Контрольная по "математике"

Задание № 1.  

Даны  вершины А (х₁; у₁), В (х₂; у₂), С (х₃; у₃) треугольника АВС. Требуется найти: А) уравнение стороны АС; Б) уравнение высоты, проведенной из вершины В; В) длину высоты, проведенной из вершины А; Г) величину угла В (в радианах); Д) уравнение биссектрисы угла В.  

А(6; 3), В(-10; -9), С(-3; 15).

А) уравнение  прямой

Множество точек  прямой можно задать в виде вектора

{x - x0 ; y – y0} = MM0

AC = (-9;12)

Перпендикулярный  к вектору AC вектор:

(4; 3) (так как  его скалярное произведение на  AC = 0)

Скалярное произведение это вектора на вектор MM0 = 0

4(x-x0)+3(y-y0)=0

4(x-6)+3(y-3)=0

4x+3y – 33 = 0

Б) Высота - прямая проходящая через B и перпендикулярная AC

(x+10; y +9) *(скалярно на) (4; 3)

4(x+10)+3(y+9)=0

4x+3y+67=0

В)

Найдем длины  сторон:

AC = ((-3-6)^2+(15-3)^2)^0.5=15

AB= ((-10-6)^2+(-9-3)^2)^0.5=20

BC=((-3+10)^2+(15+9)^2)^0.5=25

По теореме  косинусов:

AC^2 = AB^2 + BC^2 –  2 AB* BC cos B

cosB = [AB^2+BC^2 –  AC^2]/[2 AB BC]= 4/5

B = arcos(4/5)

Д) Аналогично найдем уравнений прямой AB

AB = (-16;-12)

вектор (-3;4) перпендикулярен  ему и любой точке прямой AB

(x+10)*(-3)+(y+9)*4 = 0

-3x+4y+6=0

Д)Чтобы найти  уравнение биссектрисы достаточно повернуть BA вокруг точки B на угол arcos(4/5)/2: 

Задание № 2. Даны вершины А₁(х₁; у₁; z₁), A₂(х₂; у₂; z₂), A₃(х₃; у₃; z₃), A₄(x₄; y₄; z₄). Средствами векторной алгебры найти: А) длину ребра А₁A₂; Б) угол между ребрами А₁A₂ и А₁A₃; В) площадь грани А₁A₂A₃ ; Г) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A₄; Д) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины A₄; Е) объем пирамиды А₁A₂A₃A₄.  

2) А₁(4; 4; 5), A₂(10; 2; 3), A₃(-3; 5; 4), A₄(6; -2; 2).

А) |A1A2| = ((10-4)^2+(2-4)^2+(3-5)^2)^0.5=2*11^0.5

Б) A1A2 = (6; -2; -2)

    A1A3 = (-7;1;-1)

Cos ^(A1A2, A1A3) = [X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2]/[(X1^2 + Y1^2 +Z1^2)(X2^2+Y2^2+Z2^2)]^0.5

=  (-42-2-2)/[(36+4+4)(49+2)]^0.5 = -46/ [44*51]^0.5

^ = arcos -46/ [44*51]^0.5

 В)|A1A3|=((-3-4)^2+(5-4)^2+(4-5)^2)^0.5=51^0.5

S= |A1A2|*|A1A3| sin A1/2

Sin A1 = (1-cos^2[A1])^0.5= (1-cos^2[A1])^0.5 = ([44*51 – 46^2]/44*51)^0.5=(32/[11*51])^0.5

S = (32/[11*51])^0.5 * 51^0.5*2*11^0.5 / 2=32^0.5=4*2^0.5

Г) -

Д) -

Е) Объём = 1/3 S * h 

Задание № 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера 

Найдем определитель

∆ = 1(-3+4)+3(-6-4)+1(4+2)=-23

Заменяем столбец x столбцом правых частей и находим определитель:

-7 -3 1

4 1 -2

2 2 -3

∆x = -7(-3+4)+3(-12+4)+(8-2)=-7-24+6=-25

1 -7 1

2 4 -2

-2 2 -3

∆y = (-12+4)+7(-6-4)+(4+8)= -8-70+12=-66

1 -3 -7

2 1 4

-2 2 2

∆z = (2-8)+3(4+8)-7(4+2)= -6+36-42=-12

x = ∆x/∆ = -25/-23 = 25/23

y = ∆y/∆ = -66/-23 = 66/23

z = ∆z/∆ = -12/-23=12/23 

Задание № 4. Решить 3 системы методом Гаусса (в таблицах даны элементы расширенных матриц систем 4-х уравнений с 4-мя неизвестными).  

• Вычтем из последний строки первую:

 

• Вычтем  из третий первую и вторую:

• Вычтем  из первой удвоенную вторую

 

Вычтем из третьей  первую умноженную на 7/3

• Вычтем  из третьей строки четвертую, умноженную на 11/3

• Перепишем в ступенчатом виде:

• x4 = -21; x3 = (3 +21)/(-3)=-8;x2 = (-3 -27+24)/3 = 0; x1 = 7 + 21 = 28

2)

• Вычтем из последней 2ую

 

• Вычтем из 3ей 1ую:

• Вычтем из 1ой 2ую, умноженную на 2:

->Прибавим  к 1ой 3ью и вычтем 4ую

• Прибавим к 3-ей удвоенную последнюю:

• Рассмотрим систему с обнуленной правой частью, и найдем ФСР

rg A= 3

Количество  линейно независимых решений 4 -3 = 1

Пусть x4 = 3; x3=2;x2= 3; x1 = -9 – пусть это вектор y

Тогда ФСР: C*y

Подберем частное  решение:

x4 = 3; x3= 3; x2 = 5; x1 = 16 – пусть это вектор y0 =>

Общее решение: C*y + y0

• Вычтем из 4ой 3ю:

• Прибавим ко 2ой 1ую и вычтем 3ю:

 

• Это система несовместна (т.е. не имеет решений), так как нулевой строке должна соответствовать нулевая правая часть.

Задание № 5. Z₁, Z₂ – комплексные числа. Выполнить действия: А) Z₁+ Z₂; Б) Z₁ × Z₂; В) Z₁/Z₂.

Z₁=2–i; Z₂=5-3i.

Z1+Z2 = 7-4i

Z1*Z2 = (2-i)(5-3i)= 10-6i-5i-3= 7-11i

Z1/Z2 = a + ib

(a + i b)(5-3i) = 2 –  i

5a – 3i a + 5b i +3b = 2 – i

5a+ 3b = 2

-3a+5b = -1

15a+9b=6

-15a+25b=-5

34b= 1

b = 1/34

5a = 2 – 3/34 = [68 -3]/34 = 65/34

a= 13/34

Z1/Z2 = 13/34 + 1/34 i 

Задание № 6. Записать комплексное число  в тригонометрической и показательной формах.

Z = 2 + i

|z| = 5^0.5

Arg[z] = arctg ½ 

Z  = 5^0.5(cos(arctg1/2) + i sin(arctg 1/2))

Z = 5^0.5 e^(i*arctg1/2) 
 

Задание № 7.  Вычислить указанные пределы, не используя правило Лопиталя. 

A) x0 = -1

Lim(…) x->-1= Lim [(x+1)(x-2)]/[(x+1)(x+3)]= Lim (x-2)/(x+3) x->-1 = -3/2

Б)x0 = 1

Lim(…) x->1 = (1 –  1 – 2)/(1+4+3)=-2/8=-1/4

В)x0=∞

Lim(…) x->∞= Lim (x-2)/(x+3) = lim (1 – 2/x)/(1+3/x) x->∞ = 1 

Задание № 8. Найти производные функций.

