Контрольная работа по "Теория статистики". 3

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ»

 

 

 

 

 

 

 

К О Н Т Р О Л Ь Н  А Я     Р А Б О Т  А

 

По предмету:   ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

Вариант № 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Студентка 2 курса

3 семестр

Сидорова Юлия Сергеевна

                   

 

 

 

 

 

 

 

Ташкент, 2010

 

 

 

Задача № 1

 

Для характеристики электровооружённости труда и выработки  продукции 1 рабочим было проведено 5% выборочное обследование методом  случайного бесповторного отбора машиностроительных заводов. В результате получены следующие  данные:

 

№ завода по порядку	Электровооружённость труда, тыс.кВт/час на одного рабочего	Выработка продукции  на одного рабочего, тыс.руб.
1	7	8,7
2	4	6,3
3	3	3,7
4	5	6,2
5	4	5,9
6	6	7,8
7	7	8,7
8	3	3,6
9	5	6,2
10	6	7,5
11	10	9,8
12	8	9,0
13	7	8,3
14	8	8,7
15	9	10,3
16	4	6,2
17	3	3,9
18	9	9,8
19	10	10,2
20	6	6,6
21	8	9,0
22	9	8,8
23	10	10,5
24	6	7,1
25	8	9,1

 

Проведите статистический анализ полученных данных. Для этой цели:

 

 

I.

1. Постойте статистический ряд распределения предприятий по выработке продукции на 1 рабочего, образовав 4 группы с равными интервалами. Постойте график ряда распределения.

 

В данном случае величина интервала  будет равна:

;  (тыс.руб.)

Образуем группы по выработке продукции  на одного рабочего. В случае равных интервалов групповые интервалы равны:

…………………………

 

3,6	(3,6 + 1,758)	3,6	5,325
5,325	(3,6 + 3,45)	5,325	7,05
7,05	(3,6 + 5,175)	7,05	8,775
8,775	(3,6 + 6,9)	8,775	10,5

 

В каждой группе рассчитаем число заводов:

Группировка по выработке  продукции.

группа по выработке продукции  на одного рабочего	число заводов	удельный вес заводов в процентах  к итогу
3,6 – 5,325	3	12,0
5,325 – 7,05	6	24,0
7,05 -8,775	7	28,0
8,775 – 10,5	9	36,0

 

Расчёт удельного веса заводов к итогу:

1)

;

2)

3)

4)

Наиболее характерной является группа заводов с выработкой продукции  от 8,775 тыс.руб., до 10б,5 тыс.руб., которая  составляет 36% от общего количества выборки. Более половина заводов (64% имеют выборку продукции от 7,05 тыс.руб., до 10,5 тыс.руб..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по выработке продукции на 1 рабочего: среднюю арифметическую, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации. При расчёте средней арифметической и средней квадратического отклонения примените способ моментов. Сделайте выводы.

 

Расчёт показателей вариации оформим  в таблице:

группа по выработке продукции  на одного рабочего	число заводов (момент)
3,6 – 5,325	3	13,389	9,729	31,551
5,325 – 7,05	6	37,128	9,108	13,824
7,05 – 10,5	7	55,391	1,449	0,301
8,775 – 10,5	9	86,742	17,338	33,597
итого	25	192,65	37,674	79,273

 

;   - среднее арифметическое по каждому интервалу

 

- среднее значение; 

 

;

 

 

- среднее линейное отклонение; 

 

;

 

- дисперсия; 

- среднее квадратическое отклонение; 

- коэффициент вариации;  

 

II.

1. С вероятностью 0,997 определите ошибку выборки средней выработки продукции 1 рабочим и границы, в которых будет находиться средняя выработка 1 рабочего в генеральной совокупности.

 

Что бы определить границы генеральной  средней, необходимо рассчитать выборочную среднюю и ошибку выборочной средней.

