Контрольная работа по "Финансовой математики". 2

ФИНАНСОВЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Г.КАЛУГА

 

Учетно-статистический факультет

Кафедра Экономико-математические методы и модели

 

 

Контрольная работа по дисциплине «Финансовая математика».

Вариант № 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель: Самонина М.С.

Специальность: Финансы  и кредит

Группа:4 курс. День

Личное дело:№10ФФД40945

Руководитель: к.э.н. доц. Семененко Г.М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Калуга 2012 г.

Содержание:

 

1. Задача №1……………………………………………………стр3-7
2. Задача №2……………………………………………………стр7-13
3. Задача №3……………………………………………………стр13-17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

В таблице приведены  поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)

Таблица 1

T	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y	35	44	52	34	37	48	59	36	41	52	62	38	46	56	67	41

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α(a)=0,3; α(b)=0,3; α(F)=0,6.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r₁ = 0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение:

1.Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса имеет следующий вид: Y_p(t+k)=(a(t) + k*b(t)) * F( t+k-L),

коэффициенты модели a(t), b(t)  и F(t) рассчитываются по формулам:

a(t)= α(a) *Y(t) / F(t-L) + (1- α(a) )*(a(t-1)+b(t-1));

b(t)= α(b) * (a(t)-a(t-1))+(1- α(b))*b(t-1);

F(t)= α(F) * Y(t)/a(t) + (1- α(F))*F(t-L).

Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать  начальные оценки а(0),b(0) коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности F(-3),  F(-2), F(-1), F(0) за весь предыдущий год.

Построим вспомогательную  линейную модель (t)=a+b*t. Коэффициенты этой модели получим, построив регрессию (Анализ данных/Регрессия). Уравнение вспомогательной модели имеет вид:

=39,21+0,87t

Примем а(0)=39,21 и b(0)=0,87. Для оценки коэффициентов сезонности F(-3),  F(-2), F(-1), F(0) найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения (t) для t=1÷8 и сопоставим их с фактическими:

t	Y(t)	Y лин
1	35	40,08
2	44	40,95
3	52	41,82
4	34	42,69
5	37	43,56
6	48	44,43
7	59	45,30
8	36	46,17

_{Таблица 3}

 

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной  модели Хольта-Уинтерса. Согласно условию задачи α(a)=0,3; α(b)=0,3; α(F)=0,6 и L=4. Рассчитаем коэффициенты модели а, b и F по приведенным выше формулам и построим модель.

Модель Хольта-Уинтерса Таблица 4

t	a	b	F	Yp
-3			0,86
-2			1,08
-1			1,27
0	39,21	0,87	0,79
1	40,25	0,92	0,87	34,52
2	41,07	0,89	1,07	44,35
3	41,63	0,79	1,26	53,41
4	42,63	0,85	0,79	33,43
5	43,26	0,78	0,86	37,67
6	44,24	0,84	1,08	47,29
7	45,62	1,01	1,28	56,75
8	46,24	0,89	0,78	37,009
9	47,30	0,94	0,86	40,52
10	48,21	0,93	1,08	52,13
11	48,93	0,87	1,27	62,87
12	49,39	0,75	0,78	39,07
13	51,07	1,03	0,89	43,32
14	52,03	1,01	1,08	56,23
15	52,93	0,97	1,27	67,46
16	53,59	0,88	0,77	41,80

 

1. Оценим точность модели, для этого дополним таблицу столбцами E(t)=Y(t)-Yp(t) и Еотн(t)=|E(t)/Y(t)|*100.

Таблица 4

t	Y(t)	Yp(t)	E(t)	Еотн(t)
1	35	34,52	0,48	1,36
2	44	44,35	-0,35	0,81
3	52	53,41	-1,41	2,71
4	34	33,43	0,57	1,68
5	37	37,67	-0,67	1,82
6	48	47,29	0,71	1,48
7	59	56,75	2,25	3,82
8	36	37,01	-1,01	2,80
9	41	40,52	0,48	1,16
10	52	52,13	-0,13	0,25
11	62	62,87	-0,87	1,40
12	38	39,07	-1,07	2,83
13	46	43,32	2,68	5,83
14	56	56,23	-0,23	0,41
15	67	67,46	-0,46	0,69
16	41	41,80	-0,80	1,94

Вычислим среднюю величину относительных погрешностей (функция СРЗНАЧ). Она составит 1,94%, значит, условие точности выполнено, т.к. средняя величина относительных погрешностей не превышает 5%.

3. Проверим адекватность построенной модели:

а) проверка случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

Построим график остатков Е(t), выделим поворотные точки (рис. 1).

