Кластерный анализ

V. Кластерный анализ. 

     1. Проранжируем данные по всем показателям и исключим аномальные наблюдения: визуальный анализ диаграмм рассеяния показал, что таких наблюдений нет.

     На  основе корреляционной матрицы проверим, не присутствует ли мультиколлинеарность между признаками. 

      Мультиколлинеарности  не наблюдается, поэтому кластеризация будет проводиться по 60 наблюдениям. 

     Построим  регрессию по всем переменным, используя метод пошагового исключения регрессоров в SPSS:

                                     Model Summary 

      Coefficients(a) 

     На  основе полученных данных можно сделать  вывод о том, что из трех построенных  моделей наилучшая – третья (основанный на численности населения за чертой бедности, численности безработных  и общем коэффициенте смертности), т.к. эта модель имеет наибольшую точность (R² = 0,721) и наименьшую ошибку (S = 4045,55). На основе анализа было также выявлено, что на уровне значимости α = 0,05 уравнение регрессии значимо, а также значимыми являются и все коэффициенты. 

     Окончательное уравнение регрессии имеет вид: Y = 3881,37 + 17,6X₂ + 1,72X₃ – 342,05X₅,

                                                                                                                 (0,634)     (0,43)    (-0,132)

                                                                                                     S = 4045,55, R² = 0,721. 

     2. Проведем классификацию объектов с использованием иерархических кластер-процедур, используя Евклидово расстояние, а также методы ближнего соседа, дальнего соседа, центра тяжести, средней связи, Уорда (Warda). 

Результаты классификации  представлены в таблице: 

3. Таким образом, исходную совокупность объектов целесообразно разбить на 3 кластера. 
 
 
 

4. Классифицируем объекты с помощью метода k – средних. 

     В предыдущем пункте мы выяснили, что  целесообразнее всего разбить совокупность на 3 кластера. Классификация объектов по кластерам представлена в таблице: 

В таблице приведены  средние значения кластеров по показателям: 

      Как видно из таблицы, первый кластер  характеризуется малыми численностью населения, количеством безработных  и долей населения за чертой бедности, при этом высокими коэффициентами смертности и рождаемости. Этот кластер включает в себя в основном небольшие развивающиеся страны (однако, возможно, из-за маленькой численности населения в этот же кластер попали Эстония, Латвия, Литва, Мальта и Люксембург). 

      Второй  кластер включает в себя страны с  большой численностью населения, количеством  безработных и долей населения  за чертой бедности, тогда как коэффициент  рождаемости у этого кластера самый маленький, а коэффициент смертности – средний по сравнению с остальными кластерами. Этот кластер состоит в основном из развитых стран (за исключением Азербайджана и Кубы). 

      Третий  кластер можно назвать «промежуточным»: показатели численности населения, безработных и населения за чертой бедности превышают те же характеристики для первого кластера, но уступают второму. Общий коэффициент рождаемости – самый большой из трех кластеров, а коэффициент смертности – самый маленький. В этот кластер попали как развитые, так и развивающиеся страны. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Построим графики, отражающие разбиение  совокупности данных на кластеры:

5. Построим типологические  регрессии по каждому  кластеру. 

      а) 1 кластер 

Методом пошагового исключения регрессоров: 

      Model Summary   

a  Predictors: (Constant), X3

b  Predictors: (Constant), X3, X4 

      Coefficients(a) 

a  Dependent Variable: X1 

      Т.к. модель, включающая константу и показатели X3 и X4, признанные значимыми, имеет наибольший коэффициент детерминации (R²=0,723), а также меньшую стандартную ошибку (S=617,28), то моделью, наиболее точно описывающей эмпирические данные, признается она. Уравнение регрессии значимо. Тем не менее, модель недостаточно точна. 

Окончательное уравнение регрессии примет вид: Y = 1760,55 + 2,82X₃  – 71,11X₄,

                                                                                     (399,86)    (0,36)      (26,25)

                                                                                          S = 617,28, R² = 0,723. 

      б) 2 кластер 

Методом пошагового исключения регрессоров: 

      Model Summary 

a  Predictors: (Constant), X2

b  Predictors: (Constant), X2, X3 

      Coefficients(a) 

a  Dependent Variable: X1 

Т.к. модель, включающая константу и показатели X2 и X3 имеет наибольший коэффициент детерминации (R²=0,510), а также меньшую стандартную ошибку (S=2971,02), то моделью, наиболее точно описывающей эмпирические данные, признается она. Однако константа оказалась незначимой.  

Окончательное уравнение регрессии примет вид: Y = 16,32X₂  + 2,5X₃,

                                                                                       (5,59)       (1,03)

                                                                             S = 2971,02, R² = 0,510. 

Из-за низкого  коэффициента детерминации модель не является пригодной для дальнейшего  анализа. 

      в) 3 кластер 

      Model Summary 

a  Predictors: (Constant), X4 

      Coefficients(a) 

a  Dependent Variable: X1 

Модель имеет  коэффициент детерминации R²=0,380, стандартную ошибку (S=757,93). Коэффициенты и уравнение регрессии признаны значимыми. 

Тогда окончательное  уравнение регрессии примет вид: Y = 3546,7  + 91,95X₄,

                                                                                              (507,44)  (30,31)

                                                                                         S = 757,93, R² = 0,380. 

Из-за низкого  коэффициента детерминации модель не является пригодной для дальнейшего  анализа.

6. Выводы. 

      Использование типологических регрессий не было целесообразным. Все модели, полученные в предыдущем пункте, уступают по качеству первой построенной  модели. Возможно, необходимо было разбить  совокупность на другое количество кластеров  или использовать другие методы кластеризации.