Контрольная работа по "Математике". 149

1. Производная. Правила дифференцирования.

 

Определение производной 

 

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел

 

= 

 

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.Если же рассматриваемый предел равен ∞ (или -∞ ), то при условии, что функция в точке хo непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке хo бесконечную производную

 

3. Производная сложной функции.

3 "Двухслойная" сложная  функция записывается в виде 

 

 где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

 Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

 

 Данная формула показывает, что производная сложной функции  равна произведению производной  внешней функции на производную  от внутренней функции. Важно,  однако, что производная внутренней  функции вычисляется в точке  x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

 

 

4.   Физический и геометрический смысл производной.

.Геометрический смысл  производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

 

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль  оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

 

5 Функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков.

частные производные функции  двух переменных z=f(x,y) являются функциями переменных x и y. Поэтому их снова можно дифференцировать. Так как каждую функцию zx/ и zy/ можно дифференцировать по x и y, то производных второго порядка будет четыре. Результат дифференцирования по x обозначается через , а результат дифференцирования по y через . Производная обозначает двукратное дифференцирование функции z=f(x,y) по y.

 

Производные второго порядка  можно снова дифференцировать по x или по y.

 

Частная производная n-го порядка, есть первая производная от производной (n-1)-го порядка.

 

6 Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

 

Определение первообразной.

 

 Первообразной функции  f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

 

 Если принять во  внимание тот факт, что производная  от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким  образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

 

7       и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.

Определение неопределенного интеграла.

 

 Все множество первообразных  функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

 

 Выражение  называют  подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

 

 Действие нахождения  неизвестной функции по заданному  ее дифференциалу называется  неопределенным интегрированием,  потому что результатом интегрирования  является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

 

Определение первообразной и неопределенного интеграла

 Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

 

 Множество всех первообразных  некоторой функции  f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

 

 Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

 

 где С - произвольная постоянная.

 

 Свойства неопределенного  интеграла 

 В приведенных ниже  формулах f и g - функции переменной x,  F - первообразная функции f,

а, k, C - постоянные величины.

 

8. Способы интегрирования: интегрирование методом замены переменной (подстановкой) и по частям.

 

Основные методы интегрирования

 

Функция F( x ), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f ( x ), или интегралом от f ( x ), если для всякого x Î X справедливо равенство:

 

F ¢ (x) = f(x).                                              (8.1)

 

Нахождение всех первообразных  для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f ( x ) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f ( x ); обозначение -

 

ò f( x) dx .

 

Если F( x ) - какая-нибудь первобразная для функции f ( x ), то

 

ò f( x) dx = F(x) + C,                                         (8.2)

 

где С - произвольная постоянная.

 

Непосредственно из определения  получаем основные свойства неопределенного  интеграла и список табличных  интегралов:

 

1) d ò f(x)=f(x) dx ,

 

2) ò df ( x)=f(x)+C,

 

3) ò af ( x) dx =a ò f(x) dx (a=const),

 

4) ò ( f( x)+g(x)) dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx .

 

Список табличных интегралов

 

1. ò x m dx = x m +1 /( m + 1) +C ( m ¹ -1).

 

2.  = ln ê x ê +C.

 

3. ò a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ¹ 1).

 

4. ò e x dx = e x + C.

 

5. ò sin x dx = cos x + C.

 

6. ò cos x dx = - sin x + C.

 

7.  = arctg x + C.

 

8.  = arcsin x + C.

 

9.  = tg x + C.

 

10.  = - ctg x + C.

 

Для интегрирования многих функций  применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить  интегралы к табличной форме.

 

Если функция f ( z ) непрерывна на [ a , b ], функция z=g ( x ) имеет на [ a,b ] непрерывную производную и a £ g ( x ) £ b , то

 

ò f( g(x)) g ¢ (x) dx = ò f(z) dz ,                                   (8.3)

 

причем после интегрирования в правой части следует сделать  подстановку z=g ( x ).

