Контрольная работа по дисциплине "Эконометрика". 2

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. ( , )

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,
1	85	142
2	89	148
3	87	142
4	79	154
5	89	164
6	113	195
7	67	139
8	98	167
9	82	152
10	87	162
11	86	155
12	117	173

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии по .
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и отдельных параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике отложить исходные данные и теоретическую прямую.
7. Проверить вычисления в MS Excel.

 

Решение

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу.

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	85	142	12070	7225	20164	153,12	-11,12	123,54	7,83
2	89	148	13172	7921	21904	156,91	-8,91	79,41	6,02
3	87	142	12354	7569	20164	155,01	-13,01	169,34	9,16
4	79	154	12166	6241	23716	147,42	6,58	43,28	4,27
5	89	164	14596	7921	26896	156,91	7,09	50,25	4,32
6	113	195	22035	12769	38025	179,69	15,31	234,49	7,85
7	67	139	9313	4489	19321	136,03	2,97	8,80	2,13
8	98	167	16366	9604	27889	165,45	1,55	2,40	0,93
9	82	152	12464	6724	23104	150,27	1,73	3,00	1,14
10	87	162	14094	7569	26244	155,01	6,99	48,82	4,31
11	86	155	13330	7396	24025	154,06	0,94	0,88	0,60
12	117	173	20241	13689	29929	183,48	-10,48	109,89	6,06
Итого	1079	1893	172201	99117	301381	1893,37	-0,37	874,10	54,64
Среднее значение	89,92	157,75	14350,08	8259,75	25115,08	157,78	–	72,84	4,55
	13,20	15,17	–	–	–	–	–		–
	174,14	230.02	–	–	–	–	–		–

Находим параметры уравнения регрессии

;

.

Получено уравнение регрессии:

.

Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,95 руб. (или 95 коп.).

После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7–10 нашей таблицы.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

;

Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит о наличии весьма тесной линейной связи между признаками.

Коэффициент детерминации:

.

Это означает, что 68,2% вариации заработной платы ( ) объясняется вариацией фактора – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 10%.

3. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия составит

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составит .

Определим стандартные ошибки , , (остаточная дисперсия на одну степень свободы ):

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:

; ; ,

поэтому параметры , и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы

 и  ;

 и 

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: руб., тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит: руб.

5. Ошибка прогноза составит:

.

Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

 и  .

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным ( ) и находится в пределах от 141,83 руб. до 185,69 руб.

6. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую:

7. Проверим вычисления в MS Excel (Сервис→Анализ данных→Регрессия).

Получаем следующие результаты:

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,826638
R-квадрат	0,68333
Нормированный R-квадрат	0,651664
Стандартная ошибка	9,349262
Наблюдения	12
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1886,163	1886,163	21,57866	0,000915
Остаток	10	874,087	87,4087
Итого	11	2760,25
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	72,47157	18,5554	3,905687	0,002934	31,12757	113,8156	31,12757	113,8156
x	0,948416	0,204168	4,645284	0,000915	0,493503	1,40333	0,493503	1,40333
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное y	Остатки
1	153,087	-11,087
2	156,8806	-8,88062
3	154,9838	-12,9838
4	147,3965	6,603545
5	156,8806	7,119382
6	179,6426	15,35739
7	136,0155	2,984541
8	165,4164	1,583635
9	150,2417	1,758296
10	154,9838	7,016214
11	154,0354	0,964631
12	183,4363	-10,4363

 

 

Задача 2. По предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих ( ).

Номер предприятия				Номер предприятия
1	7,0	4,3	11,0	11	9,0	6,9	21,0
2	7,0	3,9	13,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,7	15,0	13	9,0	6,8	22,0
4	7,0	4,0	17,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	4,5	18,0	15	12,0	7,1	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,4	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	4,4	20,0	18	12,0	8,5	31,0
9	8,0	4,9	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	21,0	20	14,0	9,9	36,0

