Контрольная работа по "Математике". 3. 2

Самуйлов  Александр Захарович

     

Контрольная работа по вычислительной математике 

  Выбор варианта. В условие задачи включена величина , где – две последние цифры номера зачётной книжки. Это и есть индивидуальный вариант задачи.

    Оформление решения. При решении можно использовать любую вычислительную технику, в том числе и системы компьютерной математики (MATLAB, MathCAD и другие), однако целью курса является  не ответ, а изучение алгоритма вычислений, поэтому необходимо представить последовательность операций и все промежуточные результаты.  

1. Алгоритмы вычислительной математики.

 

       Основным  понятием вычислительной математики является алгоритм    

     решения задачи.

    Результатом решения задачи в вычислительной математике должны быть числа. Например, в теоретической математике ответом может быть . В вычислительной математике это не ответ, потому что −не число, ответом может быть или , или в зависимости от требуемой точности представления результата извлечения квадратного корня из .

   Вычислительная математика разрабатывает методы доведения до числового результата решений основных задач математического анализа, алгебры и геометрии. Эти методы называются численными методами.

    Численные методы имеют свой  язык записи. Чтобы численный  метод давал в результате число,  он должен быть представлен в виде чисел и арифметических операций над числами. Однако задачи формулируются обычно на математическом языке (языке уравнений, функций, производных, интегралов и т. п.). Поэтому разработка численного метода  состоит в том, чтобы решение исходной задачи представить в виде последовательности арифметических операций над числами. Такая последовательность действий называется вычислительным алгоритмом.

  Построим алгоритм решения уравнения .

   Пусть известно приближённое значение корня  и требуется найти более точное  его значение  .    Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :

                         

   Отбросим  в разложении  все слагаемые,  содержащие производные выше  первого порядка, тогда получим  приближённое равенство 

                                 .

   Следующее приближение к корню обозначим и подставим его в приближённое равенство вместо x, получим:  

                             .

 

  Так как – корень,  то , следовательно,  правая часть

  .  Если  найти из уравнения , то его можно считать приближённым решением уравнения , и это приближенное  решение    определяется по формуле

                                       

   Это и  есть алгоритм  решения уравнения (алгоритм Ньютона).

  Для начала вычислений по алгоритму Ньютона необходимо иметь начальное приближение . Начальное приближение можно определить либо по графику левой части уравнения, либо по свойству: если можно найти два значения и таких, что и имеют противоположные знаки, то на промежутке имеется корень (возможно, не один).

   Придавая значения    получим последовательность приближённых значений корня, которая, при определённых условиях, сходится к точному значению корня, когда .    Практически уточнения корня производят, пока выполняется неравенство , где − заданная точность вычисления корня.  

Пример.  

Вычислить по алгоритму Ньютона с точностью больший корень уравнения  .  

Решение. Построим график левой части уравнения: 

 

    Корни уравнения – это точки пересечения графика с осью абсцисс. Так как полиномиальное уравнение третьей степени не может иметь больше трёх действительных корней и на графике имеются три точки пересечения с осью абсцисс, то для большего  корня можно взять начальное приближение 

    Проводим уточнение  корня по алгоритму

                             

                                    

             

                  

    , точность не достигнута. 

        

             

              

            , точность не достигнута. 

         

         

               

             , точность не достигнута.

       

           

                

                 

                   , точность

  достигнута.

    Больший корень  уравнения  с  точностью равен 0.7025

     Проверка:

                              

   Задача 1.

Вычислить по алгоритму Ньютона с точностью меньший корень уравнения

                                      .    
 

2. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений.

 

   Рассмотрим алгоритм исключения неизвестных (алгоритм  Гаусса) решения системы линейных уравнений на примере решения системы трёх  уравнений с тремя неизвестными

                           
 
 

   Алгоритм исключения неизвестных даёт точное решение системы, поэтому нет необходимости включать в него параметр .

    Алгоритм состоит из следующих элементарных операций:  

   1) Найти уравнение, содержащее наибольший по абсолютной величине коэффициент; в данном примере это будет второе уравнение.

   2) Переставить уравнения, чтобы первым было уравнение с наибольшим коэффициентом:

   3) Переставить  столбцы левой части системы,  чтобы переменная с наибольшим коэффициентом разместилась на диагонали:

   4) Первое уравнение делим на наибольший коэффициент, чтобы коэффициент при неизвестной на диагонали сделать равным 1:

   5) Из  всех уравнений, кроме первого,  исключаем неизвестные первого  столбца. Чтобы исключить неизвестную из второго  уравнения, первое уравнение умножим на коэффициент при , т.е. на 2, и вычтем первое уравнение из второго: 
 
 
 
 
 

  6) Аналогично исключаем     из третьего уравнения: первое уравнение умножим на коэффициент при , т.е. на -1, и вычтем первое уравнение из второго:

                                                                                               

       
 
 

  После этих преобразований получим следующую систему,  эквивалентную исходной системе: 

   7) Далее рассматриваем систему  без первого уравнения     и для её преобразования переходим к пункту 1).

Окончательно  получим систему

 
 
 
 
 

Подставим  в предпоследнее уравнение, находим , затем из первого уравнения получим , и система решена. 

   Задача 2. Решить систему по алгоритму исключения неизвестных  

                      
 

   3.  Интерполирование функций.  

    Задача интерполирования заключается в замене некоторой функции  другой, более простой функцией . Функция  может быть задана таблицей значений; если задана аналитическим выражением, то для интерполирования необходимо вычислить таблицу её значений.

    В качестве  обычно используют полином, тогда его называют интерполяционным. Использование полинома вместо для вычисления значений функции называется интерполированием функции .

     Теоретическое обоснование замены данной функции полиномом  опирается на теорему Вейерштрасса: любую непрерывную в интервале   функцию можно заменить в нём с любой степенью точности полиномом, т.е. можно построить такой полином , что для каждого значения , где − произвольная положительная величина.

     Пусть функция  имеет значения при значениях аргумента , тогда по этим значениям можно построить полином степени не выше :

                                   .

      Полином будет построен, если  его коэффициенты  выразить через   и .  Такое выражение возможно при условии, что полином проходит через те же точки, что и функция , т.е. при условии

                                                                                  

    На практике используется много  различных интерполяционных 

полиномов. Рассмотрим построение одного из них − интерполяционного   полинома Ньютона для функции ,   заданной значениями

в равноотстоящих точках  , так что . Коэффициенты полинома вычисляются проще, если полином записывать в виде

         .

     Для  дальнейшего построения интерполяционного  полинома потребуются разности  различных порядков значений функции .

     Величины  называются разностями первого порядка. Обозначим эти разности :

                       .

     Разности разностей первого порядка называются разностями второго порядка. Обозначим разности второго порядка     и выразим их через :

                        ,

                        ,

                        ,

                         .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .

      Разности разностей второго порядка  называются разностями третьего  порядка. Обозначаются     и выражаются через :

       ,

       ,                   

                      .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .

    Разности  обычно записывают в таблицу  разностей следующего вида:

 
 

                           
 
 
 
 
 
 

     Возвратимся к построению интерполяционного полинома в виде

         .

      Подставим  в полином значение , получим равенство

     .

Все слагаемые  в правой части, кроме первого, содержат множитель , поэтому , но , следовательно

     Чтобы  выразить  через , подставим , получим равенство

   .

Все слагаемые  в правой части, начиная с третьего, содержат множитель  , поэтому все они равны нулю и . Но , следовательно, , откуда  . Таким   

образом, 
 

     Чтобы  выразить  через , подставим , получим равенство

   . Так как ,  ,  , то имеем равенство  , откуда .

                        

     Продолжая  аналогичные вычисления, найдём  выражения для всех коэффициентов  интерполяционного полинома:

,       ,    .    .    .  ,

 

     Теперь  можно записать готовый интерполяционный  полином Ньютона:

.

     Обычно  интерполяционный полином Ньютона  преобразуют в другую форму  путём замены   . Выполним это преобразование.

      Запишем полином в виде:

 

.

     Последнее выражение и является обычным видом интерполяционного полинома Ньютона

     При  построении интерполяционного полинома  Ньютона используется

верхняя (подчёркнутая) строка таблицы разностей. Затем полагают .

     Если имеется неограниченная таблица значений функции , то степень интерполяционного полинома может быть любой. Практически в этом случае степень выбирают так, чтобы разности в столбце были постоянными (в пределах заданной точности).

     Если  таблица значений функции конечна,  то число  ограничено, а именно не может быть больше числа значений функции, уменьшенного на единицу.

     Исходной  точкой    может быть любая табличная точка, при этом для интерполяционного полинома потребуются только те точки, которые идут после этой начальной точки.  

   При замене  функции  многочленом возникает погрешность  

. 

    Пример. Построить интерполяционный полином для функции, заданной таблицей: 

	3.50	3.55	3.60	3.65	3.70
	33.115	34.813	36.598	38.475	40.447

 

   Найти . Оценить погрешность результата. 

    Решение. Составим таблицу разностей

3.50 3.55 3.60 3.65 3.70	33.115 34.813 36.598 38.475 40.447	1.698 1.785 1.877 1.972	0.087 0.092 0.095	0.005 0.003	-0.002

 
 
 
 
 
 
 
 

В столбце  разности с точностью до сотых постоянны, поэтому выбираем , тогда  .

;   ;    .

          .

.

Погрешность значения оценивается величиной  

                                                    

Задача 3.  Функция задана таблицей 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Найти значение для , используя интерполяционный полином Ньютона.  Оценить погрешность результата. 
 

4.  Численное интегрирование.

   Пусть требуется вычислить . Если непрерывна на отрезке и известна первообразная подинтегральной функции , то интеграл можно вычислить по формуле Ньютона−Лейбница  . Однако во многих случаях первообразную нельзя найти элементарными средствами, поэтому вычисление интеграла по формуле Ньютона−Лейбница  может быть затруднительным или даже практически невозможным, Кроме того, на практике подинтегральная функция часто задаётся таблично, тогда само понятие первообразной теряет смысл. Поэтому необходимо иметь приближённые и в первую очередь численные методы вычисления определённых интегралов.

     Задача численного интегрирования заключается в вычислении значения  определённого интеграла на основе ряда значений подинтегральной функции.

    Обычный приём построения алгоритмов численного интегрирования состоит в том, что подитегральную функцию на отрезке интегрирования заменяют интерполяционным полиномом и затем полагают  . Интеграл от полинома легко вычисляется и получается алгоритм численного интегрирования.

     Построим алгоритм парабол (алгоритм Симпсона) численного интегрирования.

    Промежуток интегрирования разобьём на чётное число частей , тогда где    . Интеграл на промежутке от      до    вычислим следующим способом. Возьмём два первых частичных промежутка  от   до  , заменим подинтегральную функцию интерполяционным полиномом и вычислим интеграл. Так как на промежуток от   до  попадают только три точки:  ,    и , то на взятом промежутке можно построить полином не выше второй степени  . Вычисляем:

 

                       

.

     Для вычисления интегралов выполним замену   ,    ;  новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . 

.

    Для двух следующих интервалов от   до  таким же способом получим   .  Для третьей пары интервалов от   до         и   т.д.  Чтобы получить приближённое численное значение интеграла на всём промежутке , необходимо просуммировать правые части полученных формул, тогда

              .

     Эта формула называется алгоритмом  парабол (алгоритмом Симпсона) численного  интегрирования.

     Для оценки погрешности полученного значения интеграла на практике часто начинают вычисление с некоторым чётным , затем повторяют вычисление с удвоенным значением . Считают, что совпадающие десятичные знаки обоих результатов принадлежат точному значению интеграла, и за приближённое значение интеграла берут любое из найденных значений. Если точность недостаточна, снова удваивают значение .