Классификация математических моделей

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

АГРАРНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 

Кафедра «ЭММ и статистики» 
 
 
 
 
 

Контрольная работа по предмету

«Планирование и прогнозирование» на тему

«Классификация  математических моделей» 
 
 
 

                            Выполнила: Студентка 5 курса

Заочного  экономического отделения

Специальность: Маркетинг

Шифр: 07812021

Островская  Е.А. 
 

Проверил (а): ____________________________ 
 
 

Санкт-Петербург

2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Определение  термина «Математическая модель»……………………………...3

2. Классификация математических моделей………………………………….5

3. Список литературы………………………………………………………………12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Определение  термина «Математическая модель».

         Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

         Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):

1) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

2) способная замещать его в определенных отношениях;

3) дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.

         По учебнику Советова и Яковлева: «модель (лат. Modulus — мера) — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»

         По Самарскому и Михайлову, математическая модель — это «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д.» Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». «Создав триаду „модель-алгоритм-программа“, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные „опыты“, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.»

         По монографии Мышкиса: «Перейдем к общему определению. Пусть мы собираемся исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта a с помощью математики (здесь термин объект понимается в наиболее широком смысле: объектом может служить не только то, что обычно именуется этим словом, но и любая ситуация, явление, процесс и т. д.). Для этого мы выбираем (как говорят, строим) „математический объект“ a' — систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т. д.,— исследование которого средствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S. В этих условиях a' называется математической моделью объекта a относительно совокупности S его свойств.»

         По Севостьянову А. Г.: «Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе.»

         Несколько менее общее определение математической модели, основанное на идеализации «вход — выход — состояние», заимствованной из теории автоматов, даёт Wiktionary: «Абстрактное математическое представление процесса, устройства или теоретической идеи; оно использует набор переменных, чтобы представлять входы, выходы и внутренние состояния, а также множества уравнений и неравенств для описания их взаимодействия.»

         Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: «Уравнение, выражающее идею.» 

2. Классификация математических моделей.

         Ввиду разнообразия применяемых математических моделей, их общая классификация затруднена.

Основной  принцип классификации  математических моделей.

         В качестве основного принципа классификации математических моделей часто используют области их применения. При таком подходе выделяются следующие области применения:

1) физические процессы;

2) технические приложения, в том числе управляемые системы, искусственный интеллект;

3) жизненные процессы (биология, физиология, медицина);

4) большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные, экономические, экологические);

5) гуманитарные науки (языкознание, искусство).

Формальная  классификация моделей

         Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий:

1) Линейные  или нелинейные модели;

2) Сосредоточенные  или распределённые системы;

3) Детерминированные  или стохастические;

4) Статические  или динамические;

5) Дискретные  или непрерывные .

и так  далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной  или стохастической, статической  или динамической и т.д. Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредо- точенные (по части параметров), в другом- распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления  объекта

         Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта: структурные или функциональные модели.

         Структурные модели представляют  объект как систему со своим  устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют  таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика». Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Содержательные  и формальные модели

         Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики, биологии, экономики, социологии, психологии, и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

Математические модели, безотносительные к

математическому аппарату.

         К математическим моделям, безотносительных к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

1)дескриптивные  (описательные)  модели;

2) оптимизационные  модели;

3) многокритериальные модели;

4) игровые  модели.

Примеры:

         Дескриптивные (описательные) модели. Например, моделирование движения  кометы, вторгшейся в Солнечную  систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

         Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

         Многокритериальные модели. Нередко  приходится оптимизировать процесс  по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

         Игровые модели могут иметь  отношение не только к компьютерным  играм, но и к весьма серьезным  вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики — теория игр, — изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

Математические  модели на основе особенностей

применяемого математического аппарата.

         В классификации математических  моделей на основе особенностей  применяемого математического аппарата можно выделить следующие их разновидности:

1. Математические модели с сосредоточенными параметрами.

         Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

Математические  модели с сосредоточенными параметрами  широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные -  концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.

         В случае сложных систем число динамических переменных и, следовательно, дифференциальных уравнений может быть велико (до 10²... 10³). В этих случаях полезны различные методы редукции системы, основанные на временной иерархии процессов, оценке влияния различных факторов и пренебрежении несущественными среди них и др.

         Метод последовательного расширения модели может привести к созданию адекватной модели сложной системы.

2. Математические модели с распределенными параметрами.

         Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

3. Математические модели, основанные на экстремальных принципах.

         Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике. Например, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов. Однако и в других науках экстремальные принципы играют существенную роль.

         Экстремальный принцип используется при аппроксимации эмпирических зависимостей аналитическим выражением. Графическое изображение такой зависимости и конкретный вид аналитического выражения, описывающего эту зависимость, определяют с помощью экстремального принципа, получившего название метода наименьших квадратов (метод Гаусса), суть которого заключается в следующем.

         Пусть проводится опыт, целью которого является исследование зависимости некоторой физической величины Y от физической величины X. Предполагается, что величины х и у связаны функциональной зависимостью

y=j(х).                              

         Вид этой зависимости и требуется определить из опыта. Предположим, что в результате опыта получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости у от х. Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильно, дают некоторый разброс, т. е. обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения. Тогда возникает типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости.

         Для решения этой задачи обычно применяется расчетный метод, известный под названием метода наименьших квадратов (или метод Гаусса).

         Разумеется, перечисленные разновидности математических моделей не исчерпывают весь математический аппарат, применяемый в математическом моделировании. Особенно разнообразен математический аппарат теоретической физики и, в частности, ее важнейшего раздела - физики элементарных частиц.

Жёсткие и мягкие модели

         Гармонический осциллятор — пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

         Здесь  — некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, — некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида , то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

         Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

         Важнейшие математические модели  обычно обладают важным свойством  универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Список  литературы.

1. Советов  Б. Я., Яковлев С. А., Моделирование  систем: Учебник для вузов —

    3-е изд., переработанное и дополненное — М.: Высшая школа, 2001 год.

2. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи.

    Методы. Примеры. — 2-е изд., исправленное — М.: Физматлит, 2001 год.

3. Мышкис А. Д., Элементы теории математических моделей. — 3-е изд.,

    исправленное — М.: КомКнига, 2007 год.

4. http://ru.wikipedia.org