Контрольная работа по "Математике". 10

Задача 1. Расстояние между точками А и В равно 270 м. Из А в В равномерно движется тело, достигнув В, оно сразу же возвращается назад с той же скоростью. Второе тело, выходящее из В в А через 11 с после выхода первого из А, движется равномерно, но медленнее. На пути от В к А оно встречается с первым дважды: через 10 и 40 с после своего выхода из В. Найти скорость движения каждого тела.

Решение. Удобная модель задачи — график равномерного движения в системе координат «путь» (s — в метрах), «время» (I — в секундах). Пусть АС — график движения из А в В  со скоростью V1 =tg a (ось времени At);  CD — график движения из В в А того же тела с той же скоростью v1 =tg a (ось времени Bt); EF — график движения из В в А со скоростью V2 = tg b, b<a (ось времени Bt). Промежуток времени АЕ—11, промежуток времени до первой встречи ЕН= 10, между первой и второй встречами HK = 30; тогда NM=21v₁, НМ = 10v₂,

  KF = 40v2, NM+HM=AB=Z70, т. е.

  21v1 + 10v₂=270. (*)

  Промежуток  времени HC=HM/v₂=10v₂/v₁; промежуток времени СК = KF/v1 =40v/v₁. Так как НС+СК=30, то 10v₂/v₁+40v₂/v₁ =30, откуда

      5v2 = 3v₁                                    (**)

  Решая совместно  уравнения (*) и (**), находим v₁ = 10 м/с, v₂=6 м

Задача 2. Из А в В вышла машина с почтой. Через 20 мин по тому же маршруту вышла вторая машина, скорость которой 45 км/ч. Догнав первую машину, шофер передал пакет и немедленно поехал обратно с той же скоростью (время, затраченное на остановку и разворот, не учитывается). В тот момент, когда первая машина прибыла в В, вторая достигла лишь середины пути от места встречи ее с первой машиной до пункта А. Найти скорость первой машины, если расстояние между А и В равно 40 км. 

 Решение. Рассмотрим систему координат «путь» (s - в километрах), «время» (t - в часах). Пусть АС— график движения первой машины с искомой скоростью v = tg a ; DE и EF — график движения «туда — обратно» второй маши­ны со скоростью tg b = 45;  AD= 1/3. Известно, что АВ = 40 и G — середина пути АН. Пусть AG=NK=y. Тогда промежуток времени DK=y/tg b=y/45. Геомет­рически ясно, что DK= KL = LM, поэтому промежуток времени движения первой машины

(*)

Промежуток  времени                 , LE = AH = 2y, поэтому

      (**) 

Решая совместно уравнения (*) и (**), находим у=5 км и v = 30 км/ч.

                                            

Задача 3. Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли одновременно два поезда. Каждый из них двигался сначала равноускоренно (начальные скорости поездов равны нулю, ускорения различны), а затем, достигнув некоторой скорости, — равномерно. Отношения скоростей равномерного движения поездов равно 5/4. В некоторый момент времени скорости поездов оказалось равными, а один из них прошел к этому времени, расстояние в 5 /4 раза больше, чем другой. В пункты В и А поезда прибыли одновременно. Какую часть пути прошел каждый из поездов к тому моменту, когда их скорости оказались равными?  

Решение. Рассмотрим графики, изображающие зависимость скорости от времени для каждого поезда. При этом можно считать, что оба поезда вышли из одного пункта. Для одного поезда графиком является ломаная ОКМ, для другого — ОКIМI (см. рисунок).                                         

Длина пройденного пути к определенному моменту времени одним из поездов равна площади фигуры, ограниченной снизу отрезком оси t и соответствующей частью графика его скорости сверху. По условию площади трапеции ОКМN и ОК1M1N равны, значит, равновелики и фигуры ОКР и РК1М1М . Площадь ОКРL равна 5/4 площади ОРL (по условию). Если площадь OPL равна 1, то площадь ОКР есть 1/4; площадь РК1Т равна1/16,  поскольку К1Т = 1/4РL (по условию отношение скоростей равномерного движения равно 5/ 4, т. е. М1N = 5/4РL, ), а треугольники ОРL и РК1Т подобны. Далее из равновеликости ОКР и РК1М1М находим площадь прямоугольника ТК1М1М. Она равна 3/16. Затем находим площади двух оставшихся прямоугольников. Весь путь (он равен площади ОКМN или ОК1M1N ) равен 2 ½,поскольку площади трапеции ОКРL и треугольника ОРL соответственно равны 5/4 и1, то в момент равенства скоростей (точка Р) один поезд прошел1/2 пути, а другой — 2/5.  

