Метод крутого восхождения, или метод Бокса-Уилсона

Содержание 

     Введение…………………………………………………………………..…...3

    1 Выборка Y, определение факторов и интервалов их варьирования……..3

    1.1 Выбор критерия ……………..……..……………………………..……3

    1.2 Определение факторов …..……………………………………….……3

    1.3 Определение  интервалов изменения факторов……………………....3

     2 Построение плана проведения полного факторного эксперимента….….4

     3 Определение коэффициентов уравнения регрессии ………....……..……5

        3.1 Определение свободного  члена……………………………….………5

    3.2 Вычисление  коэффициентов уравнения, характеризующих 

       линейные  эффекты……………………………………………………..6

        3.3 Определение коэффициентов  уравнения, характеризующих 

           эффекты взаимодействия…………………………………………..…..6

     4 Проверка значимости коэффициентов  регрессии……………….…..……7

        4.1 Определение разброса  в точке…………………………………….….7

        4.2 Определение дисперсии эксперимента…………………………...…..7

        4.3 Среднее квадратическое  отклонение……………………………..…..8

        4.4 Определение доверительного  интервала и значимость 

           коэффициентов уравнения  регрессии……………………………...…8

     5 Вычисление расчетных значений  параметров оптимизации…………….9

     6 Определение критерия Фишера  и проверка модели на адекватность….10

        6.1 Вычисление критерия  Фишера………………………………………10

        6.2 Проверка модели  на адекватность………………………………..….11

     7 Метод крутого восхождения, или  метод Бокса-Уилсона……………….11

     Заключение…………………………………………………..………………13

     Приложение……………………………………………….…………………14 
 
 

     Введение

      В данной работе ставится следующая задача: определить влияние посещенных учебных занятий, факультативов по физике и самостоятельной работы (самостоятельного изучения) на результат выступления на олимпиаде по физике в 11 классе. 

      1 Выборка Y, определение факторов и интервалов их варьирования

      1.1 Выбор критерия

     Критерий (Y): результат выступления учащегося на олимпиаде по физике, количество баллов.

      1.2 Определение факторов

     Факторы:

     1) X1 − посещенные учебные занятия (в том числе практические и лабораторные занятия) по физике, ч.;

     2) X2 − посещенные факультативы по физике, ч.;

     3) X3 − самостоятельная работа по физике, ч.

      1.3 Определение интервалов изменения факторов

     Область определения факторов устанавливается согласно типовой рабочей программе по физике (для учащихся 11 классов) для общеобразовательных школ. Схеме полного факторного эксперимента предусматривает одновременное варьирование всех исследуемых факторов на двух уровнях: верхнем (max), имеющем максимальное значение рассматриваемого фактора и нижнем (min), соответствующем минимальному значению фактора. Интервалы изменения факторов в эксперименте представлены в таблице 1. 
 

      Таблица 1 − Интервалы варьирования факторов в эксперименте

Факторы X1 ,ч. X2 ,ч. X3 ,ч.
Диапазон изменения 30 ÷ 68 0 ÷ 80 0 ÷ 46
Базовый уровень 49 40 23
Интервалы варьирования (∆) 19 12 11
max  (+1) 68 52 34
min  (-1) 30 28 12
 

      2 Построение плана  проведения полного факторного эксперимента

      При известном значении числа факторов, можно найти число опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов.

       ,                                                                                                               (1)

     где − количество экспериментов, − число факторов эксперимента.

      Подставив значение числа факторов, вычислим количество экспериментов по формуле 1:  

      План  эксперимента удобно задавать таблицей, называемой матрицей планирования эксперимента, включающей в себя значения факторов и эффектов их взаимодействий, а также значения исследуемой функции, называемой параметром оптимизации. Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа и результаты опытов представлены в таблице 2.