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
5. С помощью -критерия оценить статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии.
6. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
7. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	7	4,3	11	30,1	77	47,3	18,49	121	49
2	7	3,9	13	27,3	91	50,7	15,21	169	49
3	7	3,7	15	25,9	105	55,5	13,69	225	49
4	7	4,0	17	28,0	119	68,0	16,00	289	49
5	7	4,5	18	31,5	126	81,0	20,25	324	49
6	7	4,8	19	33,6	133	91,2	23,04	361	49
7	8	5,4	19	43,2	152	102,6	29,16	361	64
8	8	4,4	20	35,2	160	88,0	19,36	400	64
9	8	4,9	20	39,2	160	98,0	24,01	400	64
10	10	6,8	21	68,0	210	142,8	46,24	441	100
11	9	6,9	21	62,1	189	144,9	47,61	441	81
12	11	6,4	22	70,4	242	140,8	40,96	484	121
13	9	6,8	22	61,2	198	149,6	46,24	484	81
14	11	7,2	25	79,2	275	180,0	51,84	625	121
15	12	7,1	28	85,2	336	198,8	50,41	784	144
16	12	8,2	29	98,4	348	237,8	67,24	841	144
17	12	8,1	30	97,2	360	243,0	65,61	900	144
18	12	8,5	31	102,0	372	263,5	72,25	961	144
19	14	9,6	32	134,4	448	307,2	92,16	1024	196
20	14	9,9	36	138,6	504	356,4	98,01	1296	196
Сумма	192	125,4	449	1290,7	4605	3047,1	857,78	10931	1958
Ср. знач.	9,6	6,27	22,45	64,535	230,25	152,36	42,889	546,55	97,9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1. Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , ,

либо воспользоваться готовыми формулами

;

;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим коэффициенты чистой регрессии и параметр :

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Уравнение регрессии показывает, что при увеличении ввода в действие основных фондов на 1% (при неизменном уровне удельного веса рабочих высокой квалификации) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,8 тыс. руб., а при увеличении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% (при неизменном уровне ввода в действие новых основных фондов) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,128 тыс. руб.

После нахождения уравнения регрессии составим новую расчетную таблицу для определения теоретических значений результативного признака, остаточной дисперсии и средней ошибки аппроксимации.

№							, %
1	7	4,3	11	6,558	0,442	0,195	6,314
2	7	3,9	13	6,494	0,506	0,256	7,229
3	7	3,7	15	6,590	0,410	0,168	5,857
4	7	4,0	17	7,086	-0,086	0,007	1,229
5	7	4,5	18	7,614	-0,614	0,377	8,771
6	7	4,8	19	7,982	-0,982	0,964	14,029
7	8	5,4	19	8,462	-0,462	0,213	5,775
8	8	4,4	20	7,790	0,210	0,044	2,625
9	8	4,9	20	8,190	-0,190	0,036	2,375
10	10	6,8	21	9,838	0,162	0,026	1,620
11	9	6,9	21	9,918	-0,918	0,843	10,200
12	11	6,4	22	9,646	1,354	1,833	12,309
13	9	6,8	22	9,966	-0,966	0,933	10,733
14	11	7,2	25	10,670	0,330	0,109	3,000
15	12	7,1	28	10,974	1,026	1,053	8,550
16	12	8,2	29	11,982	0,018	0,000	0,150
17	12	8,1	30	12,030	-0,030	0,001	0,250
18	12	8,5	31	12,478	-0,478	0,228	3,983
19	14	9,6	32	13,486	0,514	0,264	3,671
20	14	9,9	36	14,238	-0,238	0,057	1,700
Сумма	192	125,4	449	191,992	0,008	7,609	110,371
Ср. знач.	9,6	6,27	22,45	9,600	–	0,380	5,519

Остаточная дисперсия:

.

Средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдению, признается хорошим, т.к. средняя ошибка аппроксимации не превышает 10%.

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии :

;

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

;  .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,523% или 0,299% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

; ; .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Коэффициент множественной корреляции определить через матрицы парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

Находим:

.

Коэффициент множественной корреляции:

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

Коэффициент множественной корреляции указывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю дисперсии результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Получили, что (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. Оценим статистическую значимость параметров чистой регрессии с помощью -критерия Стьюдента. Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

;

.

Фактические значения -критерия Стьюдента:

, .

Табличное значение критерия при уровне значимости и числе степеней свободы составит . Таким образом, признается статистическая значимость параметра и незначимость параметра .

Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:

,

и

, .

6. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул (3.16):

; .

Найдем и :

;

.

Имеем:

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, существенным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

7. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

.

Найдем его параметры:

;

.

Таким образом,

,  .

8. Проверим вычисления в MS Excel.

Найдем матрицу парных коэффициентов корреляции (Сервис→Анализ данных→Корреляция):

.

С помощью инструмента Регрессия (Сервис→Анализ данных→Регрессия) получаем следующие результаты:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,966294
R-квадрат	0,933724
Нормированный R-квадрат	0,925927
Стандартная ошибка	0,668998
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	107,1915	53,59576	119,7516	9,58E-11
Остаток	17	7,608481	0,447558
Итого	19	114,8
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	1,707175	0,537318	3,177218	0,005511	0,573534	2,840816	0,573534	2,840816
x1	0,78961	0,231638	3,40881	0,003343	0,300897	1,278324	0,300897	1,278324
x2	0,131045	0,067155	1,951388	0,067688	-0,01064	0,27273	-0,01064	0,27273