Задача  4. Тело, двигаясь на плоскости с постоянной по величине скоростью, за время описывает траекторию, равную половине окружности радиуса R (рис. 1). Определить перемещение и вектор средней скорости тела за это время. Как отличается средняя скорость от мгновенной скорости? 

Решение: Пусть и – радиус-векторы, проведенные в начало и конец траектории. По определению перемещением является вектор . Модуль перемещения . Вектор средней скорости совпадает по направлению с отрезком и равен по величине .

Мгновенная скорость в каждый момент времени направлена по касательной к траектории (окружности) и равна численно  средней  скорости движения , где – путь, пройденный точкой за интервал времени :

.

Как видно, величины средней скорости перемещения и средней  скорости движения  отличаются. 

Задача  5. Тело движется прямолинейно вдоль оси 0X. На графике показана зависимость координаты тела х от времени t. Чему равна средняя скорость движения тела на всем пути, пройденном за 2 с.

Решение:

Средняя скорость движения .При прямолинейном однонаправленном движении м – путь, пройденный точкой за интервал времени с. Тогда . 

Задача  6. Два автомобиля одновременно выезжают из городов А и В, расстояние между которыми равно l, и движутся равномерно и прямолинейно по трассе со скоростями и навстречу друг другу. Через какое время t и на каком расстоянии s от города А они встретятся? 

Решение:

В этой задаче удобно выбрать в качестве тела отсчета Землю.

Направим  ось абсцисс по линии, соединяющей города А и В, в сторону города В, а начало отсчета поместим в точку А (рис. 3).  Условимся отсчитывать время от общего для обоих автомобилей момента начала движения. Тогда уравнения движения автомобилей,( которые мы примем за материальные точки), будут иметь вид

     и     ,

где и – координаты автомобилей в произвольный момент времени; , – начальные координаты автомобилей.

      В точке С, в которой автомобили встретятся, координаты их будут одинаковыми: = . Тогда

                                ,          .

Место встречи автомобилей находится  на расстоянии или от города А, т.е.  . 

Задача 7. В течение какого времени скорый поезд длиной , идущий со скоростью , будет проходить мимо встречного товарного поезда длиной , идущего со скоростью ?

Решение:

   Началом встречи скорого и встречного товарного поездов следует считать тот момент времени , в который координаты начал этих поездов одинаковы. Окончанием же встречи будем считать момент времени t, в который равны координаты их концов.

  Свяжем  систему отсчета с одним из движущихся поездов, например, с товарным. Направим ось в сторону движения скорого поезда, а начало координат совместим с концом товарного поезда (рис. 4). Очевидно, скорость скорого поезда относительно встречного товарного

          .

  Тогда, если за начальный момент времени принять начало встречи, то закон движения конца скорого поезда  , где – начальная координата. Знак минус перед ней стоит потому, что отсчитывается влево от начала координат. В момент завершения обгона конец скорого поезда будет вначале выбранной системы координат, т.е. . Тогда для этого момента времени

                         ,  . 
 

Задача 8. Найти среднюю скорость тела в двух случаях:

а) первую четверть времени оно двигалось со скоростью  , оставшееся время – со скоростью ;

б) первую четверть пути оно двигалось со скоростью , оставшуюся часть пути – со скоростью . 

Решение:

      Средняя  скорость движения:      ,                         (1)

где s – весь пройденный путь, t – все время движения.

Случай  а) Весь пройденный путь состоит из двух участков: , где , – участки пути, пройденные телом за первую четверть времени и за оставшиеся три четверти времени соответственно. Следовательно, . Подставляя это выражение в (1), получим

                                     .

