Контрольная работа по "Математике". 75

 Билет №1 Матрица – произвольная система

элементов расположенных в виде прямой таблицы

имеющая m строк и n столбцов.

 Виды матриц: Матрица-строка  

     Матрица-столбец                Квадратная n-порядка

                             Единичная

                             Верхняя треугольная матрица

                             Нижняя треугольная матрица

                             Транспонированная матрица:

                             Симметричная  (А=А^т)

                             Кососимметричная (А^т=-А)

 

Билет №2

Линейные операции над матрицами.

Сумма: C_ij=A_ij+B_ij

Произведение: C_ij=λa_ij

Свойства:

1. Сложение матриц коммутативно:

A+В=В+А [A+B]_ij=[B+A]_ij

2. Сложение матриц ассоциативно:

(А+В)+С=А+(В+С)

3.Умножение на число ассоциативно:

(λ*μ)А=λ(μ*А)

4. Умножение на число дистрибутивно 

относительно суммы действительных

чисел: (λ+μ)А=λ*А+μ*А

5. Умножение на число дистрибутивно 

относительно суммы матриц:

λ(А+В)=λА+λВ

6.А*1=А

7.А+0=А

8.А+(-А)=0

9.Транспонтрование матриц:

(А^т)^т=А

(А+В)^т=А^т+В^т

(λ*А)^т=λ*А^т

 

Билет №3 Умножение матриц:

1. Количество столбцов А должно быть равно количеству строк В.

2.Существование А*В не означает  существование В*А , что бы А  (m*n) можно было умножить  на В слева и справа В должна иметь тип n*m; если определены оба условия и выполняется условие А*В=В*А, то матрицы наз.- перестановочными.

Свойства:

1. Умножение ассоциативно 

(А*В)*С=А(В*С)

2. Умножение дистрибутивно относительно  суммы 

(А+В)*С=А*С+В*С

3.A*E=E*A=A

4.Θ-Нулевая матрица: А*Θ=Θ

5.(А*В)^т=В^т*А^т

6.Возведение: А¹=А

   Аⁿ⁺¹=А*Аⁿ

   Aⁿ*A^m=A^m*Aⁿ=A^m+n

 

Билет №4

Определители

К каждой квад. матрице порядка n можно поставить соответствующее число определенное некоторым образом по элементам матрицы это число – определитель (det A порядка n).

 

 

 

Билет №5

Свойства определителей

1. Опр. не меняется при транспонировании (det A = det A^т).

2. При перестановке  двух строк (столбцов) опр. меняет  свой знак  на противоположный.

3.       a₁₁+b₁₁  a₁₂+b₁₂  … a_1n+b_1n  a₁₁     a₁₂    …    a_1n b₁₁    b₁₂     …   b_1n

          a₂₁          a₂₂        …  a_2n    a₂₁      a₂₂       …   a_2n a₂₁      a₂₂       …   a_2n

           …      …         … =    …    …           … + …    …           …

          a_n1      a_n2       …    a_nn   a_n1       a_n2         ...   a_nn a_n1       a_n2         ...  a_nn

4.Общий множитель эл-тов строки (столбца) можно вынести за знак опр., чтобы умножить опр. На число достаточно на это число умножить эл-ты одной строки (столбца).

                _{n                         n}                    a₁₁    a₁₂    …   a_n1

Док-во:  Σλa_1jA_1j=λΣ  a_1jA_1j= λ   ………………...

               ^{j=1                       j=1} a_n1    a_n2   …   a_nn

5. Опр. равен нулю, если он  имеет:

     - нулевую строку (столбец)

     - хотя бы 2 одинаковые строки (столбцы)

      Δ=-Δ;   2Δ=0;  Δ=0

     - хотя бы две строки эл-ты кот, пропорциональны.

     - хотя бы одну строку (столбец)  явл. линейной комбинацией др. строк (столбцов).

6. Опр. не  изменится если к любой его  строке (столбцу) прибавить линейную  комбинацию других строк (столбцов).

7. Опр. верхней  (нижней) треуг. матрицы равен произведению эл-тов на главной диагонали.

8. Сумма  произведений эл-тов какой-либо  строки (столбца) на алгебр. дополнение  соответствуетэл-там других строк  (столбцов) равна 0.

9.  Опр.  произведения 2  квадр. матриц  равен произведению их определттелей.

    det (AB) = detA^.detB

 

Билет №6

Обратная матрица.

Пусть А  – кв. матрица порядка n, кв. матрицу В того же порядка наз.- обратной А, если выполняется равенство: АВ=ВА=Е.

Теорема о единственности:

Если кв. м-ца А имеет обратную, то обратная м-ца единственная.

Док-во: Предположим, что А имеет две обр. м-цы В и В′, тогда по опр-ю выполняется в частности равенство АВ′=Е.   ВА=Е, используя ассоциативность умножения получаем: В=ВЕ=В^.(АВ′)=(ВА)^.В′=Е^.В′=В′

значит  В и В′ совпадают, ч.т.д.

Т.обр. м-ца имеет одну обратную.

Теорема 2: Для того что бы кв. м-ца порядка  n имела обратную необходимо и достаточно что бы определитель этой м-цы был не равен 0.

Теорема 3: Если в обратной кв. м-це А и В порядка n имеют обратные, то и их произведение имеет обратную      м-цу, (АВ)^-1=В^-1А^-1.

Теорема 4: Если кв. м-ца порядка  n имеет обратную, то и транспонирована м-ца имеет обратную.

 

Билет №7

Вычисление  обратной м-ц:

Метод 1. Метод присоединенной м-цы.

А^-1=1\detА^.(А′)^т где А′=(Аij) – м-ца составленная из алг. дополнений.

Метод 2. Метод преобразования исходной м-цы к более простому виду,  с  помощью элементарных преобразований строк. Записывают блочную м-цу (АIЕ) и с помощью элементарных преобразований вместо м-цы А получают м-цу Е.

Матричные уравнения:

1. АХ=В
2. ХА=В
3. АХС=В

Решить матр. уравнение, означает найти м-цу Х. Предположим, что сущ. обратные м-цы А^-1 и С^-1.

Домножим ур-е 1 на обратную к А слева:

        А^-1.АХ = А^-1.В=Е,  ЕХ=Х= А^-1.В

Домножим ур-е 2 на А^-1 справа:

           ХА^.А^-1 = ВА^-1

                   ХЕ = ВА^-1

Х = ВА^-1

Домножим ур-е 3 на А^-1 слева, С^-1 справа:

        А^-1.АХС^.С^-1 = А^-1.В^.С^-1

        ЕХЕ = А^-1ВС^-1

        Х = А^-1.В^.С ^-1

 

Билет №8

Системы линейных уравнении.

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

 

Если b₁= b₂= … b_m=0 система наз.- однородной.

b₁,…, b_m –свободные члены

Набор из n-чисел х⁰ называется решением системы, если подстановка их в систему дает верное тождество.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В  противном случ. несовместной.

Три способа  решения:

1.Матричный способ:

 а₁₁   ...   а_1n                 x₁   b₁

………….       .    …       =    …

a_n1   …   a_nn               x_n       b_n

 

Тогда справедлива Теорема: система  имеет единственное решение Х=А^-1В – частный случай м-го ур-я, где

А^-1=1\detА^.(А′)^т.

2. Формула Крамера: 

x_i=Δ_i\Δ

3. Метод Гаусса:

х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=b₁

          x₂+…+a_2nx_n=b₂

                          x_n=b_m

 

а затем методом подбора.

 

Билет №9

Ранг м-цы

Рангом  м-цы называется максимальный порядок  минора этой м-цы отлич. от нуля.(rang A).

Если кв. м-ца порядка n невырождена, то ее ранг равен ее порядку.

Ранг единичной  м-цы (Е) порядка n: r(E)=n.

Ранг нулевой  м-цы равен 0.

Ранг диагональной м-цы равен  кол-ву ее не нулевых диаг. эл-тов.

Если ранг м-цы равен r, то м-ца имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а ее миноры большего порядка равны 0.

При транспонировании м-цы ранг не меняется.

Ранг м-цы не изменится при элементарных преобразованиях м-цы.

