Контрольная работа по "Методам оптимальных решений". 13

Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального  образования

 

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы  оптимальных решений

 

Контрольная работа 

 

 

Вариант 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил  студент: ИстоминаА.А.

Группа: 1,2поток

Номер зачетной книжки: 11флд10935

Преподаватель:Васильев В.Б.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Липецк 2013

Содержание

1. Методы управления запасами………………………………....3
2. Задача 2……………………………………………………….....9
3. Задача 3………………………………………………………...13
4. Задача 4………………………………………………………...14
5. Задача 5………………………………………………………...19
6. Список используемой литературы…………………………...22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Методы управления запасами

Управление запасами – это сложная  ступень их нормирования, предусматривающая  активное изменение всех факторов, влияющих на образование запасов. Управление запасами заключается в установлении той или иной периодичности поставок, их объемов, регулярности и наилучших  сроков выполнения. Совокупность правил, по которым принимаются эти решения, называют системой управления запасами.

Основные  системы регулирования запасов:

Система с фиксированным размером заказа. Это наиболее распространенная система, в которой размер заказа напополнение запасов — постоянная величина, а поставка очередной партии товара осуществляется при уменьшении наличных запасов до определенного критического уровня, называемого точкой заказа. Поэтому регулирующими параметрами системы с фиксированным размером заказа являются:

1) точка заказа, т.е. фиксированный уровень запаса, приснижении до которого организуется  заготовка очереднойпартии товара,

2) размер  заказа, т.е. величина партии поставки.Данную  систему часто называют «двух бункерной»,так как запас хранится как бы в двух бункерах: в первом бункере для удовлетворения спроса в течение периода между фактическим пополнением запаса и датой следующего ближайшего заказа, а во втором — для удовлетворенияспроса в течение периода от момента подачи заказа до поступленияочередной партии товара, т.е. во втором бункерехранится запас на уровне точки заказа.

Система с фиксированной периодичностью заказа. При этой системе заказы на очередную поставку товарного запаса повторяются через равные промежутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и исходя из этого определяется размер заказываемой партии; при этом запас пополняется каждый раз до определенного уровня, непревышающего максимальный запас. Таким образом, регулирующие параметры этой системы:

1) максимальный  уровеньзапасов, до которого осуществляется  их пополнение.

2) продолжительность  периода повторения заказов. Системас  фиксированной периодичностью заказа  эффективна, когдаимеется возможность  пополнять запас в различных  размерах,причем затраты на оформление  заказа любого размераневелики.  Одним из достоинств этой системы  можно считать возможность периодической проверки остатков на складе и отсутствие необходимости вести систематический учет движенияостатков. К недостаткам системы относится то, чтоона не исключает возможность нехватки товарных запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов ис фиксированной периодичностью заказа. В этой системе допустимый уровень запасов регламентируется как сверху, так и снизу. Кроме максимального верхнего уровня запаса устанавливается нижний уровень (точка заказа). Если размер запаса снижается до нижнего уровня еще до наступления фиксированного времени пополнения запаса, то делаетсявнеочередной заказ. В остальных случаях система функционирует как система с фиксированной периодичностьюзаказа. В данной системе имеется три регулирующих параметра:1) максимальный уровень запаса,

2) нижний  уровень запаса (точка заказа)

3) длительность  периода между заказами. Первые два параметра постоянны, третий — частичнопеременный.

Недостатком системы является то, что пополнение запасов до максимального уровня не может производиться независимо от фактического расходования запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасовбез постоянной периодичности  заказа, или (s, &)-стратегияуправления  запасами. Эту систему называют также (S-s)-системой, или системой «максимум-минимум». Рассмотрим (s, 5)-стратегию управления запасами более подробно. Она устраняет недостаток предыдущей системы и является еемодификацией. В этой системе — два регулирующих параметра:

1) нижний (критический) уровень запаса s

2) верхнийуровень  запаса S.Если через х обозначить величину запасов до принятиярешения о их пополнении, через р— величину пополнения,а через у = х + р — величину запасов после пополнения, то(s, 5)-стратегия управления запасами задается функцией

т.е. пополнения не происходит, если имеющийся уровень  запасовбольше критического уровня s; если имеющийся уровеньменьше или равен s, то принимается решение о пополнениизапаса обязательно до верхнего уровня S, так что величинапополнения равна р= S - х.