A)

y'= 10x-8/x^3 -1/3 * x^[-2/3]

Б)

y'= [e^x(x^3+4)]’ = e^x(x^3+4) + e^x(3x^2)

В) y = arctg x / [x^2 + 1]

y'= [1/(x^2+1)  *(x^2+1)- arctg x [2x]]/[x^2+1]^2=[1-2x arctgx]/(x^2+4)^2

Г)

y'=1/[e^(x^2+4)-1] *[e^(x^2+4)-1]’=1/[e^(x^2+4)-1] *e^(x^2+4) * 2x 

Задание № 9. Исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.

Y(0)=1

Y= 0 в точке x= -2

Функция определена на всей числовой прямой

Y = [x^2+4x+4]/[4+x^2] = 1 +4x/[4+x^2]

То есть при  x->∞ y-> 1

Y’= [1 +4x/[4+x^2]]’=[4(4+x^2)-4x(2x)]/(4+x^2)^2 = 4[4-x^2]/ (4+x^2)^2=

То есть функция  возрастает на -2 до 2, на остальном множестве она убывает

y'’=4  [[-2x ] (4+x^2)^2 – 2* [4-x^2]*(4+x^2)*2x]/(4+x^2)^4=

4[-2x(4+x^2)-4(4-x^2)x]/[4+x^2]^3=

= 4(-8x-2x^3-16x+4x^3)/[4+x^2]^3=

4(2x^3-24x)/ [4+x^2]^3 = 8x(x^2-12)/[4+x^2]^3

При x e (-∞; -12^0.5) – функция вогнута вниз

xe(-12^0.5; 0) – функция вогнута вверх

xe(0; 12^0.5)-функция вогнута вниз

xe(12^0.5; +∞)- функция вогнута вверх

 
 

Задание № 10. С помощью дифференциала найти приближенное значение функции. 

А) ln1.07;  Б)sin49⁰

Ln(1+0.07)

dy = f’(x) dx

f(x+ ∆x) – f(x) = f’(x) ∆x

f(x +∆x) = f’(x) ∆x + f(x)

, здесь x = 1 ; ∆x = 0.07; f(x) = ln(x)

f'(x) = 1/x; f’(1)= 1

ln(1+0.07)=0.07

Б)Аналогично

Sin(49⁰) = Sin(49*pi/180)

Аналогично предыдущему

X = 45⁰; ∆x = 4⁰; f(x) = sin x

f’(x) = cos x; f’(45)=1/2^0.5

Sin(49⁰) =1/2^0.5 * 4 * pi/180 + 1/2^0.5 = 1/2^0.5 [4 pi + 180]/180 = 0.756 

Задание № 11.  Для функции z=f(x,y)  найти частные производные первого и второго порядков. 

Z = [2x+3y]/[x-5y]

z'(x) = [2(x-5y)-(2x+3y)]/[x-5y]^2 = -13y/[x-5y]^2

z’(y)=[3(x-5y)-(2x+3y)(-5)]/(x-5y)^2= 13x/(x-5y)^2

z’’(xx)= 26y/[x-5y]^3

z’’(yy)=26*5x/(x-5y)^3=130x/(x-5y)^3

z’’(xy)=z’’(yx)= [13x/(x-5y)^2]’x = [13(x-5y)^2 – 26x(x-5y)]/(x-5y)^4=

[13(x-5y)-26x]/(x-5y)^3=[-13x-65y]/(x-5y)^3 

Задание № 12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y)  в области, ограниченной  осями координат и прямой  Ах+Ву+С=0. Дать геометрическую иллюстрацию задачи. 

f(x,y)=2x² + 3xy + 2y² – 2x - 5y, 5x - 3y + 15 = 0.

y = 5x/3 + 5

f’x = 4x+3y-2

f’y=3x+4y-5

4x+3y-2=0

3x+4y-5=0

4x+3y=2

3x+4y = 5

12x+9y=6

12x+16y=20

7y=14

y=2; x=-1

Точка (-1, 2) принадлежит  области

f'’xx = 3

f’’yy=4

f’’xy=f’’yx=3

Квадратичная  матрица

3   3

3   4

A1=3>0;A2=12-9=3>0

• (-1;2)-минимум

Значит так  как функция ограничена снизу  и это единственный экстремум, то наименьшее значение = 2-6+8+2-10=-4  

Задание № 13. Вычислить неопределенные интегралы.  