Минор м-цы А наз. базисным, если выполняется 2 условия:

- он не равен 0

- его порядок равен рангу  м-цы

 

 

Билет №10

Вычисление  ранга м-цы

1.Метод окаймляющих миноров

Минор М′ м-цы А наз. окаймляющим  для минора М, если он получается из последнего добавлением одной строки и одного столбца порядка М′ на единицу больше чем М. Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из базисных миноров  и состоит в следующем:

а) Выберем не нулевой эл-т.

б) Последовательно добавляем строки и столбцы, так что бы минор  был не нулевым.

в) Если минор  равен 0, то предыдущий минор будет базисным.

2. Метод  элементарных преобразований.

С помощью элементарных преобразований системы м-цу А приводят к виду

?   а₁₂   ...   а_1к   ...   а_1n

?   а₂₂   ...   а_2к   ...   а_2n =А

0   0     ...   а_3к   ...   а_3n

0   0     ...    0    ...    0

 

 

 

Билет №11

Системы совместные и  несовместные. Критерии совместности.

Критерии совместности дает Теорема  Кронекера-Капелли.

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=b₁ 

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

 

Система тогда и только тогда  совместна, когда ранг м-цы А равен рангу расширенной м-цы А.

1.Запишем столбцы м-цы в виде  векторов.

Если существует решение это  означает, что х₁⁰а₁+х₂⁰а₂+...+x_n⁰a_n=b – линейная комбинация в-в.,

значит добавление столбца свободных  членов к м-це А не увеличивает  общего числа линейно независимых строк(столбцов), поэтому выполняется условие: ранг м-цы А равен рангу расширенной м-цы.

2. Пусть  теперь выполняется условие ранг  м-цы А равен рангу расширенной  м-цы, тогда базисный минор м-цы  А  будет и базисным в  миноре расширенной м-цы, это означает, что  столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов, что вошли в базисный минор. Добавив к этой линейной комбинации другие столбцы с нулевыми элементами получим, что столбец свободных членов есть линейная комбинация всех столбцов м-цы, т.е. λ₁а₁+...λ_na_n=b, где λ является решением сис-мы. Теорема доказана.

 

Билет №12

Общее решение систем линейных уравнений

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=b₁ 

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

 

Пусть система совместна и  m‹n, тогда сис-ма имеет бесчисленное множ-во решений, которые получаются из общего решения.

Алгоритм:

1. Вычисление ранга м-цы А  r(A)=r≤m

2. Выбираем z строк вошедших в базисный минор и оставляем в системе z уравнений.

3. В выбранных ур-ях оставляем  в левых частях r неизвестных. Эти неизвестные наз. базисными.

4. Остальные (n-r)  неизвестные объявленные свободными  переносим в правую часть.

    Свободные неизвестные  могут принимать любые значения.

5. При решении системы неизвестные базисы выражают, через свободные, получаем общее решение, решая свободные неизвестные получаем ∞ решений.

 

Билет №13

Однородные  системы уравнений.

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=0 

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=0

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=0

 

Матрица может быть записана в матричном  виде. Ранг м-цы равен рангу расширенной м-цы. АХ=0

Однородная система линейных уравнений  совместна. х₁=х₂=...=х_n=0 – тривиальное решение.

Пусть столбцы              х⁰₁ y⁰₁

x⁰= х⁰₂ y⁰=     y⁰₂

... …

х⁰_n y⁰_n

 

являются решением однородной системы, тогда по свойствам м-ц будут верны сл. тождества:

1. А(αх⁰)=α(Ах⁰)=0

2. А(х⁰+у⁰)=Ах⁰+Ау⁰=0

Из равенств вытекает, что столбцы  αх⁰,и х⁰+у⁰являютсмя решениями однородной системы и любая линейная комбинация решений будет решением системы.

Множество всех решений однородной системы образует линейное множество (пространство), его наз. пространством решений однородных уравнений.

Фундаментальная система решений.

Пусть r(A)=r, возможны случаи:

1. Если в системе r=n система имеет только тривиальное решение.

2. Если r‹n система имеет фундаментальное решение, полученное из общего решения.

Замечание: Число фундаментальных решений равно числу свободных членов.

