График функции

10.14 Исследовать кривую второго порядка и построить ее график

Решение:

Группа старших членов данного уравнения образует квадратичную форму 
B = 4x² + 2xy + 4y² 
Матрица этой квадратичной формы:

Находим собственные числа  и собственные векторы этой матрицы: 
(4 - λ)x₁ + 1y₁ = 0 
2x₁ + (4 - λ)y₁ = 0 
Характеристическое уравнение:

λ² -8 λ + 15 = 0 
D = (-8)² - 4 • 1 • 15 = 4 
 
 
Вид квадратичной формы: 
5x²₁ + 3y²₁. 
Исходное уравнение определяет эллипс (λ₁ > 0; λ₂ > 0) 
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. 
λ₁ = 5 
-1x₁ + 1y₁ = 0 
1x₁-1y₁ = 0 
или 
-1x₁ + 1y₁ = 0 
Собственный вектор, отвечающий числу λ₁ = 5 при x₁ = 1: 
 
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор: 

где -длина вектора

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму  собственному числу λ₂ = 3, находим из системы: 
1x₁ + 1y₁ = 0 
1x₁ + 1y₁ = 0 
или 
1x₁ + 1y₁ = 0 
 

Итак, имеем новый ортонормированный  базис (i₁, j₁). 
Переходим к новому базису:

Или

 
 
 
Вносим выражения x и y в исходное уравнение 4x² + 2xy + 4y² + 12x + 12y + 1 и, после преобразований, получаем:

 
или

График: