Контрольная работа по «Математические методы и модели в экономике». 2

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

 

 

 

ФАКУЛЬТЕТ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «Математические  методы и модели в экономике»

3 вариант

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверил: доцент, к.э.н

Кондратьев Д.В.

Выполнил: студентка 3 курса А.С.Сергеева (специальность 080502 – «Экономика и  управление на предприятии АПК», гр. 41, шифр 0905053)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ижевск 2011

Задание 1. Система переменных и система ограничений ЭММ использования машинно-тракторного парка и приобретения сельскохозяйственной техники.

Колхозы и совхозы — крупные  механизированные предприятия. Они выполняют большой объем сельскохозяйственных работ и располагают значительным количеством современных тракторов, сельскохозяйственных машин и орудий. Оснащение хозяйств новейшей техникой в последние годы все более возрастает, и развитие сельскохозяйственного производства характеризуется дальнейшим повышением уровня механизации производственных процессов.

Для внедрения комплексной механизации  сельскохозяйственного производства необходимо определить оптимальный состав машинно-тракторного парка, то есть установить наиболее целесообразное, оптимальное соотношение между отдельными типами и марками тракторов и сельскохозяйственных машин и их количество в условиях конкретного хозяйства, района, зоны. От структуры машинно-тракторного парка в значительной степени зависит величина текущих и капитальных затрат, выполнение всех технологических операций в наилучшие агротехнические сроки.

Применение экономико-математических методов и ЭВМ при решении  данной задачи весьма эффективно, так  как позволяет одновременно учитывать все экономические условия и найти наилучший вариант, что практически невозможно сделать с помощью обычных методов. Возможность использования экономико-математических методов обусловлена тем, что все необходимые экономические и агротехнические условия выражаются с помощью линейных неравенств и уравнений. Линейную форму имеет и целевая функция — математическое выражение критерия оптимальности.

В качестве критериев оптимальности используют экономические показатели: 1) минимум приведенных затрат на выполнение заданного объема работ; 2) минимум текущих затрат; 3) минимум капитальных вложений на приобретение тракторов и сельскохозяйственной техники; 4) минимум энергомашин; 5) минимум расхода топлива и др. При использовании этих критериев при одних и тех же экономических условиях, выраженных в ограничениях экономико-математической задачи, будут получены различные варианты состава машинно-тракторного парка. Например, критерий минимума текущих затрат не учитывает эффективности капитальных вложений и при его использовании для выполнения необходимого объема работ потребуется больше капитальных вложений и больше техники. Критерий минимума капитальных вложений не учитывает прямых, текущих затрат на выполнение работ, и последние значительно возрастают. Примерно такие же результаты получают при использовании критерия минимума энергомашин—возрастают текущие затраты на выполнение работ.

Экономически наиболее обоснованным является критерий минимума приведенных затрат на выполнение работ и приобретение техники. Приведенные затраты представляют сумму текущих эксплуатационных затрат на содержание и эксплуатацию машинно-тракторного парка и его балансовой стоимости, умноженной на нормативный коэффициент эффективности:

S=C+E-K,

где S—приведенные затраты;

С—текущие эксплуатационные затраты;

К—затраты на приобретение данного вида техники (балансовая стоимость);

Е — нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений.

Нормативный коэффициент эффективности  представляет величину, обратную нормативной окупаемости. Например, если новый трактор должен окупиться за 8 лет работы, тогда нормативный коэффициент эффективности будет 1 : 8 = 0,125.

Для условий конкретного сельскохозяйственного  предприятия могут быть решены следующие  экономико-математические задачи.

1. Определение оптимального состава  машинно-тракторного парка при условии, что в хозяйстве полностью отсутствуют какие-либо сельскохозяйственные машины и тракторы, или оптимальное комплектование парка. Задача решается, как правило, на далекую перспективу, превышающую срок службы имеющегося машинно-тракторного парка.

2. Определение оптимального состава  машинно-тракторного парка при условии, что в хозяйстве имеется некоторое число тракторов и машин, или оптимальное доукомплектование имеющегося парка при заданном объеме работ и наличии средств на приобретение новой техники. Задача решается чаще всего на текущий период или на 3—5 лет. В данном случае возможно списание некоторых машин, по которым затраты на их содержание и эксплуатацию выше эффекта от их использования.

3. Определение плана наилучшего использования имеющегося в хозяйстве машинно-тракторного парка путем оптимального распределения  заданных работ между тракторными агрегатами. Эта задача решается на текущий период. Хозяйство в данном случае не имеет возможности для покупки новой техники. В задаче может быть предусмотрено списание устаревших машин.

Система переменных. В экономико-математической задаче по оптимальному комплектованию машинно-тракторного парка две группы переменных: 1) количество различных агрегатов, выполняющих технологические операции в определенный расчетный период; 2) количество приобретаемых тракторов и сельскохозяйственных машин. В задаче по оптимальному доукомплектованию машинно-тракторного парка дополнительно к названным может быть предусмотрена еще группа переменных, обозначающая количество выбывающих (списываемых) тракторов и машин. В задаче по оптимальному использованию имеющегося машинно-тракторного парка отсутствуют переменные по приобретению новой техники, но могут присутствовать переменные по выбывающим машинам.

Система ограничений. Во всех моделях две группы ограничений: 1) по обязательному выполнению всех видов работ в расчетные периоды; 2) по балансу использования тракторного парка (количество тракторов и сельскохозяйственных машин каждой марки должно обеспечивать выполнение всех видов работ во все периоды).

Технико-экономическими коэффициентами в первой группе ограничений по переменным, обозначающим количество агрегатов, являются показатели их производительности на каждой работе в каждом периоде. Константы в этих ограничениях обозначают объемы выполняемых работ.

Технико-экономическими коэффициентами во второй группе ограничений по переменным, обозначающим количество агрегатов, являются целые числа, показывающие наличие сельскохозяйственных машин в агрегате (чаще всего эти коэффициенты равны единице, поскольку с одним трактором, чаще всего, работает одна машина). По переменным, обозначающим количество покупаемых тракторов и машин, всегда ставится коэффициент —1, а по выбиваемым маркам +1- Константами во второй группе ограничений в задаче по оптимальному комплектованию являются нули (поскольку никакого парка нет), а в задаче по доукомплектованию и использованию машинно-тракторного   парка—наличие тракторов по учитываемым маркам.

Все перечисленные экономико-математические задачи решаются с помощью симплексного метода линейного программирования.

Задача по оптимальному использованию  имеющегося машинно-тракторного парка  может быть также решена с помощью распределительного метода. В этом случае переменные обозначают искомые объемы работ (усл. га), выполняемые определенным трактором. Константами в этой экономико-математической задаче являются объемы выполняемых видов работ и объемы работ, которые могут быть выполнены всеми имеющимися тракторами определенной марки, то есть суммарный запас мощности. Все константы должны измеряться в единых показателях — усл. га.

В качестве критерия оптимальности  принимается минимум приведенных затрат.

Задание 2. Транспортная задача

В четырех пунктах отправления  имеется груз в следующем количестве: первый пункт отправления  - 130, второй – 210, третий – 260, четвертый – 330 тонн. Его необходимо доставить в четыре пункта назначение в следующем количестве: первый пункт назначения – 190, второй – 220, третий  - 230,  четвертый  - 360 тонн. Требуется составить план грузоперевозок с минимум затрат на транспортировку. Расстояние между пунктами отправления и назначения в км приведены в таблице.

 

 

Пункты отправления

Итого

1

2

3

4

1000

Пункты назначения

1

4

5

3

2

190

2

3

3

7

6

220

3

1

6

4

4

230

4

5

7

4

8

360

Итого

930

130

210

260

330

  

 

Условие баланса не выполняется (930 1000). Дополняем столбцом.

 

Пункты отправления

  

Итого

1

2

3

4

5

1000

Пункты назначения

1

4

5

3

2

0

190

2

3

3

7

6

0

220

3

1

6

4

4

0

230

4

5

7

4

8

0

360

Итого

1000

130

210

260

330

70

  

 

Проверим опорный план. Для этого  в соответствии с алгоритмом «минимального  элемента» заполним таблицу.

 

Пункты отправления

  

Итого

1

2

3

4

5

1000

Пункты назначения

1

4

5

3

2[190]

0

190

2

3

3[210]

7

6[10]

0

220

3

1[130]

6

4

4[100]

0

230

4

5

7

4[260]

8[30]

0[70]

360

Итого

1000

130

210

260

330

70

  

 

Число занятых клеток равно 8. Условие  r = m + n -1 = 4 + 5 – 1= 8 выполняется.

Для проверки полученного опорного плана на оптимальность находим  систему потенциалов для занятых  клеток. Пусть u1= 0

 

 

Пункты отправления

  

Итого

v1=-1

v2=-1

v3=-2

v4=2

v5=-6

1000

Пункты назначения

u1=0

4

5

3

2[190]

0

190

u2=4

3

3[210]

7

6[10]

0

220

u3=2

1[130]

6

4

4[100]

0

230

u4=6

5

7

4[260]

8[30]

0[70]

360

Итого

1000

130

210

260

330

70

  

 

Далее вычисляем сумму потенциалов  для каждой из свободных клеток.

для (1,1): 0 -1 ≤ 4 (условие выполняется);  для (1,2): 0 -1 ≤ 5 (условие выполняется)

для (1,3): 0 -2 ≤ 3 (условие выполняется);  для (2,1): 4 - 1 ≤ 3 (условие выполняется)

для (2,3): 4 - 2 ≤ 7 (условие выполняется);  для (2,5): 4 - 6 ≤ 0 (условие выполняется)

для (3,2): 2 - 1 ≤ 6 (условие выполняется);  для (3,3): 2 - 2 ≤ 4 (условие выполняется)

для (3,5): 2 - 6 ≤ 0 (условие выполняется);  для (4,1): 6 - 1 ≤ 5 (условие выполняется)

для (4,2): 6 - 1 ≤ 7 (условие выполняется);

 Проверив все условия, убеждаемся, что опорный план является оптимальным.

 

Пункты отправления

  

Итого

v1=-1

v2=-1

v3=-2

v4=2

v5=-6

1000

Пункты назначения

u1=0

4

5

3

2[190]

0

190

u2=4

3

3[210]

7

6[10]

0

220

u3=2

1[130]

6

4

4[100]

0

230

u4=6

5

7

4[260]

8[30]

0[70]

360

Итого

1000

130

210

260

330

70

  

 

f(x) = 2*190+3*210 + 6*10 + 130 + 4*100 + 4*260 + 8*30 = 2880

 

Задание 3 Разработка модели производственно-отраслевой структуры организации.

Площадь пашни в сельскохозяйственной организации составляет 3000 га, сенокосов  – 1000 га, пастбищ – 800 га. В хозяйстве  возделываются пшеница, озимая рожь, овес, турнепс и картофель, животноводческий подкомплекс включает коров, молодняк КРС и овец. Для содержания одной коровы требуется 1,9 га пашни, 0,5 га сенокосов и 0,2 га пастбищ, молодняка КРС – 1 га пашни, 0,5 га сенокосов, 0,1 га пастбищ, овец – 0,3 га пашни, 0,09 га сенокосов, 0,05 га пастбищ. При необходимости 700 га сенокосов может быть трансформировано в пашню. Площадь зерновых должна быть не менее, чем в 6 раз больше площади пропашных. Хозяйство располагает трудовыми ресурсами в размере 200 тыс. чел-ч. Затраты труда составляют на 1 га посевов пшеницы - 3 чел-ч, озимой ржи – 2, овса- 2,1, турнепса – 65, картофеля – 65 чел-ч, а на одну голову молодняка КРС – 95, корову - 205, овцу – 8 чел-ч. Объем производства молока в хозяйстве должен быть не менее 5000 ц, мяса – 500 ц, шерсти – 5 ц. Продуктивность животных на одну голову: овцы – 0,3 ц мяса, 0,035 ц шерсти, коров - 23 ц молока, молодняка КРС – 1,5 ц мяса. Поголовье молодняка КРС в структуре стада КРС должно быть не менее 63%. Прибыль от реализации продукции составляет с 1 га пшеница – 2, озимой ржи – 2,6, турнепса – 4,5, картофеля - 6 тыс. руб., с одной головы овец 0,9, коров – 3, молодняка КРС – 2,5 тыс. руб. Требуется разработать ЭММ производственно-отраслевой структуры организации и ее матрицу. Критерий оптимальности – максимум прибыли.

 

Прибыль

№

п/п

Наименование продукции

Прибыль, тыс. руб. с 1 га

1

Пшеница

3

2

Озимая рожь

2,6

3

Ячмень

2,6

4

Турнепс

4,5

5

Картофель

6

6

Корова

3

7

Молодняк

2,5

8

Овцы

0,9


 

Содержание животноводства

 

Пашня

Сенокос

Пастбище

Корова

1,9

0,5

0,2

Молодняк

1

0,5

0,1

Овцы

0,3

0,09

0,05


 

Затраты труда 

№

п/п

Наименование продукции

Затраты, чел. ч.

1

Пшеница

3

2

Озимая рожь

2

3

Ячмень

2,1

4

Турнепс

65

5

Картофель

65

6

Корова

205

7

Молодняк

95

8

Овцы

8


 

Продуктивность, ц

 

Мясо

Молоко

Шерсть

Корова

  

23

  

Молодняк

1,5

    

Овцы

0,3

  

0,035


 

Система переменных.

х1 – площадь пшеницы;

х2 – площадь озимой ржи;

х3 – площадь овса;

х4 – площадь турнепса;

х5 – площадь картофеля;

х6 – поголовье коров;

х7 – поголовье молодняка КРС;

х8 – поголовье овец;

х9 – площадь сенокосов;

х10 – площадь пастбищ;

 

Система ограничений

I. Блок ограничений по использованию производственных ресурсов:

1) Пашня

х1 + х2 + х3 + х4 + х5 + х9 £ 3000 + 700 га

2) Сенокосы

х9 £ 1000 га

3) Пастбища

х10 £ 800 га

4) Трудовые ресурсы

3х1 + 2х2 + 2,1х3 + 65х4 + 65х5 + 205х6 + 95х7 + 8х8  £  200 000

 

II. Блок ограничений по дополнительным требованиям

5) Площадь зерновых больше в  7 раз площади пропашных.

6(х4+х5) £ (х1+х2+х3)

преобразим и приведем к нулю:

6х4 + 6х5 - х1 - х2 - х3 £ 0

6) поголовье молодняка в структуре  стада КРС должно быть не  менее 50%

0,63(х6 + х7) £ х7

преобразим и приведем к нулю:

0,63х6  - 0,37х7 £ 0

 

III. Блок ограничений по содержанию животноводства :

7)  коровы

х6 = 1,9(х1 + х2 + х3 + х4 + х5) + 0,5х9 + 0,2х10

1,9х1 + 1,9х2 + 1,9х3 + 1,9х4 + 1,9х5 + 0,5х9 + 0,2х10 - х6 = 0

8) молодняк КРС

х7 = (х1 + х2 + х3 + х4 + х5) + 0,5х9 + 0,1х10

х1 + х2 + х3 + х4 + х5 + 0,5х9 + 0,1х10 - х7 = 0

9) овцы

х8 = 0,3(х1 + х2 + х3 + х4 + х5) + 0,09х9 + 0,05х10

0,3х1 + 0,3х2 + 0,3х3 + 0,3х4 + 0,3х5 + 0,09х10 + 0,05х11 - х8 = 0

 

IV. Блок ограничений по производству:

10) Молоко

23х6 ³ 5000

11) Мясо

1,5х7 + 0,3х8 ³ 500

12) Шерсть

0,035х8 ³ 5

 

Z – Целевая функция:

Z = 3х1 + 2,6х2 + 2,6х3 + 4,5х4 + 6х5 + 3х6 + 2,5х7 + 0,9х8 → max

 

Матрица

 

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

х8

х9

х10

    

1

1

1

1

1

1

          

£

3700

2

                

1

  

£

1000

3

                  

1

£

800

4

3

2

2,1

65

65

205

95

8

    

£

200000

5

-1

-1

-1

6

6

          

£

0

6

          

0,63

-0,37

      

£

0

7

1,9

1,9

1,9

1,9

1,9

-1

    

0,5

0,2

=

0

8

1

1

1

1

1

  

-1

  

0,5

0,1

=

0

9

0,3

0,3

0,3

0,3

0,3

    

-1

0,09

0,05

=

0

10

          

23

        

≥

5000

11

            

1,5

0,3

    

≥

500

12

              

0,035

    

≥

5

Z

3

2,6

2,6

4,5

6

3

2,5

0,9

    

→

max


 

Задание 4. Разработать  рацион кормления коров с минимальной  себестоимостью. Задачу решить графическим методом. Исходные данные приведены в таблице.

 

Вид питательного вещества

Содержание питательных веществ  в 1 кг

Минимальная потребность

сена

картофеля

Кормовые единицы, кг.

0,45

0,3

30

Переваримый протеин, гр.

120

10

3600

Каротин, мг.

30

2

1500

Себестоимость, руб.

1,2

1

min


Содержание картофеля в рационе  не должно быть менее 30% физического веса рациона.

Содержание сена в рационе не должно быть менее 50% в питательном  рационе.

Разработать рацион кормления коров  с минимальной себестоимостью.

 

Решение:

х1-  сено

х2 – картофель

Ограничения по потребности

0,45х1 + 0,3х2 ³ 30

120х1 + 10х2 ³ 3600

30х1 + 2х2 ³ 1500

х1³ 0, х2 ³ 0

Ограничение по составу

х2 ³ 0,3(х1 + х2) или 0,3х1 - 0,7х2 £ 0

х1 ³ 0,5(х1 + х2) или -0,5х1 + 0,5х2 £ 0

Целевая функция

1,2х1 + х2  → min

 

Наносим на график уравнения ограничения.


 

После этого определяем область  допустимых значений.


Чертим вектор с координатами (1,2; 1) и линии уровня, перпендикулярные ему. Видим, что линия уровня пересекает область в точке (1).


Найдем координаты точки (1). Это  точка пересечения прямых

0,3х1 - 0,7х2 = 0 и 0,45х1 + 0,3х2 = 30

х2 = 0,3/0,7х1

Подставим во второе уравнение.

0,45х1 + 0,3*0,3/0,7х1 = 30

Откуда х1 = 51,85 кг

х2 = 22,22 кг

Себестоимость: Z = 1,2*51,85 + 1*22,22 = 84,44 руб.

 

Задание 5

Дана математическая запись модели:

3x1 - 5х2 - 6х3 ≥ 9;

-4x1+3x2 – х3 ≤ -9;

3x1+5x2 ≤ 6;

F(x) = -5x1 + 3х2 - 3х3 → max.

Решить задачу оптимизации модели модифицированным симплексным методом.

 

Решение:

Умножим второе неравенство на (-1).

3x1 - 5х2 - 6х3 ≥ 9;

4x1-3x2 + х3 ≥ 9;

3x1+5x2 ≤ 6;

F(x) = -5x1 + 3х2 - 3х3 → max.

 

Для построения первого опорного плана систему  неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

3x1-5x2-6x3-1x4 + 0x5 + 0x6 = 9

4x1-3x2 + 1x3 + 0x4-1x5 + 0x6 = 9

3x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 6

 Решение  состоит из двух этапов. Первый  этап - введение искусственного базиса (единичной матрицы) и поиск первого опорного плана (без учета целевой функции). Второй этап - поиск оптимального решения на основе целевой функции.

 Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса.

 Имеем:

 Матрица  коэффициентов A = aij

 3

 -5

 -6

 -1

 0

 0

 1

 0

 4

 -3

 1

 0

 -1

 0

 0

 1

 3

 5

 0

 0

 0

 1

 0

 0


 Матрица b.

 

 Итерация №1.

<X> = (7, 8, 6)

 

 Матрица c.

c = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1)

cB = (1, 1, 0)

cN = (0, 0, 0, 0, 0)

 

 Вычисляем:

 Матрицу B-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

 

u = cBB-1 = (1, 1, 0)

 

c* = cN - uN = (-7, 8, 5, 1, 1)

 Откуда s = 1

 

 

 Откуда r = 3

 Итерация №2.

<X> = (7, 8, 1)

 

 Матрица c.

c = (-7, 8, 5, 1, 1, 0, 0, 0)

 Вычисляем:

 

u = cBB-1 = (0, 0, -2.33)

 

c* = cN - uN = (19.6667, 5, 1, 1, 2.33)

 Нулевая строка симплексной  таблицы неотрицательна. Первый  этап симплекс-метода завершен.

 Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию.

 Выразим базисные переменные:

x1 = 2+1.67x2+0.3333x6

 которые подставим в целевую  функцию:

F(X) = -5(2+1.67x2+0.3333x6) + 3x2-3x3

Контрольная работа по «Математические методы и модели в экономике». 2 📙 Контрольная → 🆔 61436

Контрольная работа по «Математические методы и модели в экономике». 2 📙 Контрольная → 🆔 61436

Контрольная работа по «Математические методы и модели в экономике». 2