 

Билет №14

Векторы. Основные понятия.

Геометрическим вектором наз. любой  направленный отрезок.

1 точку наз. началом (точкой  приложения). 2 точку наз. концом.

Длина вектора АВ это расстояние от А до В. Если длина равна 0 –  нуль-вектор.

Если длина равна 1 – единичный (орт) вектор. Два геом. вектора наз. коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. Нуль-вектор каллинеарен любому вектору. 3 геом.вектора наз. компланарными, если они лежат на прямых параллельных некоторой плоскости. Компланарные вектора лежат в одной плоскости.

2 вектора наз. равными, если  они компланарные и сонаправленные, их длины равны. Суммой 2 векторов а и в будет вектор с построенный по правилу: треугольника

параллелограмма.

Если вектора а и в –  коллинеарны, то при сложении работает правило треугольника.

Линейные операции над векторами.

1.Сложение векторов коммутативно: а+в=в+а

2. Сложение векторов ассоциативно: (а+в)+с=а+(в+с)

3. Существует такой нуль-вектор, что выполняется тождество: а+0=а

4. Для любого, а сущ. в что  выполняется тождество: а+в=0; в=-а

5. Для любых векторова и в  существует такой х для которого  выполняется тождество: а+х=в

6.  Разностью двух векторов а и в наз. такой х для которого выполняется тождество х=а-в

Разность векторов можно найти  по правилу треугольника.

7. Произведение а на число  λ наз. новый вектор λа коллинеарный  вектору а с длинной /λ/^./а/ однонаправленный с вектором а, если λ›0 и противоположный направленному с а, если λ‹0.

8. Умножение вектора на числот  ассоциативно: (λμ)а=λ(μа).

9. Умножение вектора на число  дистрибутивно относительно суммы  векторов λ(а+в)=λа+λв.

10. Произведение вектора на число  дистрибутивно относительно суммы чисел (λ+μ)а=λа+аμ

Вычисление  в координатах.

Теорема 1: При сложениии2 векторов их координаты в одном и том  же базисе складываются.

При умножении вектора на число  на это число умножается каждая координата, происходит всё в одном и том  же базисе.

Теорема 2: Для того что бы 2 вектора  были колинеарны необходимо и достаточно что бы их координаты в одном и том же базисе были пропорциональны.

 

Билет № 15

Ортогональная проекция векторов

(перпендикулярная)

Пусть на плоскости задана прямая l и точка А.

Ортогональной проекцией т. А на прямую l будет т. О.

Если прямая и т. А заданы в  пространстве то ортагональной проекцией  т. А на прямую l наз. т. О- точку пересеченияпрямой с плоскостью перпендикулярной этой прямой. (рис. 1).

Для вектора /АВ/

можно построить ортогональные проекции начала и конца на прямую l. (рис 2).

А′В′ ортогональная проекция в-ра на l. Если прямой 1 задать направление, прямая будет наз. осью.

Замечание: Проекция в-ра на ось = число.

Проекция вектора на прямую = вектор.

Угол между направляющими  2 векторов наз. угол между этими  в-ми, принимает значение от 0⁰ до П.

Ортогональная проекция а  равна  направлению не нулевого в-ра 1 равна длине а умноженного на cos угла между векторами а и 1. (пр. а=/а/ cosφ)

Свойства ортогональных проекций:

1. Проекция суммы равна сумме  проекций.(пр₁(а+в)=пр₁а+пр₁в).

2. Постоянный множитель выносится  за знак проекции.

 

 

Билет №16

Линейная зависимость и независимость векторов.

Σα_τа_τ=1₁а₁+1₂а₂+...+1_na_n - линейная комбинация векторов. В-ры а₁ .... а_n будут линейно зависимы если существует такой набор коэффициентов α₁, ...  α_n, что бы выполнялось следующее условие α₁ а₁+...+ α_n а_n=0 – вектора линейно зависимые. Для того что бы в-ры были линейно зависимы необходимо и достаточно что бы один из них был линейной комбинацией других в-в.

Два в-ра линейно зависимы, если они  колинеарны.

Три вектора линейно зависимы, если они компланарны.

Четыре в-ра всегда линейно зависимы.

 

 

 

Билет №17

Понятие базиса.

а=3i+4j+5k –разложение по базису.

Выделяют три пространства:

- п-во V₁ всех коллинеарных между собой векторов (параллельны некоторой прямой);

- п-во V₂ пространство всех коллинеарных между собой в-ров (т.е парал. нек. плоскости);

- п-во V₃ – п-во всех свободных в-в.

Рассмотрим п-во V₁ – любой ненулевой в-р этого п-ва наз. базисом в V₁ . 

Любые два в-ра этого п-ва будучи коллинеарными линейно зависимы т.е. один из них может быть получен  из другого умножением на число.

Выберем и зафиксируем в  V₁ базис е₁ (любой ненулевой в-р), тогда любой произвольный в-р х этого же пр-ва может быть представлен в виде х=λ е₁ – разложение х по базису е₁. λ- координата в-ра х в этом базисе.

Рассмотрим п-во V₂ – любую упорядоченную пару неколлинеарных в-в в этом п-ве наз. - базисом.

В-р х будучи компланарно-линейно-зависимым: х=λ ₁е₁ +λ₂ е₂ – разложение в-ра в базисе.

Рассмотрим пр-во V₃ любую упорядоченную тройку некомпланарных в-в наз. базисом V₃.

Базисные в-ра и произвольно  выбранный х будут линейно  зависимы: х=λ ₁е₁ +λ₂ е₂+ λ₃ е₃

 

 

Билет №18

Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение а и в  называется число равное произведению:  аb=/а/^./b/^.cos(a^b)

(a^b)=φ

аb=(a;b)

Для того что бы два в-ра были ортогональными необходимо и достаточно, что бы их скалярное произведение было равно 0.

Следствие: Скалярное произведение ›0, если φ-острый.

   Скалярное произведение  ‹0, если φ-тупой.

Скал.произв. можно выразить через проекции: ab=/a/пр_ab; ab=/b/пр_ba.

Свойства:

1. Скалярное  произведение коммутативно: ab=ba

2. Совместно с умножение на  число скалярное произведение ассоциативно: λab=λ(ab)

3. Скалярное произведение и сложение  в-в дистрибутивно: (a+b)^.c=ac+bc

Величину аа (а на а скалярно), наз. скалярным квадратом а и  обозначается а².

Скалярный квадрат всегда положительный, и равен 0 когда а=0.

Скалярное произведение в-в в Декартовых координатах. Если базис не задан, то он считается ортонормированным.

Приложение  скалярного произведения.

1. Длина в-ра: аа=а² /а/=√х²+у²+z²

2. Расстояние между точками  : /АВ/=(x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁)

3. Условие ортогональности в-в: аb=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

4. Угол между в-ми: cos(a^b)=ab\/а/^./b/^.

5. Проекция в-ра на в-р и  на оси координат пр_ba=/a/^.cos(a^b)=/a/*ab\/a/*/b/=ab\/b/

6. Направляющие косинусы: cosα=x₁\/a/

                                                  cosβ=y₁\/а/

cosγ=z₁\/a/

7. Деление отрезка в данном  отношении: x=x₁+λx₂\1+λ

  y=y₁+λy₂\1+λ                                                   z=z₁+λz₂\1+λ

Если λ‹0, то точка М лежит  за пределами отрезка М₁М₂.

Если λ=0, то точка М совпадает  с точкой М₁.

 

                

Билет №19

Векторное произведение векторов. Свойства.

Т.к . любые 3 некомпланарных в-ра образуют в пространстве V₃ базис, то выделяют два класса базисов: правые, левые.

Векторным произведением в-в а  и в называется такой в-р с, который удовлетворяет след. усл-ям:

1. с ортогонален а и в

2. /с/=/а/*/в/*sin(a^b)

3. Упорядоченная тройка в-в является  правой, ахb=c, [a,b].

Геометрические  свойства:

1. Для того что бы 2 в-ра были  коллинеарны необходимо и достаточно, что бы векторное произведение  равнялось нуль-в-ру.

2. Если а и в неколлинеарны, то модули их векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на этих в-рах, как на смежных сторонах.