Саморегулирующиеся системы. Рассмотренные выше системы регулирования запасов предполагают относительную неизменность условий их функционирования. На практикетакое постоянство условий встречается редко, что вызвано изменениями потребности в товарных запасах, условиямиих поставки и.т.д. В связи с этим возникает необходимость создания комбинированных систем с возможностью саморегулирования. Создаются системы с изменяющимися периодичностью и размером заказов, учитывающие стохастические (недетерминированные)условия. В каждой такой системе устанавливаетсяопределенная целевая функция, служащая критерием оптимальности функционирования системы, в рамках соответствующей экономико-математической модели управлениязапасами.

В качестве целевой функции в  моделях управления запасами чаще всего используется минимум затрат, связанныхс заготовкой и хранением запасов, а также потери от дефицита. Пример подобной целевой функции в общем виде рассмотрен выше при изучении классической задачи управлениязапасами.

Одним из элементов целевой функции  при построении саморегулирующихся систем управления запасами являются затраты, связанные с организацией заказа и его реализацией,начиная с поиска поставщика и кончая оплатой всехуслуг по доставке товарных запасов на склад.

Другой элемент целевой функции  — затраты, связанныес хранением запаса. При расчетах на основе экономико-математических моделей управления запасами обычно пользуютсяудельной величиной издержек хранения, равной издержкамна единицу хранимого товара в единицу времени.При этом предполагают, что издержки хранения за календарныйпериод пропорциональны размеру запасов и длительностипериода между заказами и обратно пропорциональны количествузаказов за этот период.

Наконец, третьим элементом рассматриваемой  целевойфункции являются потери из-за дефицита, когда снабженческо-сбытовая организация несет материальную ответственностьза неудовлетворение потребности потребителей из-за отсутствиязапасов.

Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий

Рассмотрим работу склада, на котором  хранятся товарныезапасы, расходуемые  на снабжение потребителей. Работареального  склада сопровождается множеством отклоненийот идеального режима: заказана партия одного объема,а прибыла партия с другим объемом; по плану партиядолжна прибыть  через две недели, а она пришла черездесять дней; при норме разгрузки  одни сутки разгрузка партиидлилась  трое суток и т. д. Учесть все эти  отклоненияпрактически невозможно, поэтому при моделировании работысклада обычно делаются следующие предположения:

• скорость расходования запасов  со склада — постояннаявеличина, которую  обозначим М (единиц товарных запасовв единицу времени); в соответствии с этим графикизменения величины запасов в части расходования являетсяотрезком прямой;

• объем партии пополнения Q есть постоянная величина,так что система управления запасами — это система сфиксированным размером заказа;

• время разгрузки прибывшей  партии пополнения запасовмало, будем  считать его равным нулю;

• время от принятия решения о  пополнении до прихода заказаннойпартии есть постоянная величина At, так чтоможно считать, что заказанная партия приходит как бымгновенно: если нужно, чтобы она пришла точно в определенныймомент, то ее следует заказать в момент временина Atранее;

• на складе не происходит систематического накопленияили перерасхода запасов. Если черезТобозначить времямежду двумя последовательными поставками, то обязательновыполнение равенства: Q = МТ. Из сказанноговыше следует, что работа склада происходит одинаковымициклами длительностьюТ, и за время цикла величиназапаса изменяется от максимального уровня S до минимальногоуровня s;

• наконец, будем считать обязательным выполнение требования,чтобы отсутствие запасов на складе было недопустимым,т.е. выполняется неравенство s >0. С точкизрения уменьшения издержек склада на хранение отсюдавытекает, что s = 0 и, следовательно, S = Q.

Окончательно график «идеальной»  работы склада в формезависимости величины запасов уот времени t будетиметь вид, представленный на рис. 1

Рис. 1

При изменяющейся величине хранящихся запасов издержкихранения за некоторое времяТполучают путем умножениявеличины hи Т на среднее значение величины запасовв течение этого времени Т. Таким образом, затратысклада за время Т при размере партии пополнения Q в случаеидеального режима работы склада, представленного на рис. 1, равны

После деления  этой функции на постоянную величинуТс учетом равенства Q = МТ получим выражение для величинызатрат на пополнение и хранение запасов, приходящихсяна единицу времени:

Это и будет целевой функцией, минимизация которойпозволит указать  оптимальный режим работы склада.

Найдем объем заказываемой партии Q, при которомминимизируется функция средних затрат склада за единицувремени, т.е. функция Z₁(Q). На практике Q часто принимаютдискретные значения, в частности, из-за использованиятранспортных средств определенной грузоподъемности; вэтом случае оптимальное значение Q находят перебором допустимых значений Q. Мы будем считать, что ограниченийна принимаемые значения Q нет, тогда задачу на минимумфункции Z₁{Q) (легко показать, что она является выпуклой,см. рис. 2) можно решить методами дифференциальногоисчисления:

откуда  находим точку минимума Q :

(1.1)

Эта формула называется формулой Уилсона.

