Контрольная работа по «Физике». 6

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

 

по дисциплине

 

Физика

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент Аварницын Олег Николаевич

Группа: СБТ-43

Вариант: 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2014

 

Задача 1

 

          Шлюпка длиной L = 3 м и массой M = 120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами m1 = 60 кг и m2 = 90 кг соответственно. На сколько сдвинется шлюпка относительно воды, если рыбаки поменяются местами?

 

          Дано:

          L = 3 м

          M = 120 кг

          m1 = 60 кг

          m2 = 90 кг

          Найти:

          S - ?

 

          Решение:

          Согласно закону сохранения импульса: В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов всех тел с течением времени не изменяется, иначе – полный импульс замкнутой системы при любых изменениях, происходящих в этой системе, остается одним и тем же. Если , то в замкнутой системе . Закон сохранения импульса может выполняться по отдельным осям, вдоль которых сумма проекций сил равна нулю. Импульсы отдельных частиц, входящих в изолированную систему, могут изменяться под действием внутренних сил, но в сумме эти изменения равны нулю.

 

 

Рисунок 1

 

          Систему  «рыбаки – шлюпка» относительно горизонтального направления можно рассматривать как замкнутую. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Применяя это следствие к системе «рыбаки – шлюпка», можно считать, что при перемещении людей по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем расстоянии от берега.

          Пусть  центр масс системы «рыбаки – шлюпка» находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку C1 лодки (рисунок 1), а после перемещения лодки – через другую ее точку С2. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение S лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это можно определить по перемещению центра масс О лодки. Как видно из рисунка, в начальный момент точка О находится на расстоянии a1 слева от вертикали, а после перехода людей – на расстоянии а2 справа от вертикали. Следовательно, искомое перемещение лодки S = a1 + a2.

          Для определения a1 и а2 воспользуемся тем, что результирующий момент сил, действующих на систему относительно горизонтальной оси, перпендикулярной продольной оси лодки, равен нулю. Поэтому для начального положения системы:

 

, откуда:

.

         

          После перемещения лодки:

 

, откуда:

.

 

          Подставив полученные значения a1 и а2 в S = a1 + a2 найдем:

 

.

 

          Подставляем числа: м.

 

          Ответ: Шлюпка сдвинется на расстояние S = 0,33 м относительно воды.

 

 

 

Задача 2

 

          Шар массой 2 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы и при этом теряет 40 % своей кинетической энергии. Вычислите массу большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

 

          Дано:

          m1 = 2 кг

          h = 0,4

          Найти:

          m2 - ?

 

          Решение:

          Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором сумма кинетических энергий соударяющихся тел сохраняется. При упругом ударе не происходит перехода кинетической энергии в другие формы энергии.

          Удар называется центральным, если скорости шаров направлены по линии, соединяющей их центры.

 

         

 

Рисунок 2

 

          На основании закона сохранения импульса находим:

 

.                                                       (1)

 

          Согласно  закону сохранения энергии получаем:

 

.                                                     (2)

 

          Из второго уравнения находим потерю кинетической энергии первого шара: . Из условия задачи известно, что малый шар потерял h = 40 % своей кинетической энергии, поэтому: , отсюда имеем: . Тогда: .

          С другой стороны, т.к. из уравнения (2) следует, что: , поэтому: и тогда скорость второго шара равна: .

          Подставляем полученные значения для V1 и V2 в уравнение (1) и делим на V0: . Из этого уравнения находим искомую массу:

 

.

          Подставляем  исходные данные:

 

кг.

 

          Ответ: Масса большего шара М = 15,75 кг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

 

          Релятивистский протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Во сколько раз возрастёт его кинетическая энергия, если его импульс увеличится 2 раза?

 

          Дано:

          T1 = m0c2

         

          Найти:

          T2 - ?

 

          Решение:

          Релятивистская механика – механика, описывающая движение, совершающееся со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме и основывающаяся на принципе относительности Эйнштейна.

          Так как протон двигается со скоростью близкой к скорости света необходимо пользоваться релятивистскими формулами для нахождения импульса и энергии частицы.

          Так как масса протона в состоянии покоя m0 = 1,67´10-27 кг, то импульс равен: P = mv2 = .

Кинетическая энергия для релятивистской частицы равна:

.

Откуда и , поэтому

, отсюда находим энергию

 

.

Аналогично имеем: . Подставляем T1 = m0c2 и получаем: . Так как P2 = 2P1, то

 

 

 

.

 

          Ответ: Кинетическая энергия релятивистского протона увеличится

                       в 2,61 раза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

 

          Расстояние между двумя точечными зарядами 2 нКл и 4 нКл равно 60 см. Найдите положение точки относительно меньшего заряда, в которую нужно поместить пробный заряд так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Вычислите величину пробного заряда и определите его знак. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие?

 

          Дано:

          q1 = 2 нКл = 2·10-9 Кл

          q2 = 4 нКл = 4·10-9 Кл

          L = 60см = 0,6 м

          Найти:

          x - ?

          q - ?

 

          Решение:

          Согласно закону Кулона модуль силы взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами q1 и q2, находящимися на расстоянии r друг от друга в среде с диэлектрической проницаемостью e, равен:

 

,

где k – постоянный коэффициент.

 

 

Рисунок 4.1

 

         По закону  Кулона определим силы взаимодействия  зарядов:

 

, . По третьему закону Ньютона эти силы должны быть противоположными по направлению и одинаковыми по модулю.

          Тогда . Откуда .

          Из этого  находим  . Искомая величина равна .

          Подставляем  числовые данные: м.

 

          Третий заряд q необходимо поместить в точку, находящуюся на расстоянии 25 см от заряда q1.

          Для того, чтобы заряд ql находился в равновесии необходимо, чтобы сила взаимодействия между зарядами ql и q2: была равна силе взаимодействия между ql и q: . То есть . Откуда заряд равен: . Но так как , то Кл.

         

          Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Если заряд q положителен, то при смещении его влево сила F1 возрастает, а сила F2 убывает. Результирующая сила, действующая на заряд q, будет направлена в противоположную сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. вправо. Под действием этой силы заряд q будет возвращаться в положение равновесия. То же происходит и при смещении заряда q вправо. Сила F1 убывает, a F2 возрастает. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена влево. Заряд под действием этой силы будет перемещаться влево, т. е. возвращаться в положение равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является устойчивым. Если же заряд q будет отрицательным, то равновесие будет неустойчивым.

          Если шарик сместится вдоль прямой, соединяющей заряды, то отталкивающая сила заряда, к которому сместится шарик, увеличится, а другого – уменьшится, т. е. возникнет равнодействующая сила, возвращающая шарик в положение равновесия. Следовательно, вдоль прямой, на которой расположены заряды, равновесие шарика устойчиво. При смещении шарика перпендикулярно к прямой, соединяющей заряды (рисунок 4.2 а), возникает равнодействующая R двух отталкивающих сил, удаляющая шарик от этой линии. Следовательно, в этом направлении равновесие шарика неустойчиво.

          В случае, если шарик заряжен отрицательно (рисунок 4.2 б), кулоновские силы F1 и F2 изменят свое направление на противоположное. Однако в этом случае равновесие вдоль прямой, соединяющей заряды, будет неустойчивым, так как при смещении шарика к одному из зарядов сила притяжения этим зарядом увеличится, а другим – уменьшится, т. е. возникнет равнодействующая, удаляющая шарик от положения равновесия. В направлении, перпендикулярном к прямой, соединяющей заряды, равновесие устойчиво, так как при смещении шарика в этом направлении возникает равнодействующая, возвращающая шарик к положению равновесия.

 

                         а)                                                                   б)

 

Рисунок 4.2

 

          Ответ: Положение точки относительно меньшего заряда x = 25см,

                        величина пробного заряда q = 0,69 · 10-9 Кл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5

 

          На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями у1 и у2 (см. рисунок 5.1). Постройте график сквозной зависимости напряжённости электрического поля от расстояния до общей оси цилиндров Е(r) для трёх областей: I – внутри меньшего цилиндра, II – между цилиндрами и III – за пределами большего цилиндра. Здесь: Е – напряжённость электрического поля в точке наблюдения, r – расстояние от оси цилиндров до точки наблюдения. Принять у1 = –у, у2 = 4у. Вычислите напряжённость поля в точке, удалённой от оси цилиндров на расстояние r, и покажите на рисунке направление вектора напряжённости поля в этой точке. Принять у = 30 нКл/м2, r = 4R.

 

          Дано:

          R

          2R

          у1 = –у

          у2 = 4у

          у = 30 нКл/м2 = 30·10–9 Кл/м2

          r = 4R

         Найти:

          E(r) - ?

         

          Решение:

          Теорема Гаусса может быть сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов. Согласно этой теореме, поток напряженности E электрического поля через замкнутую поверхность S, с величиной заряда Q внутри этой поверхности, равен , где ε0=8.85×10-12Ф/м – электрическая постоянная.