3. Если не нулевые в-ра а  и в ортогональны, то для геометр.  построения в-ра с достаточно  совместить их начала и в плоскости перпендикулярной в-ру в повернуть в-ра а на 90⁰ вокруг в по ходу часовой стрелки и умножить повернутый в-р на модуль-в-р.

4. Пусть плос-ть П перпендикулярна в, тогда векторное произведение будет равно проекции векторного произведения на плоскость П.

Алгебраические  свойства:

1. Свойство антикомутативности: ахв=-вха

2. Свойство ассоциативности совместно  с умножением на число: (λа)хв=λ(ахв)

3. Свойство дистрибутивности относительно  сложения в-в: (а+в)хс=ахс+вхс

Векторное произведение в ортонормированном базисе.

Рассмотрим правый ортонормированный  базис i, j, k. Возможны векторные произведения пар орт можно записать следующим образом: ixj=k; jxk=i;  kxi=j;  kxj=-i;  jxi=-k;  ixk=-j.

Рассмотрим в-ра а и в в  ортонормированном базисе: а(x_a,y_a,z_a), b(x_b,y_b,z_b).

Тогда имеет место разложение в-ра по базису: a=x_ai+y_aj+z_ak     b=x_bi+y_bj+z_bk

ахв=  i    j    k

          x_a  y_a  z_a

          x_b  y_b  z_b

 

 

Билет №20

Смешанное произведение векторов, его свойства.

Смешанное произведение трех в-в а,в  и с называется число равное скалярному произведению векторного произведения двух прямых в-в и третьего в-ра: а*в*с=/ахв/*с, где с – число.

Геометрический смысл: смешанное  произведение трех некомпланарных в-ров  а, в и с равно объему параллелепипеда, построенного на этих в-рах, как на ребрах выходящих из одной вершины взятых со знаком

 «+» - если тройка правая, «-»  - если тройка левая.

Свойства смещенного произведения:

1. Для смещенного произведения действует правило циклической перестановки:

(ахв)с=(вхс)а=(сха)в=-(вха)с=-(схв)а=-(ахс)в

Замечание: авс=а(вхс)=(ахв)с

2. Три в-ра компланарны, когда  их смещенное произведение равно  нулю.

3. Свойство ассоциативности умножения  смешенног7опроизведения на число:  λавс=λ(авс)

4. Свойства дистрибутивности: (а₁+а₂)вс=а₁вс+а₂вс.

Смещенное произведение в ортонормированном базисе: Пусть а, в и с заданы своими координатами в ортонормированном базисе. Для вычисления смещенного произведения воспользуемся выведенной формулой для нахождения векторного произведения: авс=а(вхс) =      x_a   y_a  z_a

x_b   y_b   z_b      

x_c   y_c   z_c

 

 

 

Билет №21

Прямые на плоскости. Алгебраические кривые 1 порядка

Ах+Ву+С=0 – линейное ур-е.

Теорема 1: Любая прямая на плоскости  представляет собой алгебраическую кривую 1 порядка, и любая алг. кривая 1 порядка на плоскости есть прямая.

Общее ур-е прямой Ах+Ву+С=0;  АВ –  координаты нормального в-ра n к прямой.

1. Если в общем ур-и С=0, прямая  имеет вид Ах+Ву =0 – это означает  что прямая проходит через  начало координат.

2. Если В=0, то ур-е имеет вид  Ах+С=0, прямая параллельна OY.

3. Если А=0, то прямая параллельна  OX.

 

Билет №22

Прямая на плоскости 

Общее ур-е прямой Ах+Ву+С=0 

С угловым коэф-том  у-у₀\х-х₀=tgα

у=Кх+в; у-у₀=К(х-х₀) К=-А\В

Ур-е прямой на плоскости 

х=х₀+tl      параметрическое

у=у₀+tm    уравнение

Векторное r=r₀+tp

Каноническое х-х₀\l=у-у₀\m

Через 2 точки  х-х₁\х₂-х₁=у-у₁\у₂-у₁

В отрезках х\а+у\в=1

Нормальное x*cosα+y*cosβ-p=0

Ах+Ву+С\±√А²+В²=0

Угол между прямыми через 

угловой коэф-т tgα=К₁+К₂\1+К₂*К₁

 

 

Билет №23

Угол между  двумя прямыми.