Оптимальный размер партии, рассчитываемый по формулеУилсона, обладает характеристическим свойством:размер партии Q оптимален тогда и только тогда, когда издержкихранения за время циклаТравны накладнымрасходам К.

Действительно, если , то издержки храненияза цикл равны

Если  же издержки хранения за цикл равны  накладнымрасходам, т.е.

то

Используя формулу Уилсона (1.1), в сделанных ранеепредположениях об идеальной работе склада можно получитьряд расчетных характеристик работы склада в оптимальномрежиме:

оптимальный средний уровень запаса

оптимальная периодичность пополнения запасов

оптимальные средние издержки хранения запасов в единицувремени

Задание 2.Решить графическим  методом типовую задачу оптимизации. Осуществить проверку правильности решения с помощью средств  MSExcel (надстройки Поиск решения).

2.5. Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производствакрасок используются два исходных продуктаАи В. Максимальновозможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 т соответственно. Расходы продуктовАи В на 1 т соответствующихкрасок приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов  на тонну краски, т		Максимально возможный запас, т
	Краска E	Краска I
А	1	2	6
В	2	1	8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краскуI никогда не превышает спроса на краскуЕболее чем на 1 т. Крометого, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 тв сутки. Оптовые цены: краскиЕ– 3000 ден. ед./т, краски I – 2000ден. ед./т.

? Определите, какое количество краски каждого вида должнапроизводить фирма, чтобы доход от реализации продукции былмаксимальным.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

 Решение: 

Экономико-математическая модель задачи

Переменные: х₁– краска E; х₂ – краска I.

Целевая функция:

F(Х) = 3000х₁+2000х₂→max

Ограничения:

 

 

По экономическому смыслу задачи х_1-2³ 0.

 

Задача линейного программирования имеет вид:

F(Х) = 3000х₁+2000х₂→max

 

x_{2 2}

х_1-2³ 0

 

Графический метод.

x₂

         ₈

 

 

         ₃

         ₂

    B₁

A₁C₄₆x₁

Рис. 1

Первое  ограничение имеет вид х₁₊2х₂≤6. Найдем пересечение с осями координат. Прямая х₁+2х₂=6 проходит через точки (6;3).  Второе ограничение имеет вид 2х₁+х₂≤ 8. Прямая 2х₁+х₂=8 проходит через точки (4;8).Третье ограничение имеет вид _{. Прямая}х₂-х₁=1 проходит через точки (1;1).Четвертое ограничение имеет вид _{. Прямая} х₂=2 проходит через точки (0;2).

Экстремум искомой функции обязательно  находится на границе многоугольника допустимых решений, более того он должен находится в одной из вершин этого  многоугольника. Следовательно, это  многоугольник с точками А(0;0), В(0;1), С(1;0). Найдем значения целевой функции в этих точках.

F(А) = 3000*0+2000*0=0

F(В) = 3000*0+2000*1=2000

F(С) = 3000*1+2000*0=3000

Выбираем  максимальное значение F(C) = 3000.

Ответ: для  того чтобы получить максимальный доход от реализации продукции при заданных ограничениях следует производить 1 т краски Eи 0 т краски I.

Проверка правильности решения с помощью средств  MSExcel.

1. Введение исходных данных (рис.1).

Рис.1. данные введены.

2. Введем зависимость для целевой функции (рис.2).

Рис.2. введена  зависимость для целевой функции.

3. Запустим команду поиск решения (рис.3).

Рис.3. Введены все условия задачи.

4. Найдем решение. После нажатия кнопкиВыполнить запускается процесс решения задачи (рис.4).

Рис.4. Решение получено.

Задание 3. Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.

3.5. Пекарня закупает пшеничную хлебопекарную муку в мешках. В среднем пекарня использует 750 мешков муки в год. Подготовка и получение одного заказа обходится в 160 руб. Годовая стоимость хранения одного мешка муки составляет 30 руб. Доставказаказа осуществляется в течение двух дней. Пекарня работает365 дней в году.

? Определите:

а) экономичный  объем заказа;

б) годовую  стоимость хранения муки;

в) период поставок;

г) точку  заказа.

Решение:

Оптимальный размер заказа (Н=Th – удельные издержки хранения за период, h – в единицу времени)

.

Число заказов  в течение года

Поскольку средне суточный спрос равен 750/365=2,052, точка восстановления запаса (уровень запасов, при котором делается новый заказ) составит 2*2=4 [1].

Минимальные издержки заказа и хранения

 

Задание 4.  Использовать методы теории массового обслуживания для исследования предлагаемой хозяйственной ситуации. При моделированиипредполагается, что поток требований на обслуживание является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному (показательному) закону. Задачу следует решить с помощью средств MSExcel.

