Исследование операций. 2

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный  политехнический университет»

Факультет экономики и менеджмента

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по  дисциплине: «Исследование операций».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:                 /Сбитнев В.С./

Проверил:                      /                           /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург. 2013

Содержание

 

Введение            3

1. Динамическое программирование       4

2. Решение задачи динамического программирования    5

Заключение           9

Использованная литература         10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Исследование операций (ИО, англ. operations research — OR, также англ. management science — наука управления) — дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения оптимальных решений на основе математического моделирования, статистического моделирования и различных эвристических подходов в различных областях человеческой деятельности. Иногда используется название математические методы исследования операций.

Исследование операций —  применение математических, количественных методов для обоснования решений  во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Исследование операций начинается тогда, когда для обоснования  решений применяется тот или  другой математический аппарат. Операция — всякое мероприятие (система действий), объединённое единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели. Операция всегда является управляемым мероприятием, то есть зависит от человека, каким способом выбрать параметры, характеризующие её организацию (в широком смысле, включая набор технических средств, применяемых в операции). Решение (удачное, неудачное, разумное, неразумное) — всякий определённый набор зависящих от человека параметров. Оптимальное — решение, которое по тем или другим признакам предпочтительнее других. Цель исследования операций — предварительное количественное обоснование оптимальных решений с опорой на показатель эффективности. Само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица (лиц). Элементы решения — параметры, совокупность которых образует решение: числа, векторы, функции, физические признаки и т. д. Если элементами решения можно распоряжаться в определённых пределах, то заданные («дисциплинирующие») условия (ограничения) фиксированы сразу и нарушены быть не могут (грузоподъёмность, размеры, вес). К таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми человек вправе распоряжаться, и иные ограничения, налагаемые на решение. Их совокупность формирует множество возможных решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Динамическое программирование

 

Динамическими называются задачи экономики, организации и управления, в которых необходимо распределять ресурсы на каждом этапе какого – либо промежутка (времени).

Формулировка задачи ДП:

Имеется некая система S, находящаяся в первоначальном состоянии S. Данная система имеет какие  – либо параметры. При переходе системы  из одной точки в другую необходимо в каждый момент времени выбирать направление дальнейшего движения из нескольких допустимых направлений  при условии, что  каждому направлению соответствует своя эффективность (параметры системы изменяются по разному), и необходимо таким образом спланировать маршрут из начальной точки в конечную, чтобы критерий эффективности достигал экстремального значения.

Иными словами из множества  допустимых управлений U=(U1, U2, …, Un) необходимо  найти оптимальное, при котором система переходит из своего начального состояния в конечное таким образом, что критерий оптимальности W достигает своего максимума.

Динамическое программирование представляет собой метод оптимизации  многошаговых процессов по шагам. Локальный  оптимум на каждом шаге должен рассчитываться не как оптимальный на данном этапе, а как дающий максимальное значение критерия оптимальности в конце движения. Несоблюдение этого правила приводит к серьезным ошибкам, поэтому при решении задач ДП двигаются обычно из конца пути в начало, рассчитывая затраты при движении в каждом направлении, а затем из начала в конец, находя локальный оптимум из рассчитанных затрат на каждом шаге. Таким образом получаем максимальное значение критерия оптимальности.

В основе расчетов методом  динамического программирования лежит  принцип Беллмана. Он звучит так: оптимальное управление обладает тем свойством, что каковы бы ни были достигнутые состояния и решения до данного момента, последующее решение должно составлять оптимальное поведение относительно состояния, достигнутого на данный момент.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Решение задачи динамического программирования

                    

Распределение ресурсов предприятиями.

 

Предприятие 1.

 

Количество составов	Прибыль на 1 состав
6,17	676,8
4,31 – 6,17	388,8
3,08 – 4,31	244,8
1,85 – 3,08	172,8
до 1,85	100,8

 

 

Предприятие 2.

 

Количество составов	Прибыль на 1 состав
6,18	459,25
4,33 – 6,18	305,25
3,09 – 4,33	151,25
1,85 – 3,09	74,25
до 1,85	-78,75

 

Предприятие 3.

 

Количество составов	Прибыль на 1 состав
5,66	294,68
3,96 – 5,66	40,28
2,83 – 3,96	-214,12
1,7 – 2,83	-298,92
до 1,7	-458,52

 

 

 

Количество составов, выделенных всем трем предприятиям (N), равно 14.

Рассчитаем эффективность  использования средств предприятиями. Для этого прибыль на один состав умножим на количество составов, при  которых достигается эта прибыль  на каждом из предприятий.

,  где n – количество составов, Pn – прибыль при этом количестве составов.

 

Количество составов	Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
1	100,8	-78,15	-458,52
2	345,6	148,5	-597,94
3	518,4	222,75	-642,36
4	979,2	605	161,12
5	1944	1526,25	201,40
6	2332,8	1831,5	1768,08

 

 

 

Рассчитаем  - максимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2. составов. Теперь рассчитаем минимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2, исходя из того, что максимально возможное количество составов для предприятия 3 равно   = 6 составов, тогда составов. Составим таблицу выделения средств двум предприятиям (1 и 2). Здесь x - общее количество ресурсов (составов) для двух предприятий; x = x1 + x2;  0 x₁ 6 – допустимое количество составов для предприятия 1; 0 x₂ 6 – допустимое количество составов для предприятия 2. Отсюда видно, что  0 x , однако количество составов для предприятия 3 не может превышать 6, следовательно x , следовательно x ; 8 x 12. q₁, q₂ – эффективность использования средств предприятиями 1 и 2 соответственно взятая из предыдущей таблицы. W2 = q1 + q2 – суммарная эффективность обоих предприятий. Наибольшую суммарную эффективность для каждого значения x будем подчеркивать.