Рис. 1. График остатков

Количество поворотных точек равно р=8. Вычислим при n=16:

Условие случайности уровней ряда остатков выполнено, т.к. количество поворотных точек р = 8> = 6.

б) проверка независимости  уровней ряда остатков:

• по d- критерию Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

=48,16 (функция СУММКВРАЗН); =19,97 (функция СУММКВ);Так как d>2, найдем :

Так как d₂< =1,59 <2, следовательно, критерий Дарбина-Уотсона выполняется, уровни ряда остатков независимы.

• _{по первому коэффициенту автокорреляции r(1):}

=-4,54 (функция СУММКВПРОИЗВ)

Критический уровень r_кр = 0,32, сравнение показывает, что < r_кр = 0,32, следовательно, уровни ряда остатков независимы.

в) проверка нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию:

E_max – E_min = 2,68 – (-1,41) = 4,09

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению  т.к. полученное значение R/S=3,55 попадает в заданный интервал (3,00<3,55<4,21).

Таким образом, все условия  адекватности и точности выполнены, следовательно, можно сделать вывод  о целесообразности применения данной модели для прогнозирования.

4. Произведем точечный  прогноз на 4 шага вперед:

Определим прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) для:  t = 17÷ 20.

5. Отразим на графике  фактические, расчетные и прогнозные  данные.

Рис. 2. Сопоставление расчетных и фактических данных

Задача 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней (таблица 5). Интервал сглаживания принять  равным 5 дням.

Таблица 5

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523
6	535	501	506
7	555	500	553
8	580	540	570
9	580	545	564
10	603	550	603

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной  силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Для определения начального значения   используем формулу простой скользящей средней:

Дальнейшие расчеты  выполним по формуле:  , где k = 2 /(n + 1)=1/3 (n=5).

Момент вычислим по формуле:

Скорость изменения  цен вычислим по формуле:

Результаты вычислений представлены в таблице 6:

Таблица 6

Дни	Цены  закр	ЕМАt	МОМt	ROCt
1	675
2	646
3	575
4	570
5	523	597,8
6	506	567,2	-169	74,963
7	553	562,467	-93	85,604
8	570	564,978	-5	99,13
9	564	564,652	-6	98,947
10	603	577,435	80	115,3

 

Построим графики  экспоненциальной скользящей средней (рис. 3), момента (рис. 4), скорости изменения цен (рис. 5) и проведем анализ:

Рис. 3. График экспоненциальной скользящей средней ЕМА(t)

5-6-ой дни наблюдается  нисходящий тренд, рекомендуется  продажа финансового инструмента.

7-10-ый дни график  экспоненциальной скользящей средней пересекается с ценовым графиком, что является сигналом разворота тренда, рекомендуется готовиться к покупке финансового инструмента.

Рис. 4. График момента MOM(t)

6-7-ой дни график  момента находится ниже нулевого  уровня, рекомендуется продажа финансового инструмента.

8-9-ый дни график  момента практически пересекает  ценовой график, что свидетельствует  о развороте тренда, рекомендуется  готовиться к покупке финансового  инструмента.

10-ый день график  момента находиться выше нулевого  уровня, рекомендуется покупка финансового инструмента.

Рис. 5. График скорости изменения цен ROC(t)

6-7-ой дни график  скорости изменения цен находится  ниже уровня 100%, рекомендуется продажа  финансового инструмента.

8-9-ый дни график  скорости изменения цен практически пересекается с ценовым графиком, что свидетельствует о развороте тренда, рекомендуется готовиться к покупке финансового инструмента.

10-ый день график  скорости изменения цен находится  выше уровня 100%, рекомендуется покупка  финансового инструмента.

Индекс относительной силы рассчитаем по формуле:

Предварительно рассчитаем изменение цен закрытия, выберем  положительные значения, характеризующие  повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен. Для  всех t≥6 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли цен закрытия за 5 дней до дня t. Результаты расчетов приведены в таблице 7:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 7

t	C(t)	изменен.	повышен.	понижен.	AU(t,5)	AD(t,5)	RSI(t)
1	675
2	646	-29	0	29
3	575	-71	0	71
4	570	-5	0	5
5	523	-47	0	47
6	506	-17	0	17	0	169	0
7	553	47	47	0	47	140	25,13369
8	570	17	17	0	64	69	48,1203
9	564	-6	0	6	64	70	47,76119
10	603	39	39	0	103	23	81,74603

 

Построим график индекса относительной  силы (рис. 6) и проведем анализ:

                Рис. 6. График индекса относительной силы RSI(t)

6-ой день график находиться в зоне «перепроданности», следует подготовиться к покупке.

7-ой день выход из зоны «перепроданности» - сигнал к покупке.

8-9-ый дни график находиться в нейтральной зоне, можно проводить финансовые операции (в данном случае, покупки).