Фиксируем на плоскости прямоугольную систему координат. Две прямые на плоскости могут быть параллельны или могут пересекаться, как ведут себя прямые можно установить анализируя ур-я этих прямых.

Ax+By+C=0 – общее ур-е прямой.

1. Для параллельных прямых необходимо  и достаточно что бы были коллинеарны их нормальные в-ра.

2. Для ортогональных прямых необходимо  и достаточно что бы скалярное  произведение в-в было равно  0.

А₁А₂+В₁В₂=0 – условие ортогональности двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности можно записать через угловые коэффициенты: К=-А\В

а) К₁=К₂ – условие параллельности.

б) К₁К₂=-1 – условие перпендикулярности.

3. Две прямые пересекаясь образуют  смежные углы. Один из этих  углов совпадает с углом  между нормалями прямых.  cos α= А₁А₂+В₁В₂\√А₁²+В₁^2.√А₂²+В₂²

Угол между прямыми через  угловой коэффициент: tg α=К₁+К₂\1+К₂К₁

Расстояние  от точки до прямой:

Р=[Ax+By+C\±√A²+B²]

 

 

Билет №24

Плоскость в  пространстве

Общее ур-е Ах+Ву+Сz+D=0

Векторное: n(r-r₀)=0;

r-радиус-в-р, n-ненулевой в-р

Параметрическое: r=r₀+t₁e₁+t₂e₂

Через 3 точки:

     x-x₁   y-y₁   z-z₁

     x₂-x₁  y₂-y₁ z₂-z₁    =0

     x₃-x₁  y₃-y₁  z₃-z₁

Нормальное:

Ах+Ву+Сz+D\±√А²+В²+C²=0

В отрезках х\а+у\в+z\c=1

Угол между плоскостями:

cosφ=n₁*n₂\[n₁]*[n₂]

Алгебраические  поверхности 1 порядка.

Теорема: Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1 порядка и любая пов-ть 1 порядка является плоскостью.

 

Билет №25

Плоскость в  пространстве

Общее ур-е Ах+Ву+Сz+D=0

Векторное: n(r-r₀)=0;

r-радиус-в-р, n-ненулевой в-р

Параметрическое: r=r₀+t₁e₁+t₂e₂

Через 3 точки:

     x-x₁   y-y₁   z-z₁

     x₂-x₁  y₂-y₁ z₂-z₁    =0

     x₃-x₁  y₃-y₁  z₃-z₁

Нормальное:

Ах+Ву+Сz+D\±√А²+В²+C²=0

В отрезках х\а+у\в+z\c=1

Угол между  плоскостями:

cosφ=n₁*n₂\[n₁]*[n₂]

 

Билет №26

Прямая в пространстве

Общее ур-е: А1х+В1у+С1z+D1=0 

                     А2х+В2у+С2z+D2=0

Векторное: r=r₀+tS; S-рапр. вектор

Каноническое: х-х₀\l=у-у₀\m=z-z₀\n

Через 2 точки: 

х-х₁\х₂-х₁=у-у₁\у₂-у₁₌z-z₁\z₂-z₁

х=х₀+tl      параметрическое

у=у₀+tm    уравнение

z=z₀+nt

 

Билет №27

Угол между  прямыми в пространстве.

Острый угол между 2 прямыми равен  углу между их направляющими: cosφ=1₁1₂+m₁m₂+n₁n₂\√1₁²+m₁²+n₁²√1₂²+m₂²+n₂²

Для двух прямых в пространстве возможны случаи:

1) Прямые параллельны (не совпадают)

1₁\1₂=m₁\m₂=n₁\n₂

2) Прямые совпадают, то направляющим в-ром будет  параллелен и в-р М₁М₂, т.е М₂будет принадлежать пространству 1₁: х₂-х₁\1₁=у₂-у₁\m₁=z₂-z₁\n₁

3) Пересекаются, то направляю-щие в-ры не коллинеарны и условие 1) нарушено.