в модели при построении бюджетного  ограничения домохозяйства,

- значение  заработной платы, определяемое  рынком труда, или, возможно, определяющееся  другими причинами.

Бюджетное ограничение домохозяйства имеет следующий вид:

где w - заработная плата в частном секторе,

Ld - совокупный  спрос фирм на труд,

B - переменная, включающая сумму получаемых  членами семьи пособий, пенсий  и заработной платы в бюджетном  секторе,

Th - суммарная  величина налогов, взимаемых с  репрезентативного домохозяйства.

Включение в бюджетное ограничение общего вида суммарной величины налогов не означает, что они обязательно должны рассматриваться как паушальные. Так, можно включить в модель подоходный налог и налог с продаж следующим образом:

тогда бюджетное ограничение домохозяйства примет следующий вид:

где w - заработная плата в частном секторе за вычетом подоходного налога,

tw - ставка  подоходного налога,

ts - эффективная  ставка налогов на потребление, в частности налога с продаж,

- вектор  налоговых переменных домашнего  хозяйства.

Рассмотрим функцию . Если при рассмотрении групп специальных интересов ограничиться крупным предпринимательством в регионе, то данная функция будет представлять собой ожидаемую полезность посленалогового чистого дохода владельцев предприятий, включая, вообще говоря, и доход, не отраженный в бухгалтерской или налоговой отчетности с учетом вероятности выявления налогового правонарушения.

Кроме того, возможно легальное уклонение от уплаты налогов, причем его степень может зависеть от прозрачности бюджетной политики.

В упрощенном случае можно предположить корректное декларирование дохода, тогда значением функции будет значение посленалогового чистого дохода. Для упрощения модели будем рассматривать краткосрочный период и исходить из агрегированной производственной функции регионального крупного частного производства следующего вида:

где Ld - спрос на труд со стороны предприятий.

Будем полагать, что продукция предприятий реализуется на конкурентном рынке, поэтому цена предполагается экзогенно заданной. Примем цену готовой продукции за единицу.

В таком случае

где tf - вектор налоговых переменных, используемых в модели при определении прибыли фирм,

Tf - сумма  налогов, причитающаяся к уплате  фирмой (как и в случае с  домохозяйством налоги не обязательно  являются паушальными),

FC - фиксированные  издержки предприятий.

Для случая, когда в данном регионе на рынке труда наблюдается несовершенная конкуренция, можно предположить, что w является функцией от L. Кроме того, как упоминалось выше, значение заработной платы может не обязательно определяться рынком.

Это обстоятельство при усложнении задачи может позволить включить полученное значение уровня безработицы в качестве одной из переменных функции, оценивающей отношение федерального центра к проводимой региональными властями политике. но при первоначальном рассмотрении влияния схемы определения межбюджетных трансфертов на решения региональных властей мы опустим функцию и будем анализировать только полезность домохозяйства в предположении экзогенно заданных спроса на труд и заработной платы.

Одним из направлений усложнения модели является предположение о наличии зависимости производственной функции от уровня обеспечения общественными благами.

можно рассматривать как функцию полезности чиновников, зависящую от уровня производства общественных благ и/или от доходов групп специальных интересов.

Ее значение может определяться возможностью принятия чиновниками дискреционных решений. Выше, во введении сказано, от каких факторов может зависеть значение функции, описывающей оценку деятельности регионального лидера федеральным центром. Однако на данном этапе рассмотрения модели мы не будем детализировать эту зависимость.

Таким образом, система, описывающая поведение регионального лидера включает целевую функцию регионального лидера (1.1), переменными которой являются целевые функции групп, интересы которых региональному лидеру, стремящемуся к сохранению или расширению своих полномочий, следует принимать во внимание, то есть функции (1.3), (1.7), а также функции , которые мы на формальном уровне не детализируем, а также бюджетные ограничения, описанные уравнениями и неравенствами (1.2) и (1.5).

Первоначально влияние федерального центра мы учитывать не будем, за исключением влияния федеральных органов на величину трансфертов, поступающих в регион.

Таким образом, далее целевую функцию региональных властей мы будем рассматривать в следующем виде:

Кроме того, рассматриваемый нами упрощенный вариант будет предполагать, что S зависит только от Z, суммы средств, направляемой на финансирование интересов чиновников, размер которой определяется региональным лидером, то есть вид целевой функции регионального лидера сведется к следующему:

Поскольку модель даже при таких серьезных упрощениях является достаточно сложной, в целях определения того, как на поведение регионального лидера влияет конкретная методика распределения межбюджетных трансфертов, мы проведем ряд дальнейших упрощений. Для этого определим предпосылки, при выполнении которых можно перейти к исследуемой далее редуцированной модели.

