Контрольная работа по "Математике". 78

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу: «МАТЕМАТИКА»

 

 

 

Вариант: №8.

 

 

 

Пермь 2012 г.

 

Оглавление

Задание №1…………………………………………………….…………………3

Задание №2……………………………..………………………………………...3

Задание №3……………………………..………………………………………...5

Задание №4……………………………..………………………………………...6

Задание №5……………………………..………………………………………...6

 

 

 

Задание №1

 

Решение:

 

Задание №2

Решение методом Гаусса:

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	1
4	2	1	2

 

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0	1	2	3
2	3	4	5
3	4	5	1
4	2	1	2

 

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой

0	1	2	3
0	1	2	13
3	4	5	1
4	2	1	2

 

Умножим 3-ую строку на (4). Умножим 4-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой

0	1	2	3
0	1	2	13
0	10	17	-2
4	2	1	2

 

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0	0	0	-10
0	1	2	13
0	10	17	-2
4	2	1	2

 

Умножим 2-ую строку на (10). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой

 

0	0	0	-10
0	0	3	132
0	10	17	-2
4	2	1	2

Определитель матрицы detA = (-1)⁴•(-10) • 3 • 10 • 4 / 240 = -5 
где z = (2) • (3) • (4) • (10) = 240 - произведение чисел, на которые умножали строки матрицы при приведении к треугольному виду.

 

Задание №3

Решение: Находим определитель матрицы:

 ∆=2•(2•3-1•4)-3•(1•3-1•4)+2•(1•4-2•4)=-1

Вычисляем алгебраические дополнения:

∆_1,1=(2•3-4•1)=2

∆_1,2=-(1•3-4•1)=1

∆_1,3=(1•4-4•2)=-4

∆_2,1=-(3•3-4•2)=-1

∆_2,2=(2•3-4•2)=-2

∆_2,3=-(2•4-4•3)=4

∆_3,1=(3•1-2•2)=-1

∆_3,2=-(2•1-1•2)=0

∆_3,3=(2•2-1•3)=1

Обратная матрица имеет  вид:

Проверка:

 

Задание №4

Решение:

Решим данную систему  методом Крамера:

Тогда

 

Задание №5

Решение первой системы:

 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	1	2	-1	7
1	-1	-2	1	-4
-3	0	1	2	-5
4	-3	2	1	3

 

Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	1	2	-1	7
0	-3	-5	5	-17
-3	0	1	2	-5
4	-3	2	1	3

 

Умножим 3-ую строку на (4). Умножим 4-ую строку на (3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	1	2	-1	7
0	-3	-5	5	-17
0	-9	10	11	-11
4	-3	2	1	3

 

Умножим 1-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	1	2	4
0	-3	-5	5	-17
0	-9	10	11	-11
4	-3	2	1	3

 

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	1	2	4
0	0	-25	4	-40
0	-9	10	11	-11
4	-3	2	1	3

 

Умножим 1-ую строку на (25). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0	54	60
0	0	-25	4	-40
0	-9	10	11	-11
4	-3	2	1	3

Из 1-ой строки выражаем x₄ 
x₄ = ⁶⁰/₅₄ = 1.11 
Из 2-ой строки выражаем x₃ 
x₃ = ^-44.44/_-25 = 1.78 
Из 3-ой строки выражаем x₂ 
x₂ = ^-41/_-9 = 4.56 
Из 4-ой строки выражаем x₁ 
x₁ = ¹²/₄ = 3

 

 

Решение второй системы:

 

2	1	3	1	5
2	1	-6	-1	-1
4	2	-2	0	-6
3	-1	1	5	-2

 

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	9	2	6
2	1	-6	-1	-1
4	2	-2	0	-6
3	-1	1	5	-2

 

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	9	2	6
0	0	-10	-2	4
4	2	-2	0	-6
3	-1	1	5	-2

 

Умножим 3-ую строку на (3). Умножим 4-ую строку на (-4). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	9	2	6
0	0	-10	-2	4
0	10	-10	-20	-10
3	-1	1	5	-2

 

 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	0	9	2	6
0	0	-10	-2	4
0	10	-10	-20	-10
3	-1	1	5	-2

 

Умножим 1-ую строку на (10). Умножим 2-ую строку на (9). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0	2	96
0	0	-10	-2	4
0	10	-10	-20	-10
3	-1	1	5	-2

Из 1-ой строки выражаем x₄ 
x₄ = ⁹⁶/₂ = 48 
Из 2-ой строки выражаем x₃ 
x₃ = ¹⁰⁰/_-10 = -10 
Из 3-ой строки выражаем x₂ 
x₂ = ⁸⁵⁰/₁₀ = 85 
Из 4-ой строки выражаем x₁ 
x₁ = ^-147/₃ = -49

 

Решение третьей  системы:

1	2	0	3	4
-5	-3	1	-1	3
-3	1	2	2	12
6	5	-1	4	-6

 

Умножим 1-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	7	1	14	23
-5	-3	1	-1	3
-3	1	2	2	12
6	5	-1	4	-6

 

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-5). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	7	1	14	23
0	-14	-7	-13	-51
-3	1	2	2	12
6	5	-1	4	-6

 

Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	7	1	14	23
0	-14	-7	-13	-51
0	7	3	8	18
6	5	-1	4	-6

 

Умножим 1-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	-5	15	-5
0	-14	-7	-13	-51
0	7	3	8	18
6	5	-1	4	-6

 

Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

 

0	0	-5	15	-5
0	0	-1	3	-15
0	7	3	8	18
6	5	-1	4	-6

 

Умножим 2-ую строку на (-5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0	0	70
0	0	-1	3	-15
0	7	3	8	18
6	5	-1	4	-6

 

1-ая строка является линейной  комбинацией других строк. Необходимо переменную x₄ принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные. Приравняем переменную x₄ = С, тогда

Общее решение: