Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Контрольная работа по "Математике". 2. 3

Задание 1. Решить задачу линейного программирования

Вариант 7.

Решение:

Введем дополнительные переменные

(max)

Ограничения:

= 0

Составим симплекс таблицу:

Базисные переменные	Свободные члены
	9	1	3
	8	2	1
	0	1	-3
F	0	-1	-2

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-2). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Пересчитаем таблицу

Базисные переменные	Свободные члены
	3	0.333	0.333
	5	1.667	-0.333
	9	2	1
F	6	-0.333	0.667

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-0.333). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Базисные переменные	Свободные члены
	2	-0.2	0.4
	3	0.6	-0.2
	3	-1.2	1.4
F	7	0.2	0.6

Найдено оптимальное решение

Задание 2. Составить и решить задачу линейного программирования

Вариант 8. Предприятию требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,3‰ и с долей зольных примесей не более 3,25%. Содержание примесей в трех сортах угля приведены в таблице.

Полезное вещество	Сорт угля
Полезное вещество	А	Б	В
Содержание фосфора, ‰	0,6	0,4	0,2
Содержание примеси золы, %	2	4	3

Цена килограмма угля сортов А и Б составляет 30 рублей, а сорта В — 45 рублей.

Составьте задачу линейного программирования о пропорциях смеси углей минимальной цены, удовлетворяющей ограничениям на содержание примесей. Найдите оптимальные пропорции смеси.

Решение:

Введем следующие обозначения:

Х₁ – содержание угля А в смеси;

Х₂ – содержание угля В в смеси;

Х₃ – содержание угля С в смеси;

Ограничения имеют вид:

Окончательный вид:

Приведем к каноническому виду:

Решим симплекс-методом:

S	i				30	30	45	0	0
S	i				A₁	A₂	A₃	A₄	A₅
0	1	4	0	0,3	0,06	0,04	0,02	1	0	15
0	2	5	0	3,25	2,0	4,0	3,0	0	1	1
					-30	-30	-45	0	0	K=3, l=2
1	1	4	0	21/200	7/150	1/75	0	1	-1/150
1	2	3	45	39/4	2/3	4/3	1	0	1/3
					0	30	0	0	45/3

Задание 3. Математическая статистика

Вариант 5. Для оценки необходимых затрат рабочего времени собраны данные о том, сколько минут требуется на оформление однотипных комплектов документов случайно выбранным специалистам (в минутах):

18,24	21,82	24,39	25,04	24,23	27,43	22,53	23,2
12,23	18,89	15,74	19,01	11,16	16,53	25,89	22,69
12,22	22,59	25,38	13,95	22,29	25,34	19,87	25,73
11,45	19,09	17,89	23,05	26,44	22,04	18,52	11,08

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму.

Найти среднюю продолжительность оформления комплекта документов и исправленное среднее квадратическое отклонение для выборки. Построить доверительные интервалы надежности 90% и 95% для средней продолжительности оформления документов.

Решение: Для построения гистограммы относительных часто выборочные данные разбиваем на k = 6 интервалов одинаковой длины.

Просматривая выборочные значения, находим, что наибольшим значением случайной величины является 27,43, наименьшим 11,08. Для определения длины частичного интервала находим

Xmax = 27,43 Xmin =11,08

И размах разборки

w = Xmax – Xmin = 27,43 – 11,08 = 16,35

Следовательно,

Вычисляем границы частичных интервалов. За начало первого интервала aₒ возьмем наименьшее значение исследуемого признака 11,08.

h = 2,73: aₒ = 11,08; a1 = 11,08 + 2,73 = 13,81; a2 = 13,81 + 2,73 = 16,54;

a3 = 16,54 + 2,73 = 19,27; a4 = 19,27 + 2,73 = 22,00; a5 = 22,00 + 2,73 = 24,73; a6 = 24,73 + 2,73 = 27,43.

Просматривая результат наблюдений, находим количество выборочных данных попавших в заданный интервал. В результате обработки выборки получаем табл. 1

Номер интервала	Границы интервала	Частота n
1	2	3
1	[11,08; 13,81]	5
2	[13,81; 16,54]	3
3	[16,54; 19,27]	6
4	[19,27; 22,00]	5
5	[22,00; 24,73]	9
6	[24,73; 27,43]	7

Результаты группировки сведем в табл. 2

Номер интер-вала	Границы интервала	Середина интервала	Час-то-та	Относитель-ная частота	Плотность относитель-ной частоты	Накопленная относитель-ная частота
1	2	3	4	5	6	7
1	[11,08; 13,81]	12,45	5	0,16	0,059	0,16
2	[13,81; 16,54]	15,18	3	0,09	0,033	0,25
3	[16,54; 19,27]	17,91	6	0,19	0,070	0,44
4	[19,27; 22,00]	20,64	5	0,06	0,022	0,50
5	[22,00; 24,73]	23,37	9	0,28	0,103	0,78
6	[24,73; 27,43]	26,08	7	0,22	0,081	1
			32	1,00

Находим середину интервала (столбец 3) по формуле:

Находим относительную частоту (столбец 5) по формуле:

= 0,09

= 0,22

Находим плотность относительной частоты (столбец 6) по формуле: , где h = 2,73. В верхней строке шестого столбца — 0,16/2,73 = 0,059; во второй — 0,09/2,73 = 0,033; в третьей — 0,19/2,73 = 0,070; в четвертой – 0,06/2,73 = 0,022; в пятой – 0,28/2,73 = 0,103; в шестой – 0,22/2,73 = 0,081.

Находим накопленную относительную частоту. В верхней строке седьмого столбца — 0,16; во второй — 0,16 + 0,09 = 0,25; в третьей — 0,25 + 0,19 = 0,44; в четвертой – 0,44 + 0,06 = 0,50; в пятой – 0,50 + 0,28 = 0,78; в шестой – 0,78 + 0,22 = 1.