 

 

 

 

 

 

x	x1	X2	Эффективность
			q1	q2	W2
8	2	6	345,6	1831,5	2177,1
	3	5	518,4	1526,25	2044,65
	4	4	979,2	605	1584,2
	5	3	1944	222,75	2166,75
	6	2	2332,8	148,5	2481,3
9	3	6	518,4	1831,5	2349,9
	4	5	979,2	1526,25	2505,45
	5	4	1944	605	2549
	6	3	2332,8	222,75	2555,55
10	4	6	979,2	1831,5	2810,7
	5	5	1944	1526,25	3470,25
	6	4	2332,8	605	2937,8
11	5	6	1944	1831,5	3775,5
	6	5	2332,8	1526,25	3859,05
12	6	6	2332,8	1831,5	4164,3

 

 

 

Теперь составим таблицу  выделения средств всем трем предприятиям. Так как N – общее количество составов равно 14, а максимально возможное  количество составов для предприятий 1 и 2 =12, то всем трем предприятиям может быть выделено 13 или 14 составов. W3 – суммарная эффективность всех трех предприятий.

 

 

Количество      Составов	x3	x	Эффективность использования ресурсов
			q3	W2	W3
13	1	12	-458,52	4164,3	3705,78
	2	11	-597,94	3859,05	3261,11
	3	10	-642,36	3470,25	2827,89
	4	9	161,12	2555,55	2716,67
	5	8	201,4	2481,3	2682,7
14	2	12	-597,94	4161,3	3563,36
	3	11	-642,36	3859,05	3216,69
	4	10	161,12	3470,25	3631,12
	5	9	201,4	2555,55	2756,95
	6	8	1768,08	2481,3	4249,38

 

W3 максимальное равно  4249,38, следовательно Z = 4249,38.

x3 = 6; x2 = 2; x3 = 6.

 

 

Вывод:

В результате решения задачи динамического программирования видим, что максимальное значение целевой функции Z = = 4249,38 получается при количестве составов, выделенных 3 предприятиям N = 14, и количестве составов выделенных предприятию 3 x3 = 6. При этом количество составов для предприятий 1 и 2 равно 8. Максимальная эффективности использования 8 составов предприятиями 1 и 2 достигается при выделении предприятию 1 -  6 составов, а предприятию 2 – 2 состава, и она равна 2481,3. Следовательно x1 = 6, x2 = 2, x3 = 6, Z = 4249,38.

Плановые задания предприятиям:

, где P – плановое задание  тыс. тонн, q – производительность  состава, x – количество составов, i – номер предприятия.

Для предприятия 1:

 тыс. тонн;

 тыс. тонн;

 тыс. тонн.

 

 

 

 

Заключение.

 

Характерная особенность  исследования операций — системный  подход к поставленной проблеме и  анализ. Системный подход является главным методологическим принципом  исследования операций. Он заключается  в следующем. Любая задача, которая  решается, должна рассматриваться с  точки зрения влияния на критерии функционирования системы в целом. Для исследования операций характерно то, что при решении каждой проблемы могут возникать новые задачи. Важной особенностью исследования операций есть стремление найти оптимальное  решение поставленной задачи (принцип  «оптимальности»). Однако на практике такое решение найти невозможно по таким причинам:

- отсутствие методов, дающих возможность найти глобально оптимальное решение задачи;

- ограниченность существующих ресурсов (к примеру, ограниченность машинного времени ЭВМ), что делает невозможным реализацию точных методов оптимизации.

В таких случаях ограничиваются поиском не оптимальных, а достаточно хороших, с точки зрения практики, решений. Приходится искать компромисс между эффективностью решений и  затратами на их поиск. Исследование операций дает инструмент для поиска таких компромиссов.

ИО тесно связано с  наукой управления, системным анализом, математическим программированием, теорией  игр, теорией оптимальных решений, эвристическими подходами, мета эвристическими подходами и методами искусственного интеллекта, такими как теория удовлетворения ограничений и нейронные сети.

ИО используют в основном крупные западные компании в решении  задач планирования производства (контроллинга, логистики, маркетинга) и прочих сложных задач. Применение ИО в экономике позволяет понизить затраты или, по другому сформулировав, повысить продуктивность предприятия (иногда в несколько раз!). ИО активно используют армии и правительства многих развитых стран для оценки боевой эффективности вооружений, военной техники и воинских формирований, развития новых видов вооружений, решения комплексных задач снабжения армий, продвижения армий, развития стратегий войн, развития межгосударственных торговых механизмов, прогнозирования развития (например, климата) и т. д. Решение комплексных задач повышенной важности производится методами ИО на суперкомпьютерах, но разработки ведутся на простых ПК. Применять методы ИО можно и на малых предприятиях, используя ПК.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использованная литература

 

1. Резниченко С.С., Ашихмин А.А. Математические методы и моделирование в горной промышленности. – М.: Издательство Московского горного университета, 1997, 404 c.