Рассчитаем среднее выработки  продукции 1 рабочим в выборочной совокупности и дисперсию выборочной совокупности:

 

группа по выработке  продукции на одного рабочего	количество заводов
3,6 – 5,325	3	13,389	3,243	10,517	31,551
5,325 – 7,05	6	37,128	1,518	2,304	13,824
7,05 – 10,5	7	55,391	-0,207	0,043	0,301
8,775 – 10,5	9	86,742	-1,932	3,733	33,597
итого	25	192,65

 

Предельная ошибка выборочной средней  при бесповоротном отборе с вероятностью 0,997 при ; ; ; вычислим:

;  

 

Определим пределы, в которых находится  среднее значение выработки продукции  на 1 рабочего:

С вероятностью можно утверждать, что среднее значение выработки  продукции на 1 рабочего находится  в пределах тыс.руб..

 

 

2. С вероятностью 0,954 определите ошибку доли заводов, на которых выработка продукции на 1 рабочего больше 10,0 тыс.руб., и границы, в которых будет находиться эта доля в генеральной совокупности. Сделайте выводы.

 

Определим долю завода на которую  выработка продукции на 1 рабочего больше 10,0 тыс.руб.:

;    

;  

Определим предельную ошибку выборочной доли при без поворотном отборе с  вероятностью 0,954:

; 

т.к. доля не может быть отрицательной, то полагаем, что  , тогда:

Вывод: с вероятностью 0,954 можно  утверждать, что вероятность наличия заводов у которых средняя выработка у рабочих больше 10,0 тыс.руб. в районе находиться в пределах .

 

III.

1. Методом аналитической группировки установите характер связи между электровооружённостью труда и выработкой продукции 1 рабочим. Результаты оформите в таблице. Сделайте выводы.

 

 

Посмотрим статистический ряд распределения  предприятий по выработке продукции  на одного рабочего, образовав 4 группы с равными интервалами. Рассчитаем величину интервала:

;   тыс.руб

Опираясь на рисунок видим, что связь прямая. Прямолинейные(линейные) связи, могут быть выражены уравнением прямой: и .   

где ; 

 

  - линейный коэффициент корреляции.

 

№
1	7	8,7	49	75,69	0,4	1,024	0,410	60,9	1,049	8,019	0,343	0,118
2	4	6,3	16	39,69	-2,6	-1,376	3,578	25,2	1,893	5,445	-2,231	4,977
3	3	3,7	9	13,69	-3,6	-3,976	14,314	11,1	15,809	4,587	-3,089	9,542
4	5	6,2	25	38,44	-1,6	-1,476	2,362	31	2,179	6,303	-1,373	1,885
5	4	5,9	16	34,81	-2,6	-1,776	4,618	23,6	3,154	5,445	-2,231	4,977
6	6	7,8	36	60,84	-0,6	0,124	-0,074	46,8	0,015	7,161	-0,515	0,265
7	7	8,7	49	75,69	0,4	1,024	0,410	60,9	1,049	8,019	0,343	0,118
8	3	3,6	9	12,96	-3,6	-4,076	14,674	10,8	16,614	4,587	-3,089	9,542
9	5	6,2	25	38,44	-1,6	-1,476	2,362	31	2,179	6,303	-1,373	1,885
10	6	7,5	36	56,25	-0,6	-0,176	0,106	45	0,031	7,161	-0,515	0,265
11	10	9,8	100	96,04	3,4	2,124	7,222	98	4,511	10,593	2,917	8,509
12	8	9,0	64	81	1,4	1,324	1,854	72	1,753	8,877	1,201	1,442
13	7	8,3	49	68,89	0,4	0,624	0,250	58,1	0,389	8,019	0,343	0,118
14	8	8,7	64	75,69	1,4	1,024	1,434	69,6	1,049	8,877	1,201	1,442
15	9	10,3	81	106,09	2,4	2,624	6,298	92,7	6,885	9,735	2,059	4,239
16	4	6,2	16	38,44	-2,6	-1,476	3,838	24,8	2,179	5,445	-2,231	4,977
17	3	3,9	9	15,21	-3,6	-3,776	13,594	11,7	14,258	4,587	-3,089	9,542
18	9	9,8	81	96,04	2,4	2,124	5,098	88,2	4,511	9,735	2,059	4,239
19	10	10,2	100	104,04	3,4	2,524	8,582	102	6,371	10,593	2,917	8,509
20	6	6,6	36	43,56	-0,6	-1,076	0,646	39,6	1,158	7,161	-0,515	0,265
21	8	9,0	64	81	1,4	1,324	1,854	72	1,753	8,877	1,201	1,442
22	9	8,8	81	77,44	2,4	1,124	2,698	79,2	1,263	9,735	2,059	4,239
23	10	10,5	100	110,25	3,4	2,824	9,602	105	7,975	10,593	2,917	8,509
24	6	7,1	36	50,41	-0,6	-0,576	0,346	42,6	0,332	7,161	-0,515	0,265
25	8	9,1	64	82,81	1,4	1,424	1,994	72,8	2,028	8,877	1,201	1,442
	165	191,9	1215	1573,41			108,06	1374,6	100,3856	191,895	-0,005	92,757
	6,6	7,676	48,6	62,936			4,3224	54,984	4,015	7,6758	-0,0002	3,710

