Функция желательности Харрингтона

Введение

При решении оптимизационных задач в реальных неабстрагированных экономических системах возникают затруднительные ситуации, связанные с выбором того или иного варианта решения. Такого рода ситуации зачастую имеют место при решении многокритериальных задач выбора. Например, при выборе того или иного варианта инвестиционного проекта из некоторой совокупности существующих альтернатив по одному параметру( например, по IRR, %) выгоден один проект, по второму( по сроку окупаемости)- другой, по третьему( по соответствии проекта требованиям охраны окружающей среды или иным качественным требованиям заказчика)- иной вариант. Необходимо установить компромисс.

Наиболее удобным способом решения такого рода компромиссных задач является процедура обобщения параметров, ведущая к единому параметру оптимизации. С такого рода обобщением связан ряд трудностей.

Во- первых, в силу того, что каждый частный параметр оптимизации (любой возможный параметр объекта, подвергающийся оптимизации) имеет свой физический смысл и свою размерность необходимо ввести для каждого из них некоторою безразмерную шкалу, являющуюся единой для всех параметров. Это позволяет их сравнивать.

Во-вторых, трудность возникает в выборе правила комбинирования исходных частных параметров в обобщенный показатель. И здесь нет какого-либо стандартного правила.

Одним из способов построения цикла является функция желательности Е. С. Харрингтона, позволяющая в какой-то степени моделировать процесс согласованного поведения отдельных подсистем единого целого, учитывать связи и воздействия между ними при решении поставленной задачи выбора из совокупности существующих альтернатив. Основой построения и приоритетной возможностью этой обобщенной функции является преобразование натуральных значений частных параметров различной физической сущности и размерности в единую безразмерную шкалу желательности (предпочтительности). Назначение шкалы заключается в установлении соответствия между физическими и психологическими параметрами оптимизации.

Под физическими понимаются всевозможные параметры, характеризующие функционирование исследуемого объекта. Сюда могут входить экономические, технико-экономические, технико-технологические, эстетические, статистические и другие параметры.

Под психологическими параметрами понимаются чисто субъективные оценки исследователя желательности (предпочтительности). Они (психологические параметры) выражаются через числовую систему (баллы, отметки) на шкале желательности.

Для получения шкалы желательности удобно пользоваться готовыми разработанными таблицами соответствий между отношениями предпочтения в эмпирической и числовой (психологических ) системах.

Таблица 1.1

Числовая система предпочтений, представленная в таблице и является безразмерной шкалой желательности, разработанной Харрингтоном. Значения этой шкалы имеют интервал от 0 до 1 и обозначаются через d (от desirable фр.- желательный). Значение i-го частного параметра оптимизации, переведенное в безразмерную шкалу желательности, обозначенное через di ,называется частной желательностью, где i=1,2,3,…,n- текущий номер параметра, n- количество частных параметров.

Значение di = 0 соответствует абсолютно неприемлемому уровню i-го параметра оптимизации. Значение di = 1 – самому лучшему значению i-го параметра.

Функция желательности, соответствующая шкале желательности Харрингтона имеет следующий вид:

∙ для одностороннего ограничения:

d = exp( -exp(-y’)),                                                                      (1)

∙для двустороннего ограничения:

d = exp(-|y’|n )                                                                       (2)

где y’ – кодированное значение частного параметра у, т.е. его значение в условном масштабе;

n – показатель степени.

Процедура определения y’ и n будет рассмотрена дальше.

Выбор отметок на шкале желательности 0,37 и 0,63 объясняется удобством вычисления, т.к. 0,37= 1/е, а 0,63= 1-1/е. Значение di = 0,37 обычно используют в качестве границы допустимых значений.

Кривые перевода, выраженные формулами (1) и (2) не являются единственной возможностью, однако они возникли эмпирически как результат наблюдений за реальными решениями исследователей- экспериментаторов.

Для того, чтобы использовать данный метод при выборе оптимального варианта решения, первоначально необходимо установить (задать) границы допустимых значений для всех частных параметров оптимизации. Ограничения могут быть односторонними (уmin или уmax ) или двусторонними (уmin и уmax ). При одностороннем ограничении отметке di = 0,37 на шкале желательности соответствует уmin или уmax ( задан нижний или верхний предел соответственно), при двустороннем ограничении – и уmin и уmax .