Рассмотрим ситуацию, когда региональный лидер может варьировать только сумму налога, собираемую на территории и направляемую в региональный и местные бюджеты, а также объем расходов на общественные блага. При этом экзогенно задан уровень заработной платы, спрос на труд однозначно определяется исходя из условия максимизации прибыли предприятий, соответственно, он принимается домохозяйствами как экзогенно заданный, а сумма, направляемая на вознаграждение чиновников, определена экзогенно.

В этом случае Z, и, следовательно, S(Z), а также B, являются константами, поэтому мы не будем их учитывать ни в функции полезности, ни в бюджетном ограничении. Тогда региональный лидер максимизирует функцию

при условии

где T=Tf +Th.

Причем

при условии:

Если мы полагаем, что региональный лидер не варьирует налоги предприятий, то

В этом случае, если Tf наряду с другими константами не учитывать в бюджетном ограничении регионального лидера, то T = Th.

Из условия максимизации при экзогенно заданной заработной плате и прибыли однозначно определяется спрос на труд. Если мы полагаем, что у нас нет недостатка рабочей силы, то отсюда определится объем труда домохозяйства, то есть

При этом значение также определяется однозначно, то есть в итоговую функцию регионального лидера она войдет как константа.

Далее, поскольку объем труда домохозяйства и заработная плата определены однозначно, введем новое обозначение

Тогда бюджетное ограничение домохозяйства примет вид:

Подставим значение c в функцию полезности домохозяйства и, принимая во внимание, что L однозначно определено, получим .

При условии однородности домохозяйств, описанном выше, функция полезности лидера региона принимает вид:

где , - фиксированное значение посленалогового дохода владельцев предприятий.

Иначе модель выбора фискальной политики региона можно записать как максимизацию некоторой функции полезности регионального лидера U(E, T), при условии E = T+Tr, которая представляет собой ту форму редуцированной модели, которая была изучена выше в настоящей работе.

2.Кривая  Гомперца. Составить регрессионную модель, осуществить спецификацию переменных, оценить параметры регрессии, проверить статистическую значимость оценок и сделать соответствующие выводы.

Исследование динамики социальных и экономических процессов выявило довольно сильную распространенность эффекта насыщения:

• выхода на асимптоту при достижении определенных значений показателей.

В силу этого в эконометрике большое распространение получили так называемые кривые с насыщением.

К этому типу кривых относится кривая Гомперца – s-образная кривая, предложенная Б. Гомперцем (1799-1865), которая имеет вид

где K, a, b – параметры;

t - время (1,2,...).

Кривая Гомперца используется для аналитического выражения тенденции развития показателя во времени, имеющего ограничения на рост (рис. 1).

Если , то верхний предел для показателя у равен параметру K, а нижний – 0.

Если , то кривая имеет лишь нижний предел, равный величине параметра K (рис. 1 в, г).

а- при

б - при

в - при

г - при

Для определения параметров тренда и может использоваться метод наименьших квадратов, только если задан параметр K.

В противном случае возможно лишь приближенное оценивание параметров. Кривая Гомперца применяется в демографических расчетах и страховом деле.

К этому же типу кривых относится логистическая кривая (рис. 2), т. е. кривая с насыщением вида

 
где t - время 1,2,...);

K, a, b –  параметры;

Рис. 2. Логистическая кривая

Эта кривая характеризует развитие показателя во времени, когда ускоренный рост в начале периода сменяется замедляющимся темпом роста вплоть до полной остановки, что на графике соответствует отрезку кривой, параллельному оси абсцисс. Используется для описания развития производства новых товаров, роста численности населения и т. д. Максимум функции соответствует параметру K; если K задано, то параметры и определяются методом наименьших квадратов. Впервые такая кривая была применена А. Кетле (1796–1874) для расчета численности населения.

Список источников используемой литературы

1. Грицан В.Н. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: Издательско-книготорговый центр «Маркетинг», МУПК, 2007.
2. Валентинов В.А. Эконометрика: Учебник – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2006.
3. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2009.
4. Кобелев Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей / Учеб.-практ. пособие. – М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000.
5. Магнус Я.С., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 1998.
6. Мардас А.Н. Эконометрика. – СПб.:Питер, 2001.
7. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2007.