A)  Int x^4 ln x dx = {t = lnx; x = e^t; dx = e^t dt} =

Int e^4t * t * e^t dt = Int e^5t *t dt = 1/5 Int t de^5t = 1/5 (t e^5t – Int e^5t dt) =

1/5[te^5t – e^5t/5] + C = 1/5[ln x x^5 – x^5/5 ] + C

Б) = 1/2 Int sin^5(2x)dsin2x = ½ sin^6(2x)/6 + C = sin^6(2x)/12 + C

В)

=Int (1 – 2x^2)^0.5dx^2 = -1/2 Int(1-2x^2)^0.5d(1-2x^2) = -1/2 (1-2x^2)^1.5 /1.5 = -[1 -2x^2]^1.5/3 

Задание № 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=ax²+bx+c  и y=mx+n  (параметры a, b, c, m, nзаданы в таблице). Построить график.   

y=x^2+4x+3

     y =x+3

Разобьём фигуру на три части, то что находится  ниже Ox от -3 до -1. И все что находится в треугольнике образованный осями и прямой минус часть параболы от -1 до 0.

Int [-3..-1] x^2+4x+3 dx = [x^3/3 + 2* x^2 + 3x] | [-3..-1] =

(-1/3 + 2-3)-(-3^2+2*9-9)=-1 1/3

Площадь треугольника = 3*3/2 = 9/2

Int[-1; 0] x^2+4x+3 dx = [x^3/3 + 2* x^2 + 3x] | [-1..0]=0-(-1/3+2-3)=1+1/3

S = 9/2 – 4/3 + 4/3=9/2 

Задание № 15. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.  

5x² + 3y²  =  z; x^{2 +} y²  = 1

Получили каноническое уравнение эллипса с полуосями   a = и b = .

Площадь этого  эллипса равна   S (z) = = =

Объем находим  интегрированием: V = (z) dz = zdz= | =  

Задание № 16. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.  

(x² + 2x + 1)y^’ – (x + 1)y = x – 1

X = -1 – не является решением

 (x+1)y’ – y = [x-1]/[x+1]

y’ – y/(x+1) = [x - 1]/[x+1]^2

Решим однородное уравнение

y’ – y/(x+1) =0

dy/y = dx/(x+1)

ln |y| = ln |x+1| + ln |C|

y = C (x + 1)

y=C(x)(x+1)

y’ = C’(x)(x+1)+C(x)

C’(x)(x+1)+C(x) –  C(x) = [x-1]/(x+1)^2

C’(x) = [x-1]/(x+1)^3

C(x) = Int [x-1]/(x+1)^3dx = Int [x+1 - 2]/(x+1)^3 dx= Int(1/(x+1)^2 -2/(x+1)^3)dx=

-1/(x+1)+1/(x+1)^2 + K

y=-1+1/(x+1)+K(x+1) 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы:  

1. Красс М. С. Математика для экономических специальностей. М.: 1998.

2.  Красс  М. С., Чупрынов Б. П. Основы  математики и ее приложения  в экономическом образовании.      М.: 2004.

3.  Карасев  А. И. И др. Курс высшей математики для экономических ВУЗов. М.: 1982.

4.  Высшая  математика для экономистов (под  ред. Кремера Н. Ш.). М.: 2006.

5.  Головина  Л. И. Линейная алгебра и  некоторые ее приложения. М.: 1985.

6.  Ильин  В. А., Позняк Э. Г. Линейная  алгебра. М.: 1978.

7.  Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.: 1993.