После того, как все частные параметры (уi) переведены в свои желательности (di ), необходимо приступить к построению обобщенного параметра оптимизации, названного Харрингтоном обобщенной функцией желательности D. Одним из удачных способов решения задачи выбора оптимального варианта является представление обобщенной функции желательности как среднее геометрическое частных желательностей:

                                          (3)

Обобщенный показатель данного вида позволяет, во-первых, использовать ту же шкалу предпочтений (табл. 1.1); во- вторых, «отбросить» вариант решения из совокупности рассматриваемых, если хотя бы один его частный параметр не удовлетворяет строгому требованию исследователя(di =0).

Обобщенная функция желательности D вида (3) удовлетворяет ряду требований предъявляемых к параметрам оптимизации, а именно:

- является количественным;

- единым (выражается одни числом);

- однозначным, т.е. заданному набору значений частных параметров соответствует одно значение обобщенной функции;

- универсальным, т.е. всесторонне характеризует объект;

- соответствует требованию полноты, т.е. является достаточно общим, неспецифичным, характеризует объект как единое целое.

Рис 1. Графики функции желательности

1-     с односторонним ограничением

2-     общая модель графика с двусторонним ограничением (при определенном n).

При применении функции желательности, представленной формулой (2), кодированное значение параметра y’ можно определить по следующее формуле:

y’ = (2*y-(ymax + ymin))/ (ymax + ymin)                            (4)

Показатель n можно определить по формуле (5), если присвоить некоторому значению параметра у желательность d (предпочтительно из интервала [0,6; 0,9]).

n= (lnln(1/d))/ (ln|y’|)                                                        (5)

При этом для каждого частного параметра, по которому задано двустороннее ограничение, устанавливается определенная функция желательности вида (2) в зависимости от значения показателя n.

Пример: Определить вид функции желательности с двусторонним ограничением для такого параметра как жизненный цикл проекта ( Т ).

Исходные данные: верхний предел- 6 лет ( Тmax = 6)

                                                        нижний предел – 1 год ( Тmin = 1)

Решение: Пусть заказчиком жизненный цикл проекта в 3 года оценивается на хорошо. Этому значению по шкале желательности Харрингтона соответствует любое значение из интервала 0,63-0,8. Например, желательность d=0,7. Используя формулу (4), определим кодированное значение y’:

y’= 2*3-(6+1)/(6-1)= -0,2

По формуле (5) определим показатель n:

n= (lnln(1/0,7))/ (ln |-0,2|)= 0,64

Функция желательности имеет вид

d= exp ( - |y’|0,64 )

В этом случае, когда заданно одностороннее ограничение и используется функция желательности вида (1), кодированные значения параметров y’ можно определить следующими способами:

1. графическим;

2. аналитическим:

                            - по упрощенным аналитическим зависимостям;

                            - по подобранным для каждого параметра механизмам перевода вида              y’= a*y + b.

Графический способ заключается в построении графика функции желательности (рис. 1) и одновременно шкалы параметра оптимизации по оси ординат. При этом необходимо соблюдать выбранный вами условный масштаб, от чего зависит точность перевода значения параметра у в шкалу желательности d. Данное построение будет представлять номограмму перевода y в d, минуя промежуточное преобразование у в у’.

На рис. 2 представлен пример перевода капиталовложений (частного параметра оптимизации) в шкалу желательности d графическим способом.

Рис. 2. Графический способ перевода в шкалу желательности (номограмма перевода).

Пусть для заказчика или лица, принимающего решение, верхним пределом допустимости по капиталовложениям является 100 млн. руб. (одностороннее ограничение). Тогда по шкале желательности данному пределу соответствует d=0,37. А значение капиталовложений в 20 млн. руб. – это очень хорошо, т.е. по шкале желательности (см. табл.) оно, например, соответствует 0,8 (d=0,8). После построения графика функции желательности первоначально справа от графика по оси ординат наносим шкалу значений по капиталовложениям (KV).

Для удобства,, точности перевода и лучшей наглядности желательно, чтобы контрольные точки частного параметра оптимизации ( ограничение KV = 100 млн. руб. и вторая контрольная точка KV = 20 млн. руб.) наносились в масштабе с размахом на всю высоту левой оси ординат (шкалы желательности).

Далее необходимо установить прямую перевода с помощью двух точек. Разберем как определяется точка 1 ( см. рис. 2.), со значениями капиталовложений 100 млн. руб. и желательностью 0, 37.

