Контрольная работа по «Высшая математика». 2

Министерство  образования и  науки украины

Донецкий  институт автомобильного транспорта 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

студента  заочного отделения группы

Вариант: 3

Рецензент:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Донецк 2004

 

Задание № 1 Вычислить пределы функций:

а) ; б) ;

в) ; г)  

Задание № 2 Вычислить производные таких функций:

а) ; б) ; в)

г) ,     д)  

Задание № 3 Найти дифференциал функции , если функция имеет вид

.

Задание № 4 Построить график функции

 

Решение

Задание № 1 Вычислить пределы функций:

Решение. Числитель и знаменатель дроби имеют пределы, которые равны нулю, то есть мы имеем дело с неопределенностью . Разложим числитель и знаменатель на линейные множители. Числитель раскладываем по теореме Виета, первый корень , а второй . Знаменатель раскладываем воспользовавшись формулой разности квадратов . Тогда

затем сократим дробь на , считая, что , но , то есть :

Ответ: . 

б) 

Решение. Имеем неопределенность вида , т.к. при пределы числителя и знаменателя равны нулю. Здесь в числителе и в знаменателе присутствует иррациональность. Поэтому следует умножить и числитель, и знаменатель на сопряженные выражения и для того, чтоб воспользоваться формулой разности квадратов .

затем сократим дробь на , считая, что , но , то есть , а значит и :

.

Ответ: . 

в) ;

Решение. Поскольку при числитель и знаменатель представляют собой бесконечно малые функции, то мы вправе заменить их соответствующими бесконечно малыми функциями, а именно: и . Тогда после сокращения дроби на (так как ), получим результат:

Ответ:  

г)

Решение. Перейдем в дроби, которая расположена в скобках, от бесконечно больших к бесконечно малым , деля числитель и знаменатель этой дроби на . Одновременно используем свойства показателя степени и запишем наше выражение так:

второй  множитель имеет предел равный единице, так как , , а в первом множителе предел частного равен частному пределов. Используя второй замечательный предел , получим результат:

.

Ответ:  

Задание № 2 Вычислить производные таких функций:

а) ;

Решение. Для решения задачи используем таблицу основных производных и правило дифференцирования сложной функции.

.

Ответ:  

б) ;

Решение. Для упрощения вычисления производной вначале прологарифмируем обе части равенства и используем соответствующие свойства логарифмов:

Далее вычисляем производные левой  и правой частей равенства, считая функцией от (то есть – сложная функция)

Умножим обе части равенства на и выполним необходимые преобразования:

.

Ответ:  

в) ;

Решение. Для упрощения вычисления производной вначале прологарифмируем обе части равенства и используем соответствующие свойства логарифмов:

;

Далее вычисляем производные левой и правой частей равенства, считая функцией от (то есть – сложная функция):

Умножим обе части равенства на и выполним необходимые преобразования:

.

Ответ:  

г) ,   

Решение. Используем правило нахождения производной неявной функции, то есть находим производную обоих частей, считая функцией от :

.

Из полученного  равенства находим  :

, откуда 

Ответ:  

д)

Решение. По таблице производных производная функции, которая задается в параметрической форме равна , то есть

Ответ:  

Задание № 3 Найти дифференциал функции , если функция имеет вид

.

Решение. Следуя определению дифференциала, находим производную заданной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получаем дифференциал функции:

Ответ:  

Задание № 4 Построить график функции

Решение.

1. Областью определения функции является вся числовая ось. То есть
2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат: если , то ; если, то , и . Получаем в результате разложения на множители уравнения , где – биквадратное уравнение. Пусть , тогда решаем по теореме Виета: . Возвращаясь к переменной , получаем: при , , а при , уравнение не имеет решений. Таким образом кривая пересекает координатные оси в точках , и .
3. Проверим четность функции. Получаем

 
Так как выполняется условие  , то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому дальнейшее исследование будем проводить для .

4. Функция непрерывна на всей числовой оси. Так как функция не имеет точек разрыва 2-го рода, то вертикальных асимптот нет. Проверим наличие наклонных асимптот :

, отсюда следует, что график  заданной функции не имеет  наклонных асимптот.

5. Исследования на монотонность и выпуклость функции объединим и составим сводную таблицу, где в первой строке поместим все критические точки, подозрительные как на экстремум, так и на перегиб графика функции, и соответствующие интервалы.