Случай  б) Все время движения состоит из времени прохождения первой четверти пути и времени прохождения оставшейся части пути, т.е. , откуда   .

Значит, . Подставляя это выражение в (1), получим

                       . 
 

Задача 9. Вдоль наклонной доски пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии l от начала пути шарик побывал дважды: через время и время после начала движения. Считая движение равнопеременным, определить его начальную скорость , ускорение и максимальное расстояние , на которое шарик может откатиться вверх. 

Решение:  

Если наклонную  доску выбрать в качестве  тела отсчета, а ось абсцисс выбрать так, как показано на рис. 5, то зависимость координаты х шарика от времени записывается следующим образом: , где . При имеем квадратное уравнение

          ,                                  (1)

корнями которого являются заданные значения и . Придадим уравнению (1) вид приведенного квадратного уравнения:

            .                       (2)

Тогда в соответствии с теоремой Виета

            и   .Из этих уравнений находим

,              .

  Шарик, двигаясь вверх, совершает равнозамедленное движение, следовательно, , в самой верхней точке его траектории скорость равна нулю . Тогда максимальное расстояние , на которое шарик может откатиться вверх, равно

                           . 

Задача 10. Пуля, летящая со скоростью , попадает в деревянную преграду и проникает в нее на глубину . Найти ускорение а и время движения пули t внутри преграды. Какова была ее скорость на глубине ? На какой глубине скорость пули уменьшилась в п раз?  

Решение:

      Ось абсцисс направляем вдоль движения пули, а началом отсчета будем считать точку соприкосновения пули с преградой (рис. 6). Движение пули внутри преграды является равнозамедленным, поэтому .

  Уравнения движения пули в проекции на ось 0Х:

                           ,                                                                   (1)

                                 .                                                                          (2)

Так как  пуля движется вдоль прямой в одном  направлении, то ее координата х и пройденный путь l равны в любой момент времени, если начальная координата пули  .

Тогда  уравнение (1) запишется так:

                                .                                                                    (3)

В конце  пути l скорость пули , поэтому уравнение (2) перепишется в виде

                                   .                                                                       (4)

      Решая совместно уравнения (3) и (4), находим 

                             ,                  .

      Для нахождения скорости пули на глубине воспользуемся следующей формулой для равнозамедленного движения:

              ,      откуда    .

  Для глубины  , на которой начальная скорость пули уменьшилась в п раз, т.е. , получим

                             .

Задача 11. Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью .

Найти:

а) уравнение траектории движения тела;

б) максимальную высоту подъема тела;

в) время движения;

г) дальность полета;

д) величину и направление  конечной скорости тела, если начальное и  конечное положение  тела находятся на одной горизонтали; 

 
 

  Решение:

Начало системы  координат XOY свяжем с положением тела в начальный момент времени. Тогда начальные радиус-вектор и координаты его будут равны нулю ( , , ). Направим оси системы координат как показано на чертеже. Поскольку вектора ускорения и скорости направлены под углом друг к другу, то движение будет происходить по криволинейной траектории.

Закон движения тела в векторной форме в этом случае запишем как:

                                     (1)               Представим данное движение как суперпозицию двух простых движений по осям ОХ и ОY. Для этого разложим вектор начальной скорости и ускорение на две составляющие:     

        Проектируя  уравнение (1) на оси ОХ и ОY,  видим, что в направлении ОХ тело движется равномерно и прямолинейно, т.к. в этом направлении проекции ускорения свободного падения . Законом движения тела по ОХ будет уравнение    , где – проекция начальной скорости на ось ОХ. 

  Тогда         (2)  

  В направлении  OY тело совершает равнопеременное движение с начальной скоростью и ускорением . Уравнение движения тела по OY будет иметь вид

,

где – проекция начальной скорости на ось OY.

Следовательно,

            (3)   

а) Найдем уравнение  траектории движения – зависимость . Для этого из (2) выразим время:  , и подставим его в (3).

  . 

Получим                  

Окончательно:

т.к. зависимость  – квадратичная, то траектория движения – парабола. 

б) Для максимальной точки подъема тело совершает  по OY равнозамедленное движение. Значит,

где – время движения тела до .