Проводятся две прямые, параллельные оси абсцисс через точки KV= 100 млн. руб. и d= 0,37. Последняя проводится до пересечения кривой функции желательности, а затем меняет свое направление на 90 градусов и проводится дальше до пересечения с другой прямой параллельной оси абсцисс. Эта точка пересечения и есть точка 1. Аналогично строится точка 2. Прямая 1 – 2 является прямой перевода значений KV в его желательности (d), а в совокупности с графиком функции желательности образует номограмму перевода. По данной номограмме можно определить желательность для любого значения параметра оптимизации.

Например, для KV = 30 млн. руб.. Через точку KV = 30 проводится прямая параллельная оси абсцисс до пересечения с прямой перевода (1-2). Потом прямая, меняя направление на 90 градусов, проводится до пересечения с кривой функции желательности. После этого прямая должна пересечь шкалу желательности ( левую ось ординат) под прямым углом, в точке, соответствующей желательности значения KV = 30 млн. руб.( ).

Под упрощенными аналитическими зависимостями, используемыми для определения кодированного значения параметра оптимизации, подразумеваются следующие:

y’i= (ymax- yi)/ ymax                                                                      (6)

y’i= (y- ymin)/ ymin                                                                      (7)

где ymax , ymin              - верхний и нижний пределы одностороннего ограничения по i-му частному;

y’i - значение i- го частного параметра, переводимого в шкалу желательности.

Подбор для каждого частного параметра оптимизации механизма перевода заключается:

- в задании двух контрольных точек ( обычно одна из точек это ограничение);

- в присвоении им желательностей ( по усмотрению специалиста, заказчика);

- в определении кодированных значений этих контрольных точек (y’) по формуле:

y’ = - lnln (1/d)                                                                       (8)

- в определении по двум точкам уравнения прямой вида y’ = a*y+b , которое выступает в качестве механизма перевода y в y’.

Если графический способ ( с помощью номограммы) позволяет избежать промежуточные преобразования и определить их желательности сразу, то аналитический ( более точный) способ сопровождается еще дополнительными расчетами для окончательного установления желательностей этих параметров. Сущность их описана ниже.

После определения кодированных значений ( с помощью уравнения y’ = a*y + b) всех частных параметров каждого альтернативного варианте решения вычисляются их желательности по формуле (1). Следующим этапом является проверка годности полученных значений для решения поставленной задачи по показателю статистической чувствительности ( η).

Мерой статистической чувствительности частного параметра оптимизации является коэффициент вариации числовой системы Y (совокупности значения параметра оптимизации по вариантам решения), определенный по формуле:

η = Sy / ycp                                                                                     (9)

где              ycp - среднее значение числовой системы Y;

              Sy – среднеквадратичное отклонение числовой системы Y.

Значения статистической чувствительности как частной, так и обобщенной функции желательности должны быть не меньше, чем значение чувствительности соответствующих параметров оптимизации переводимых в желательности (т.е. ηd  ≥ η y ). Т.е. шкала желательности (см. табл.1.1) должна быть не менее чувствительна к изменениям значений желательности относительно своего среднего, чем сама числовая система со значениями параметра оптимизации. В том случае когда вышеуказанное условие не выполняется, необходимо заменить механизм перевода, задавая иные контрольные точки и снова проверить.

Ниже, в следующем разделе, для усвоения теоретического материала, изложенного выше, предлагается пример.

2. Пример по выбору оптимального варианта технологического процесса плавки из совокупности существующих альтернатив.

ЗАДАЧА: Определить оптимальный вариант технологического процесса плавки чугуна при разработке проекта модернизации действующего плавильного участка чугунолитейного цеха.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ.

1. Ограничения и желательные уровни по частным параметрам оптимизации, задаваемые технологом и заказчиком в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Продолжение таблицы 2.1

Продолжение таблицы 2.1

Примечание: значения параметров, отмеченных символом * представлены в виде обозначений ( вида, названии, марки) или в виде интервала или отдельных значений дискретных величин, измеренных в порядковых шкалах. Поэтому, в этом случае уровень значений ( минимальный, максимальный) не задается. Допустимость варианта решения определяется иным образом ( см. дальше).

2. Совокупность альтернативных вариантов технологического процесса плавки чугуна ( имеющихся в наличии) со своими значениями частных параметров оптимизации представлена в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Продолжение таблицы 2.2