Найдем  первую производную и критические точки I рода:

  при 

Пусть , тогда , где , а ; то есть , а . Возвращаясь к переменной , получаем: при , , а при , уравнение не имеет решений. Итак, критические точки I рода .

Найдем  вторую производную и критические  точки II рода:

 при , то есть или , и – критические точки II рода.

Исследуем знаки производных в интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: 

 

 

6. прп

 
 
 

Решить  систему линейных уравнений методом  Крамера: (66,4)

Решение

      Составим  определитель системы из коэффициентов  при неизвестных и вычислим его (по правилу треугольников):

т.к. определитель не равен 0 (Δ≠0), то система совместна и имеет единственное решение. Вычислим последовательно определители Δ₁, Δ₂  и Δ₃.

      Заменив в определителе системы первый столбец (коэффициенты при x₁) столбцом свободных членов, получим Δ₁. Вычислим его (по правилу треугольников):

 

      Аналогично, заменив в определителе системы  второй столбец (коэффициенты при x₂) столбцом свободных членов, получим Δ₂. Вычислим его (по правилу треугольников):

      Наконец, заменив в определителе системы третий столбец (коэффициенты при x₃) столбцом свободных членов, получим Δ₃. Вычислим его (по правилу треугольников):

С помощью  формул Крамера получаем следующее  решение системы:

 

 

1. Решить  ситему линейных уравнений  методом Обратной матрицы: (66,26)

Решение

      Составим  матрицы системы: матрицу коэффициентов  при неизвестных A, матрицу свободных членов B и матрицу неизвестных X.

     

      Тогда всю систему можно представить  как: A*X=B.

      Отсюда   X=B/A =A^-1*B, где A^-1 – матрица, обратная A, которая вычисляется по формуле:

             где A_ij - алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы A.

      Вычисляем определитель матрицы:

т.к. определитель не равен 0 (Δ ≠ 0), то для матрицы A можно получить обратную матрицу A^-1.

      Вычисляем алгебраические дополнения:

 

      Подставляем полученные алгебраические дополнения и получаем обратную матрицу A^-1:

      

      Далее перемножаем обратную матрицу A^-1 на матрицу свободных членов B и получаем матрицу решений X:

Итак, в  результате получаем:   x₁ = 2;   x₂ = 1;   x₃ = -1.

 

2. Решить ситему линейных уравнений методом Гаусса: (67,19)

Решение

      Составим  расширенную матрицу системы:

      Элементарными преобразованиями добиваемся того, чтобы  все элементы главной диагонали  расширенной матрицы стали равны 1, а элементы, расположенные ниже главной диагонали, обратились в 0:

 

      Полученной  матрице соответствует следующая  система уравнений:

      Поднимаясь  от последнего уравнения эквивалентной  системы уравнений к первому, найдем решения системы:

  

Таким образом, система имеет следующее  единственное решение:

          
 
 
 
 

3. Написать  уравнения директрис  эллипса: . (43)

Решение

Уравнениями дирректрис эллипса является уравнения прямых:

       и  ,

где  e – эксцентриситет эллипса, который определяется по формуле:

, где

c – фокусное расстояние. 

Фокусное расстояние определяется по формуле:       .

Подставляя формулы  эксцентриситета и фокусного  расстояния в уравнения дирректрис, получаем:

Сравнивая данное уранение:    

с каноническим уравнением эллипса:   , 

видим, что:   ;  а   .

Подставляя  значения квадратов большой и малой полуосей эллипса в уравнения директрис, получим:

Ответ: уравнения директрис эллипса   x = –25   и    x = 25. 
 
 
 

4. Найти предел: . (96)

Решение.

При  числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, т.е. являются бесконечно большими последовательностями. Характер неопределенности . Разделим почленно числитель и знаменатель на наивысшую степень дроби, т.е. на . К полученному выражению применим теорему о пределе частного и теорему о пределе суммы, т.е.:

. 
 

5. Найти предел: . (145)

Решение.

Имеем неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности удобно применить тригонометрические формулы: . В результате получаем:

так как  – первый замечательный предел.  
 
 
 
 
 

Список используемой литературы.

1. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах: Учебное пособие. В двух частях. Ч.1. – Донецк, 2002. – 528с.
2. Сборник задач по высшей математике /Сост.: С.В.Брадул, Е.М.Малиненко, Л.Е.Шайхет. – 2-е изд., перераб. – Донецк: ДонГАУ, 2000.– 52с.
3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. –  М.: Наука, 1972. – 872с.