      Таблица 2 − Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа с эффектом взаимодействия первого порядка и результаты опытов

№ опыта Порядок варьирования факторов Значения параметра оптимизации
x0 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 Yэксп Yрасч ∆Y (∆Y)2
1 + + + + + + + 95 96 1 1
2 + − + + − − + 80 79 -1 1
3 + + − + − + − 84 83 -1 1
4 + − − + + − − 47 48 1 1
5 + + + − + − − 81 80 -1 1
6 + − + − − + − 49 50 1 1
7 + + − − − − + 51 52 1 1
8 + − − − + + + 5 4 -1 1
 61,5 16,25 14,75 15,0 −4,5 −3,25 −3,75 61,5 61,5 1 1

      Таким образом, построен полный факторный  эксперимент  . Он имеет восемь опытов и включает все возможные комбинации уровней трех факторов. 

      3 Определение коэффициентов уравнения регрессии

      Для полного факторного эксперимента типа уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить следующим выражением:

                                                                                       (2)

      или ,                                  (3)

     где − свободный член уравнения регрессии;

          − коэффициент линейного эффекта;

          − коэффициент эффекта парного взаимодействия;

          − число факторов;

          и  − факторы эксперимента.

      Получение модели сводится к нахождению по результатам эксперимента значений неизвестных коэффициентов. 

      3.1 Определение свободного члена

      Свободный член ( ) характеризует результат выступления учащегося 11 класса на олимпиаде по физике в центре плана. Коэффициент вычисляется по следующей формуле:

       ,                                                                                                      (4)

     где  − параметр оптимизации экспериментальный;

          − число опытов;

          − номер фактора эксперимента;

          − номер опыта.

      Согласно  формуле 4 вычислим коэффициент :

        

      3.2 Вычисление коэффициентов уравнения, характеризующих линейные эффекты

      Коэффициент уравнения рассчитывается по формуле, которая приведена ниже.

       ,                                                                                                   (5)

     где − фактор эксперимента. 

      Найдем коэффициенты для каждого фактора эксперимента:

      

      

        

      3.3 Определение коэффициентов уравнения, характеризующих эффекты взаимодействия

      Коэффициент вычисляется по следующей формуле:

       ,                                                                                               (6)

     где и − номера факторов эксперимента.

      Вычислим  коэффициенты эффекта парного взаимодействия :

      

      

      

      С учетом всех найденных коэффициентов основное уравнение регрессии согласно выражению 3 для полного факторного эксперимента будет выглядеть следующим образом:

                                     (7) 

      4 Проверка значимости  коэффициентов регрессии 

      4.1 Определение разброса  в точке

      Проводим  несколько параллельных опытов в одной точке плана для того, чтобы определить разброс значений в данной точке. Параллельные эксперименты проводим для точки 2:

       ; ; .

      Далее найдем их среднее значение:

        

      4.2 Определение дисперсии эксперимента

      Дисперсия воспроизводимости (адекватности) определяется с помощью повторных опытов в  нулевой точке (центре эксперимента). Дисперсию адекватности вычислим по следующей формуле:

       ,                                                                                               (8)

     где − число повторных опытов

      Для точки 2 получим:

        

      4.3 Среднее квадратическое отклонение

      Далее извлечем квадратный корень из и получим среднее квадратическое отклонение:

      

      Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии определяется по следующей формуле:

       ,                                                                                                            (9)

     где − количество членов в уравнении регрессии (кроме ).

      В соответствии с формулой 9 среднее квадратическое отклонение составило:

        

      4.4 Определение доверительного интервала и значимость коэффициентов уравнения регрессии

      Для оценки значимости коэффициентов по доверительному интервалу вычисляют доверительный интервал для коэффициента по формуле 10.

       ,                                                                                                       (10)

     где − критерий Стьюдента (табличное значение критерия при 5%-ном уровне значимости и при количеству степеней свободы равно 4,3).

      Вычислим  доверительный интервал:

      

      Доверительный интервал одинаков для всех коэффициентов. Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии с помощью соотношения 10 удобно тем, что позволяет применить правило: коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала:

                                                                                                                  (11)

      Незначимые  коэффициенты исключаются из модели. При этом если коэффициенты модели некоррелированны между собой (матрица моментов диагональная), то исключение незначимых коэффициентов не скажется на остальных коэффициентах. В обратном случае оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, поскольку коэффициенты закоррелированы друг с другом.