10-ый день вход в  зону «перекупленности», рекомендуется остановить операции и подготовиться к продаже.

%R рассчитаем по формуле:

%К рассчитаем по формуле:

%D рассчитаем по формуле:

_{Результаты  расчетов представлены в таблице 8:}

Таблица 8

	Расчет индексов %K, %R, %D (стохастические линии)
t	H(t,5)	L(t,5)	C(t)-L(t,5)	H(t,5)-C(t)	H(t,5)-L(t,5)	%K	%R	sum(C-L)		sum(H-L)		%D
5	598	515	8	75	83	9,6386	90,36
6	535	501	5	29	34	14,706	85,29
7	555	500	53	2	55	96,364	3,636	66		172		38,37
8	580	540	30	10	40	75	25	88		129		68,22
9	580	545	19	16	35	54,286	45,71	102		130		78,46
10	603	550	53	0	53	100	0	102		128		79,69

Построим график стохастических линий %R, %K, %D (рис. 7) и проведем анализ:

Рис. 7. Стохастические линии %R, %K, %D

График %К показывает, что в 5-6-ой дни не рекомендуется проводить операции и подготовиться к покупке, так  как график %К находится в зоне «перепроданности». В 7-ой день также  не рекомендуется проводить операции (график находиться в критической зоне «перекупленности»);в 8-ой день получен сигнал разворота тренда, рекомендуется начать продажи финансового инструмента; 9-ый день график %К находится в нейтральной зоне можно продолжать продавать. 10-ый день график %К находиться в критической зоне «перекупленности» рекомендуется остановить финансовые операции.

График %R является зеркальным отражением графика %К, выводы по графику %R совпадают с выводами по графику %К.

График %D показывает, что в 7-8-ой дни рекомендуется проводить финансовые операции, в 9-10-ый дни рекомендуется остановить финансовые операции, так как график вощел в критическую зону «перекупленности».

Задача 3

3.1. Банк выдал ссуду, размером 2 500 000 руб. Дата выдачи ссуды 15.01.02, возврата 15.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 30% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты  с приближенным числом дней  ссуды.

Решение:

Для вычисления процентов  используем формулу I= Pni, где n - доля года. Для выполнения расчетов используем функцию ДОЛЯГОДА (находится в  категории дата и время).

3.1.1. n=ДОЛЯГОДА(15.01.02;1503.02;1)=0,162

3.1.2. n=ДОЛЯГОДА(15.01.02;1503.02;2)=0,164

3.1.3. n=ДОЛЯГОДА(15.01.02;1503.02;4)=0,167

Ответ: проценты составят 121232,88 руб.; 122916,67 руб.;

125000,00 руб.

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатил

2 500 000 руб. Кредит выдан под 30% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение:

Для решения используем формулу P= S(1+ni), найдем n=Тдн/360, определим  дисконт D=S-P.

Ответ: первоначальная сумма  составит 2173913,04 руб., дисконт – 326086,96 руб.

3.3. Через 180 предприятие должно получить по векселю 2 500 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 30% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:

Для вычисления дисконта используем формулу D= Sni

Рассчитаем сумму, которую получит предприятие P= S-D

Ответ: дисконт равен 375000 руб., полученная сумма равна 2125000 руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 2 500 000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 30% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:

Вычислим наращенную сумму по формуле: S=P(1+i)^n

Ответ: наращенная сумма  равна 7140250,00 руб.

3.5. Сумма размером 2 500 000 руб. представлена на 4 года. Проценты сложные, ставка 30% годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение:

Найдем  S по формуле , S= P(1+i/m)^(nm)

Ответ: наращенная сумма  составит 7647557,16 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 30% годовых.

Решение:

Для вычисления используем формулу iэф.=(1+(i/m))^m-1

Ответ: эффективная ставка процента равна 32,2%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 30% годовых.

Решение:

Для вычисления используем формулу iн = m x [(1 + i_э)^1/m - 1] 

Ответ: номинальная ставка процента равна 28,0%.

3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 2 500 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 30% годовых.

Решение:

Для нахождения используем формулу P = S/(1+i)^n

Ответ: современная стоимость  составит 875319,49 руб.

3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 2 500 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить дисконт.

Решение

Рассчитаем сумму которую  получит векселедержатель по формуле P= S(1-d)^n, дисконт равен D=S-P.

Ответ: дисконт составит 1899750,00 руб.

3.10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 2 500 000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 30%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

Вычислим сумму по формуле  S=R((1+i/m)^(mn)-1)/((1+i/m)^m-1)

Ответ: к концу срока  сумма составит 15961417,54 руб.

Данная работа скачена с сайта Банк рефератов http://www.vzfeiinfo.ru ID работы: 27746