Рисунок 5.1

          Пусть этой поверхностью будет цилиндрический контур, обозначенный пунктиром (рисунок 5.1). В нашем случае площадь цилиндрического контура на расстоянии r: . Поэтому . Или же . Теперь надо найти заряд внутри цилиндра для трех разных случаев:

1. 0 < r < R. В этом случае внутри нет зарядов и Q = 0. Поэтому E = 0.
2. R ≤ r < 2R. В этом случае первый цилиндр целиком лежит внутри нашей поверхности и поэтому заряд равен Q = y1·S1 = y1·2πRL. Тогда

 

.

 

          По условию  задачи у1 = –у и поэтому .

3. 2R ≤ r < ∞. В этом случае первый и второй цилиндры целиком лежат внутри нашей поверхности и поэтому заряд равен:

 

Q = y1·S1 + y2·S2 = y1·2πRL + y2·2π·2RL.

 

Тогда: .

 

По условию задачи у1 = –у, у2 = 4у поэтому .

Тогда: кВ/м.

 

Рисунок 5.2 – График зависимости напряжённости электрического поля от расстояния до оси цилиндров

 

 

Рисунок 5.3 – Направление напряженности поля

 

          Ответ: Напряжённость поля в точке, удалённой от оси цилиндров на

                        расстояние r: Е(r) = 5,9 кВ/м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6

 

          Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда 200 пКл/м. Вычислите потенциал поля в точке пересечения диагоналей.

 

          Дано:

          τ = 200 пКл/м = 2·10–10 Кл/м

          Найти:

          φ - ?

 

          Решение:

          Согласно принципу суперпозиции полей напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

 

.

 

          Это утверждение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей.

 

Рисунок 6

 

          Для решения задачи используем принцип суперпозиции для скалярного потенциала:

.

 

Потенциал  всей рамки , где φ0 – потенциал ½ стороны квадрата. Найдем φ0, разбивая сторону рамки на беконечно малые участки с зарядом dq = τdl:

 

 

Вычисляем, учитывая, что :

 

В.

 

Находим : В.

 

          Ответ: Потенциал поля в точке пересечения диагоналей φ = 12,68 В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7

 

          Электрон движется вдоль силовой линии однородного электрического поля. В некоторой точке поля с потенциалом 100 В электрон имел скорость 6 Мм/с. Вычислите потенциал точки поля, дойдя до которой электрон потеряет половину своей скорости.

 

          Дано:

          φ1 = 100 В

          v1 = 6 Мм/с = 6·106 м/с

          v2 = v1/2

          Найти:

          φ2 - ?

 

          Решение:

          Потенциальная энергия электрона, который прошел разность потенциалов U = φ1– φ2, равна: . Воспользуемся законом сохранения энергии: Ek1 + W1 = Ek2 + W2, где – начальная кинетическая энергия электрона, W1 – начальная потенциальная энергия электрона, – конечная кинетическая энергия электрона после прохождения потенциала U.

          Тогда Ek1 – Ek2 = W2 – W1 = . Поэтому . Откуда искомый потенциал равен . Подставляем числа, учитывая, что масса электрона me = 9,11·10–31 кг и заряд электрона                   е = 1,6·10–19 Кл:

 

В.

 

          Ответ: Потенциал точки поля, дойдя до которой электрон потеряет       

                        половину своей скорости φ2 = 23,2 В.

      

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 8

 

          Плоский конденсатор с площадью пластин 200 см2 каждая заряжен до разности потенциалов 2 кВ. Расстояние между пластинами 2 см. Пространство между пластинами конденсатора заполнено стеклом. Вычислите энергию и плотность энергии электрического поля внутри конденсатора.

 

          Дано:

          d = 2 cм = 2·10–2 м

          U  = 2 кВ = 2·103 В

          ε = 6

          S=200 см2 = 2·10–2 м2

          Найти:

          W = ?

          ω = ?

 

          Решение:

          Объемная плотность энергии электрического поля: , где ε0 = 8,85×10-12Ф/м – электрическая постоянная, E=U/d – напряженность поля. Тогда ,

Дж/м3

          Энергия конденсатора равна произведению объемной плотности энергии на объем конденсатора: , где S – площадь пластин. Тогда ,

Дж = 106 мкДж.

          Ответ: Энергия электрического поля внутри конденсатора:

                       W = 106 мкДж.

                        Плотность энергии электрического поля: w = 0,27 Дж/м3.