 

 

9. Решение ду с разделяющимися переменными.

дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

 

 где p(x) и h(y) − непрерывные функции.

 

 Рассматривая производную  y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

 

 Разумеется, нужно убедиться,  что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.

 

 Обозначив , запишем уравнение в форме:

 

 Теперь переменные  разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

 

 где C − постоянная интегрирования.

 

 Вычисляя интегралы,  получаем выражение 

 

 описывающее общее  решение уравнения с разделяющимися  переменными.

 

 

 

10.  Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

Структура общего решения 

 Линейное неоднородное  уравнение данного типа имеет  вид: 

 

 где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

 

Теорема: Общее решение  неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:

 

 Ниже мы рассмотрим  два способа решения неоднородных  дифференциальных уравнений. 

 Метод вариации постоянных 

 Если общее решение  y0 ассоциированного однородного  уравнения известно, то общее  решение неоднородного уравнения  можно найти, используя метод  вариации постоянных.

 

 Пусть общее решение  однородного дифференциального  уравнения второго порядка имеет  вид: 

 

 Вместо постоянных C1 и C2 будем рассматривать вспомогательные функции C1(x) и C2(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

 

 удовлетворяло неоднородному  уравнению с правой частью  f(x).

 

 

11. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Уравнения вида  (3-15) называются неоднородными (так как правая часть  не равна нулю, как в предыдущем случае), и его решение можно  записать в виде ,

 

где  - общее решение  соответствующего однородного дифференциального  уравнения;

 

- частное решение исходного  неоднородного дифференциального  уравнения.

 

Об общем решении  однородного  дифференциального уравнения второго  порядка с постоянными коэффициентами сказано непосредственно перед  этим параграфом. Поэтому более подробно остановимся на получении частного  решения неоднородного дифференциального  уравнения.

 

 

 

   12  Сходимость и расходимость  числовых рядов.

 

         Пусть  задана бесконечная последовательность  вещественных чисел   . Построим последовательность

 

…   

 

и рассмотрим предел этой последовательности

 

.

 

Он называется числовым рядом, или просто рядом. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что  ряд сходится, или, что ряд существует. Если этот предел равен бесконечности  или вообще не существует, то говорят, что ряд расходится, или, что ряд  не существует.

 

         Величины  An называются частными суммами ряда. Слагаемое an называется общим членом ряда. Ряды  называются остатком ряда после n-го слагаемого.

         Простейшие  свойства сходящихся рядов.

 

1. Если ряд сходится, то  сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то  остатка вытекает сходимость  всего ряда. Отсюда следует, что  изменение или выбрасывание конечного  числа членов ряда не изменяет  его сходимости или расходимости.

 

2. Если ряд  сходится, то .

 

3. Если ряд  сходится, то сходится ряд  и имеет  место равенство

 

.

 

4. Если ряды  и  сходятся, то сходится и ряд   имеет  место равенство

 

.

 

5. Если ряд  сходится, то .

 

13. Применение необходимого и достаточного признаков сходимости числовых  рядов и признака Даламбера и Коши.

 

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:

 а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

 б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

 в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

 

 

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:

 а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

 б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

 в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

 

 

15. Множества и отношения. Свойства  отношений.

 

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не имеет точного определения  и, как правило, объясняется с  помощью примеров.

 

Дадим следующее интуитивное  определение понятия множества:

 

Множество – определенная совокупность объектов.

 

 Объекты, из которых  состоит множество, называются  элементами множества.

 

 ПРИМЕР

 

 Множество домов на  данной улице, множество натуральных  чисел, множество студентов группы  и т. д.

 

 Множества обычно обозначают  заглавными латинскими буквами А, В, С, D, X, Y…, элементы множества строчными латинскими буквами – a, b, c, d, x, y…

 

 

       16. Операции над множествами.

 

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы –  строчными. Запись  a  R  означает, что элемент  а принадлежит множеству R , то есть  а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a  R . 

 

 

 

Два множества А и В  называются  равными ( А = В ), если они  состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент  множества  В  является элементом  множества  А .

 

 

 

Говорят, что множество  А содержится в множестве В ( рис.1 ) или  множество А  является подмножеством  множества  В  ( в этом случае пишут  А  В ), если каждый элемент множества  А одновременно является элементом  множества  В . Эта зависимость между множествами называется  включением. Для любого множества  А имеют место включения:    А и А А .

 

Для обозначения того, что  объект x является элементом множества A, используют символику:  xА (читается: x принадлежит А ), запись xА обозначает, что объект x не является элементом множества A (читается: x не принадлежит А).

 

 Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым (обозначается: Ø).

 

 Множества из элементов которого составляем конкретное множество называется универсальным (обозначается: U).

 

 

 

 

 

 

17   Графы. Элементы графов. Виды графов и операции над ними.

 

Граф, или неориентированный  граф  — это упорядоченная  пара , для которой выполнены следующие условия:

 — это непустое множество  вершин или узлов,

 — это множество  пар (в случае неориентированного  графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.

 

(а значит и, , иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов. Это происходит потому, что ряд соображений становится ложным в случае бесконечных множеств.

 

Вершины и рёбра графа  называются также элементами графа, число вершин в графе  — порядком, число рёбер  — размером графа.

 

Вершины  и  называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра . Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

 

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

 

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

 

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть .

 

Степенью  вершины  называют количество инцидентных ей рёбер (при  этом петли считают дважды).

 

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для  одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

. Обыкновенным графом  называется пара , где - конечное множество,  - множество неупорядоченных пар различных элементов из . Элементы множества называются вершинами графа, элементы множества - его ребрами.

 

 

 

 

18. Интерполирование: постановки задачи. Интерполяционный многочлен Лагранжа, Ньютона.

 

 

 

Одной из важнейших задач  численного анализа является задача интерполяции функции: требуется восстановить функцию f(x) для всех значений x  [a, b] если известны её значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Эти известные значения, как правило, находятся в результате наблюдений или измерений в каком – то эксперименте либо в результате каких – то вычислений.

 

 Интерполяция применяется  во многих задачах, связанных  с вычислениями. Укажем некоторые  из этих задач. Обработка физического  эксперимента – построение приближенных  формул по данным вычислительного  эксперимента. Здесь возникают нестандартные  задачи интерполяции, так как  обычно пишутся формулы, возможно, более простой структуры.

 

 Интерполяционные формулы  используются также при вычислении  интегралов, при написании разностных  аппроксимаций для дифференциальных  уравнений, на основе интегральных  тождеств.

 

 Часто требуется восстановить  функцию f (x) на отрезке a ≤ x ≤ b, если известны её значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Например, пусть на отрезке a ≤ x ≤ b задана сетка:

 

= и в её узлах заданы  значения функции у (x), равные у () =, . . . , у () =, . . . , у () =. Требуется построить интерполянту – функцию f(x), совпадающую с функцией у (x) в узлах сетки:

 

 f() =  i = 0, 1, . . . , n.

 

 Основная цель интерполяции  – получить быстрый (экономичный)  алгоритм вычисления значений  f (x) для значений x, не содержащихся в таблице данных. Интерполирующие функции строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций:

 

 

 

 

 

 

числить интеграл  по формуле  средних прямоугольников при  n = 10.

 

 

Решение.

 

     Так как здесь  рассматривается тот же промежуток [0, 1], что и в примере, и взято  то же значение n, то точками xk+1/2 по прежнему являются точки

 

 

 

     Эти точки  мы должны подставить в формулу

 

 

 

и выразить результаты с помощью  десятичных дробей. Чтобы установить, с каким количеством знаков надо писать эти дроби, оценим, какую ошибку мы делаем в нашем примере, применяя формулу (36) при n = 10. У нас