 

 

2. Измерьте тесноту корреляционной связи между электровооружённостью и производительностью труда эмпирическим корреляционным отношением. Поясните его смысл.

Линейный коэффициент корреляции различают по степени тесноты связи от до

Это показывает характер связи – сильная прямая связь.

Эмпирическое корреляционное отношение: или

межгрупповая дисперсия:

общая дисперсия:

вычислим корреляционное отношение:

 

 

3. Вычислите параметры линейного уравнения связи между электровооружённостью и производительностью труда. Поясните смысл коэффициента регрессии

Линейную: ;  .

Для нахождения параметров и уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов: сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть минимальной.

Необходимое условием экстремума является равенство нулю частных производных  по параметрам. Приравнивая к нулю частные производные функции  по параметрам и , получим систему линейных уравнений для нахождения параметров по имеющимся эмпирическим данным:

   - коэффициент регрессии

   свободный коэффициент  (т.е. показывает, на каком уровне открывается линия).

Уравнение регрессии: ;   .

                                                    

Теперь рассчитаем коэффициент  эластичности, который показывает, на сколько процентов изменяется величина результативного признака при изменении признака фактора на один процент.

Коэффициент эластичности в случае линейной зависимости определяется по формуле:

; 

Линейный коэффициент корреляции и коэффициент регрессии связанны соотношением:

; 

 

 

4. Рассчитайте теоретическое корреляционное отношение, поясните его смысл.

Теоретическое корреляционное отношение(индекс корреляции) имеет вид:

;     - общая дисперсия

;     - общая дисперсия

Таким образом вычисляем индекс корреляции:

 

 

5. Сравните результаты анализа связи методом аналитической группировки и регрессионно-корреляционным методом. Сделайте выводы.

 

a = 7	b = 8,7	a + b = 7+8,7 = 15,7
c = 4	d = 6,3	c + d = 10,3
a + c = 11	b + d = 15	a + b + c + d = 26

 

Рассчитаем коэффициент ассоциации по формуле:    

; 

Рассчитаем коэффициент контингенции по формуле:    

;  

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации: <

 

a = 3	b = 3,7	a + b = 6,7
c = 5	d = 6,2	c + d = 11,2
a + c = 8	b + d = 9,9	a + b + c + d = 17,9

 

Рассчитаем коэффициент ассоциации по формуле:    

; 

Рассчитаем коэффициент контингенции по формуле:    

; 

 

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации: <

 

Связь оказалась не подтверждённой.

 

Рассчитаем коэффициенты Спирмена:    

 

№	X	Y	ранги		разность рангов
11	10	9,8	24	21,5	2,5	3,25
19	10	10,2	24	23	1	1
23	10	10,5	24	25	-1	1
15	9	10,3	21	24	-3	9
18	9	9,8	21	21,5	-0,5	0,25
22	9	8,8	21	17	4	16
12	8	9	17,5	18,5	-1	1
14	8	8,7	17,5	15	2,5	6,25
21	8	9	17,5	18,5	-1	1
25	8	9,1	17,5	20	-2,5	6,25
1	7	8,7	14	15	-1	1
7	7	8,7	14	15	-1	1
13	7	8,3	14	13	1	1
6	6	7,8	10,5	13	-1,5	2,25
10	6	7,5	10,5	11	-0,5	0,25
20	6	6,6	10,5	9	1,5	2,25
24	6	7,1	10,5	10	0,5	0,25
4	5	6,2	7,5	6	1,5	2,25
9	5	6,2	7,5	6	1,5	2,25
2	4	6,3	5	8	-3	9
5	4	5,9	5	4	1	1
16	4	6,2	5	6	-1	1
3	3	3,7	2	2	0	0
8	3	3,6	2	1	1	1
17	3	3,9	2	3	-1	1

 

Ранговый коэффициент Спирмена очень важен для оценки тесноты  связи между X и Y. Коэффициент корреляции рангов Спирмена определяется по формуле:

; 

Коэффициент корреляции рангов Спирмена принимает любые значения в интервале  от

Вывод: в нашем случае результат 0,972 и указывает, что связь сильная.

 

Задача № 2.

 

Изменение численности  работающих в АОЗТ «Иртыш» характеризуется  следующими данными:

таблица № 2.1.

годы	Численность работающих на начало соответствующего года, чел.
1983	746
1984	737
1985	726
1986	717
1987	738
1988	751
1989	746
1990	725
1991	693
1992	681
1993	678
1994	682
1995	597
1996	595
1997	583

 

Проанализируйте динамику численности работающих в  АОЗТ. С этой целью:

 

1. Определите вид динамического ряда.

 

Ряд, расположенных в хронологической  последовательности значений статистических показателей, представляет собой временной (динамический) ряд

Мы имеем случай моментного динамического  ряда.

 

 

2. Определите аналитические показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста и прироста (цепные и базисные), абсолютное содержание 1% прироста. Результаты расчетов оформите в таблице. Покажите взаимосвязь цепных и базисных показателей.

 

таблица № 2.2

 

 

 

 

 

Покажем взаимосвязь цепных и базисных показателей.

Сумма абсолютных приростов с переменной базой должна дать общий прирост за исследуемый период:

Отсюда видно, что действительно  это так (смотреть таблицу № 2.2.)

Базисный коэффициент роста  находится перемножением цепных коэффициентов роста.

 

 

 

3. Определите динамические средние за период: средний уровень ряда, среднегодовой темп роста и прироста.

 

Средний уровень моментного динамического ряда рассчитаем по средней хронологической формуле:

 

Средний абсолютный прирост рассчитывается, как средняя арифметическое из показателей скорости роста за отдельные промежутки времени. 

Рассчитаем средний коэффициент роста, как среднегеометрический из произведения показателей цепных коэффициентов роста.

Произведение цепных коэффициентов  роста = 0,781

Поэтому средний коэффициент роста

 

Средний темп роста представляет собой коэффициент роста, выраженный в процентах.