В бухгалтерии организации в  определенные дни непосредственно  с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтериюдля оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно l; среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, равно Т_срмин. (значения lиТ_српо вариантам даны ниже в таблице).

Оценить основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%?

№ варианта, задачи	Параметр l	Параметр Тср=1/μ
4.5	4	10

 

 

Решение:

1. Рассчитаем вероятность отказа в обслуживании по формуле:

Р_отк=Р_n=Р₀ ,

P₀=;

^{- нагрузка  на систему}[1].

• Расчет нагрузки на систему (рис.6);

Рис.6. Расчет нагрузки на систему.

• Расчет вероятности Р₀ ячейке С5 без степени -1, для 1 числа канала (рис.7);

Рис.7. Расчет вероятности.

Рассчитаем  вероятность Р₀ для остальных каналов меняя в формуле 1 на ячейку С5, и скопируем для ячеек С6-С14 (рис.8)

• Рассчитаем вероятность Р₀ в ячейке D5 ставя ячейку С5 в степень -1, и скопируем формулу в ячейки D6-D14 (рис.9);
• Рассчитаем вероятность Р_отк в ячейке Е5, и скопируем формулу в ячейки Е6-Е14 (рис.10).

Рис.8. Расчет вероятности Р₀.

Рис.9. Расчет вероятности Р_0.

Рис.10. Расчет вероятности отказа в обслуживании.

 

2. Относительная пропускная способность В, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена (рис.11),

 

Рис.11. Расчет вероятности обслуживания заявки.

3. Абсолютная пропускная способность А получим, умножая интенсивность потока заявок * на В (рис.12):

.

Рис.12. Расчет абсолютной пропускной способности.

4. Среднее число занятых каналов (рис.13);

.

Рис.13. Расчет среднего числа занятых каналов.

Рис.14. График вероятности отказа в обслуживании.

Рис.15.Расчет характеристик системы массового  обслуживания.

Из графика  на рис. 14 видно, что минимальное число каналов обслуживания, при котором вероятность обслуживания работника будет выше 85%, равно n=3.

Задание 5. Организуйте датчики псевдослучайных чисел для целей статистического моделирования (для использования метода Монте-Карло).

Статистический анализ показал, что  случайная величина Х длительности обслуживания клиента в парикмахерской следует показательному закону распределения с параметром μ, а число поступающих в единицу времени клиентов (с.в. У) - закону Пуассона с параметром l . Значения параметров lи μповариантно даны ниже в таблице.

Получите средствами MSExcel15 реализаций с.в. Х и 15 реализаций с.в. У.

 

№ варианта, задачи	Параметр l	Параметр μ
5.5	1,7	0,4

 

Решение:

Для получение  случайных чисел с показательным  законом распределения использовано соотношение 

1.Получим случайные числа от 0 до 1 в ячейках $С$3:$Q$Q. При использовании функции =СЛЧИС() (рис.16).

Рис.15. Случайные  данные.

2.Расчитаем  время между очередными поступлениями  в ячейках $C$4:$Q$4. Для их получения используем следующие функцию (рис.16).

Рис.16. Расчет времени между поступлениями.

3.Расчитаем  время обслуживания округленное  (в строках 7 и 9) с помощью  формулы (рис.17 и рис.18).

Рис.17. Расчет времени обслуживании по работнику 1.

Рис.18. Расчет времени обслуживания по работнику 2.

4.Расчитаем  время окончания обслуживания  работника 1 строчку 6 складываем  со строкой 7 (рис.19) и работника 2 строку 6 складываем со строкой 9 (рис.20).

Рис.19. Расчет окончания обслуживания первого работника.

Рис.20. Расчет окончания обслуживания второго  работника.

5.Далее  последовательно сравниваются время  окончания обслуживания каналами (строки 8 и 10) и время поступления  требований (строка 6); соответственно, в счетчике отказов (строка 11) фиксируется 0 (требование принято  к обслуживанию) или 1 (требование  отказано в обслуживании) (рис.21)[1].  

Рис.21. Табличное  представление имитации.

В соответствии со счетчиком отказов (в ячейках  $C$11:$Q$11) зафиксировано 8 отказов, т.е. статистическая оценка вероятности отказав данной системы массового обслуживания при N=15 равна (8/15)=0,53.

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие, - М.: Вузовский учебник, 2012.[1]

2. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование Учебное пособие. - М.: ВЗФЭИ, Вузовский учебник, 2012.[2]

3.Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. – 2-е изд., испр. и доп. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012.[3]

4.Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели:учебник для бакалавров. 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Издательство Юрайт, 2012.[4]