Построим гистограмму.

Рис. 1

Вычислим выборочные характеристики:

а) выборочная средняя

б) исправленная выборочная дисперсия

в) выборочное среднеквадратичное (стандартное) отклонение

≈ 5

Распределение исследуемого признака Х нам неизвестно, и также неизвестны его математическое ожидание μ и дисперсия σ2.

Поскольку объем выборки достаточно велик и его гистограмма очень похожа на функцию плотности вероятности нормального распределения, приближенно можно считать, что двусторонние доверительные интервалы для оценки параметров μ и σ 2, соответствующие доверительной вероятности γ = 1 − α, имеют следующий вид:

для математического ожидания μ —

для дисперсии σ ² —

Выборочная средняя = 20,19 , исправленная выборочная дисперсия и стандартное отклонение S = 5 были найдены ранее.

Для γ = 0,95 найдем α =1 − γ = 1−0,95 = 0,05

По таблицам квантилей распределения Стьюдента и (хи-квадрат) для 31 степеней свободы находим:

Построим доверительный интервал для математического ожидания

Построим доверительный интервал для дисперсии

Для γ = 0,90 найдем α =1 − γ = 1−0,90 = 0,10

По таблицам квантилей распределения Стьюдента и (хи-квадрат) для 31 степеней свободы находим:

Построим доверительный интервал для математического ожидания

Построим доверительный интервал для дисперсии

Задание 4. Корреляционный анализ

Вариант 10. Исследовать связь между числом работающих на крупных и средних предприятиях района и поступлением доходов в городской бюджет на основании следующих данных.

работает, тыс. чел.	157	95	112	149	106	125	74	49
поступления, млн. руб.	209,5	88,3	122	156,1	132,4	114,2	104,6	48,7

Решение:

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

an + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑yx

Для наших данных система уравнений имеет вид

8a + 867 b = 975,8

867 a + 103157 b = 116639

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение

Получаем b = 1,18, a = -6,33

Уравнение регрессии:

y = 1,18 x – 6,33

1. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 1.18 x -6.33

1.3. Коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

1.4. Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

где

S_y0 = 15799.4 + 2911.04 = 18710.44

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции r_xy.

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.9² = 0.8157

x	y	x ²	y ²	x • y	y(x)	(y_i-y_cp) ²	(y-y(x))²	(x_i-x_cp)²	\|y - y_x\|:y
157	209.5	24649	43890.25	32891.5	179.54	7660.63	897.58	2364.39	0.14
95	88.3	9025	7796.89	8388.5	106.14	1134.01	318.29	178.89	0.2
112	122	12544	14884	13664	126.27	0.0006	18.2	13.14	0.035
149	156.1	22201	24367.21	23258.9	170.07	1164.52	195.15	1650.39	0.0895
106	132.4	11236	17529.76	14034.4	119.16	108.68	175.21	5.64	0.1
125	114.2	15625	13041.64	14275	141.66	60.45	753.87	276.39	0.24
74	104.6	5476	10941.16	7740.4	81.28	301.89	543.84	1181.64	0.22
49	48.7	2401	2371.69	2386.3	51.68	5369.23	8.9	3525.39	0.0613
867	975.8	103157	134822.6	116639	975.8	15799.4	2911.04	9195.88	1.09

2. Оценка параметров уравнения регрессии.

2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=6 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α) = (6;0.05) = 1.943

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r(0.7766;1.0298)

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S²_y = 485.1735 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S_y = 22.0267 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S_a - стандартное отклонение случайной величины a.

S_b - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.

(a + bx_p ± ε)

где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 119

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bx_i ± ε)

где

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

t_крит (n-m-1;α) = (6;0.05) = 1.943

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.

2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=6, Fkp = 5.99

Задание 5. Теория вероятности.

Вариант 4. Вероятность того, что стрелок попадет в «десятку», равна 0,5. Составить закон распределения числа попаданий в серии их четырех выстрелов. Построить многоугольник распределения.

Решение:

а) Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли:

Закон распределения х представится таблицей:

x_i	0	1	2	3	4
p_i	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

Проверка: 0,0625 + 0,25 + 0,375 + 0,25 + 0,0625 = 1.

б) Многоугольник распределения представлен на рисунке 2.

Задание 6. Матрицы и операции над ними.

Вариант 7. Выполнить умножение матриц АВ^–1С.

Решение:

Найдем обратную матрицу

Определитель матрицы равен:

=(-2)×(-4)-3×5= 8-15= -7

Определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Находим миноры всех элементов:

М₁₁= – 4; М₁₂ = 5;

М₂₁= 3; М₂₂ = – 2.

Вычисляем алгебраические дополнения элементов по формуле

B₁₁= – 4; B₁₂ = 5;

B₂₁= 3; B₂₂ = – 2.

Вычисляем обратную матрицу по формуле

Находим произведение матриц А и .

= = =

Находим произведение матриц АС.

АС= =

Ответ: АС=

7. Решения системы уравнений методом Крамера.

Вариант 6.

Решение:

Находим главный определитель:

Находим 1-ый определитель для вычисления х.

Находим 2-ой определитель для вычисления у.

Находим 3-ий определитель для вычисления z.

Найдем решения данной системы уравнений. Согласно описанному выше методу, данная система уравнений имеет решения

Проверка:

1·(–8) +1·() –1·() =1

8·(–8) +3·() – 6·() =2

4·(–8) +1·() – 3·() =3

Ответ: х= –8, у=, z= .

Протокол проверки:


Дата проверки
Оценка

Комментарии преподавателя
Комментарии преподавателя

Контрольная работа по Математике. 2. 3 📙 Контрольная → 🆔 61248