;  

 

Следовательно, среднегодовой темп прироста:

;   

 

 

 

 

4. Для определения общей тенденции изменения численности работающих произведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденций соответствующим математическим уравнением

 

№	год	численность работающих на начало соответствую-щего года, чел.	скользящая сумма трёх членов	скользящая средняя	условное время			выраженные уровни ряда
1	1983	746	-	-	-	-	-	-	-	-
2	1984	737	2209	736	-6	-4416	36	763	-27	729
3	1985	726	2180	727	-5	-3635	25	752	-25	625
4	1986	717	2181	727	-4	-2908	16	741	-14	196
5	1987	738	2206	735	-3	-2205	9	739	5	25
6	1988	751	2235	745	-2	-1490	4	719	26	676
7	1989	746	2222	741	-1	-741	1	708	33	1089
8	1990	725	2164	721	0	0	0	697	24	576
9	1991	693	2099	700	1	700	1	686	14	196
10	1992	681	2052	684	2	1368	4	675	9	81
11	1993	678	2041	680	3	2040	9	664	16	256
12	1994	682	1957	652	4	2608	16	653	1	1
13	1995	597	1874	625	5	3125	25	642	-17	289
14	1996	595	1775	592	6	3552	36	631	-39	1521
15	1997	583	-	-	-	-	-	-	-	-
				9065	0	-2002	182	9061		6260
				697		154		697		482

 

Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике так  же выравнивание временного ряда, а  методы выявления основной тенденции  – методами выравнивания.

Один из наиболее простых приёмов  обнаружения общей тенденции  развития явления – укрупнение интервала динамического ряда. Первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатель которого относятся к большим по продолжительности периодам времени.

В нашем случае основную тенденцию  мы определим методом скользящей средней (см.по таб.)

Для того чтобы представить количественную модель выражающую общую тенденцию  изменений уровней динамического  ряда во времени, используется аналитическое  выравнивание ряда динамики.

Исходя из рис. видно, что для  аналитического выравнивания нам подходит линейная тендовая модель:

где, - порядковый номер периодов или моментов времени;

параметры и - рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК)

Для уравнения расчёта, за начало отчёта примем уровень, находящийся в середине ряда. Даты времени, стоящие ранее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1;  -2;  -3; и т.д.), а позже – натуральными числами со знаком плюс (+1;  +2;  +3 и т.д.). В нашем случае за нулём принимаем 1990 год. При этом условии будет равно нулю, и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

Тогда получим:

;

; 

; 

;

 

 

 

 

5. Определите выровненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанесите их на график с фактическими данными.

 

; ; ;

; ; ;

; ; ;

 

 

6. Предполагая, что выявленная тенденция сохранится в будущем, определите ожидаемую численность работающих на ближайшие 5 лет. Сделайте выводы.

 

Продление в будущее тенденции, наблюдающиеся в прошлом, носит название экстраполяция. Тенденция развития явления характеризуется тем или иным аналитическим уравнением. На основании этого уравнения ряда динамики можно расчетать экстраполяции количества работающих через 5 лет (т.е. в 2002 году) = 576 чел...

 

1998	1999	2000	2001	2002
+7	+8	+9	+10	+11

 

При составлении прогноза определяем доверительный интервал прогноза по формуле: ; где - среднее квадратическое отклонение от тренда;

- табличное значение критерия  Стьюдента при уровне значимости  ;

 и  - соответственно фактические и расчётные значения уровней динамического ряда;

- число уровней ряда;

- количество параметров в  уравнении тренда (для уравнения  прямой, m=2).

 

Используя данные рассчитаем среднюю квадратическую ошибку линейного уравнения тренда:

Величина относительной ошибки составит:

;

С вероятностью 0,997; t=3;

;  ;  .

Вывод. Через пять лет количество рабочих будет находиться в интервале:

576 чел. – 20 = 556 чел.

576 чел. + 20 = 596 чел.

 

 

 

 

 

 

Задача № 3.

 

Рентабельность  продукции и затраты на ее производство по заводу бытовых электроприборов характеризуется следующими данными:

 

изделия	рентабельность продукции (%)		затраты на весь выпуск изделия, тыс. руб
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
лампы настольные	10,5	13,0	60,0	65,0
электроутюги	5,0	6,0	34,0	35,0

 

На основании  имеющихся данных определите:

 

1. Изменение уровня рентабельности продукции и затрат на весь выпуск продукции по каждому изделию (в %).  Укажите вид используемых индексов.