Зная, что в точке скорость тела по OY ( ) равна нулю, найдем это время подъема:

 (5)

Подставляя (5) с (4) получим

 (6)

в) Полное время  полета t найдем из уравнения (3). Т.к. конечная координата тела по OY равна нулю, то

 (7)  

г) Под дальностью полета ( ) следует понимать путь, пройденный телом по горизонтали за полное время движения.

Из уравнения (1)            

Используя (7), получим                     

Конечная скорость  ( ) равна     . 

       Из теоремы Пифагора: ,

где и – проекции мгновенной скорости на соответствующей оси. Так как:

 и 

то   

у) Найти направление  вектора, значит, определить величину угла между этим вектором и горизонталью. Таким углом является угол .

Из чертежа:          , 

Ответ:

а) ;     б) ;

в) ;  г) ; д) ; е)

Примечание:

Полученные  уравнения движения (1) – (3) могут  быть применены и к другим частным  случаям движения тела вблизи поверхности  Земли.

В системе  координат, связанной с Землей, уравнения  движения:

 а) тела, брошенного горизонтально на  высоте  над землей с начальной скоростью

      

 

б) тела, брошенного вертикально вверх

в) свободно падающего тела

 

 

Задача 12.Вагон движется равномерно с постоянной скоростью 54 км/ч относительно железно дороги. Найти все кинематические характеристики точки обода колеса, имеющего радиус 30 см., если между колесом и рельсом нет проскальзывания.  

Решение:

Переходим в  подвижную систему отсчета, связанную  с центром колеса вагона. Скорость равномерного движения

                                                                             (1).

 За время  равное периоду, точка пройдет путь равный длине окружности обода колеса. Тогда формула (1) примет вид:

   Частота вращения        

Угловую скорость и центростремительное ускорение  находим по формулам:       .            

Проверка размерности:  ; ;

Расчет:  ; ; ;                                    

Ответы:

 период  вращения точки обода колеса 0,125 с.; частота вращения 8 с^-1; угловая скорость 50 рад/с; центростремительное ускорение 750 м/с².

Задача 13. В направлении от А к в автомобиль ехал некоторое время с постоянной скоростью v1 = 60 км/ч. Остальную часть пути он проехал за такое же время, но со скоростью v2 =40 км/ч. В противоположном направлении автомобиль ехал одну половину пути со скоростью v3= 80 км/ч, а другую половину — со скоростью v4=45 км/ч/ Какова средняя скорость рейса:  а) из А в В? б) из В в А?

Решение:

а) Так как автомобиль в течение одинаковых промежутков времени ехал с каждой из указанных скоростей, то

б) Обратный рейс состоит из двух равных частей пути (предположим, что каждая из них равна s. км), которые пройдены автомобилем в разные промежутки времени; поэтому было бы неверно считать, что

Пусть автомобиль ехал x часов со скоростью v3 и y часов со скоростью v4. Тогда v3x =v4y=s, откуда

Следовательно, средняя скорость

Ответ: а) 50 км/ч; б) 57,6 км/ч. 

Задача 14. Два джентльмена одновременно отправились на прогулку по аллее длиной 100 метров. Мистер Смит за час проходит 1 км, мистер Джонс идёт помедленнее - всего 600 метров в час. Дойдя до конца аллеи, каждый поворачивает и с прежней скоростью идёт обратно. Встречаясь, они каждый раз раскланиваются. Сколько раз они раскланиваются на протяжении первых 25 минут? Сколько времени из этих 25 минут они шли в одном направлении?  
 
 
 
 
 
 
 

    Vc=1000/60=100/6 м/мин

     Tc=100/(100/6)=6 мин

VД= 600/60=10 м/мин

     TД  =100=10 мин 
 
 

Задача 14. Из Астаны(В) в Алматы(А) в 5ч 30мин вылетел самолет. В 8ч 30мин из А в В вылетел вертолет. Скорость самолета и вертолета на всем пути постоянные и они летят по одной трассе. После их встречи вертолет прибыл в В через 9ч, а самолет  А через 2ч. Найти время прибытия самолета в город А.