      Таким образом, определим значимость коэффициентов  уравнения регрессии путем их сравнения с доверительным интервалом:

       ; ; ; ; ; ; .

      Из  представленных выше выражений следует, что все коэффициенты регрессионного уравнения больше доверительного интервала (что говорит об их значимости). Уравнение регрессии примет вид:

                                   (12) 

      5 Вычисление расчетных значений параметров оптимизации

      Определим расчетные значения параметров оптимизации  путем подстановки соответствующих знаков (+ или −) в выражение 7. Тогда получим следующие расчетные значения:

      

      

      

      

      

      

      

        

      6 Определение критерия Фишера и проверка модели на адекватность

      6.1 Вычисление критерия Фишера

      Адекватность  модели в целом будем определять по критерию Фишера. Экспериментальное значение F-критерия (критерия Фишера) равно: 

       ,                                                                                                      (13)

     где − дисперсия адекватности модели (остаточная дисперсия);

           − дисперсия опыта (эксперимента).

      Вычислим  дисперсию адекватности по формуле:

       ,                                                                      (14)

     где − число степеней свободы;

           − количество значимых коэффициентов модели (в уравнении регрессии, кроме );

           − количество опытов.

      Сначала вычислим разницу между расчетными и экспериментальными значениями параметров оптимизации и заполним таблицу 2:

                                                                                                       (15)

      Также найдем (∆Y)2 и заполним таблицу 2.

      Подставляя  известные значения в выражение 14, вычислим дисперсию адекватности модели:

      

      Экспериментальное значение F-критерия (критерия Фишера) вычислим по формуле 13.

      

      Табличное значение критерия Фишера ( ) определяется по таблице. Значение F-критерия для уровня значимости зависит от (число степеней свободы большей дисперсии), (число степеней свободы меньшей дисперсии). Учитывая уровень значимости и зная степень свободы, табличное значение критерия Фишера равно . 

      6.2 Проверка модели на адекватность

      Полученную  с помощью факторного планированного эксперимента модель объекта необходимо проверить на адекватность. Проверяется адекватность модели, то есть пригодность полученной модели для описания реального объекта исследования, по отношению дисперсий адекватности и параметра оптимизации .

      Сравним расчетные и табличные значения критериев Фишера и сформулируем вывод об адекватности модели. Согласно условию − модель неадекватна и соответственно при − адекватна.

      Таким образом, в нашем случае:

       ; . , что говорит об адекватности модели. 

      7 Метод крутого восхождения, или метод Бокса-Уилсона

      Согласно  таблице 2 была получена матрица планирования полнофакторного эксперимента типа , были вычислены коэффициенты регрессии и получено уравнение регрессии (7).

      Выбираем  базовый фактор:   

      Первый  фактор X1 - - базовый фактор -

      Второй  фактор X2 -

      Третий  фактор X3 -

      Базовым фактором является первый фактор, т.е. посещенные учебные занятия (в том числе практические и лабораторные занятия) по физике, значит, он является ведущим.

      Выбираем новые шаги варьирования для проведения мысленных опытов. Для базового фактора выбираем шаг варьирования (шаг движения) λб по направлению оптимуму. Можно оставить прежний или ввести новый шаг варьирования, более мелкий, мы поставим λб = 17. Определяем новые шаги варьирования при крутом  восхождении λi по остальным переменным по формуле:

      

         

Основной  уровень 49 40 23
Новый шаг варьирования (λ) 17 10 9
1-ый  мысленный опыт 66 50 32
2-ой мысленный опыт 83 60 41
3-ий мысленный опыт 100 70 50
4-ый мысленный опыт 100 80 59
5-ый мысленный опыт 100 90 68
6-ый мысленный опыт 100 100 77

      Были  практически реализованы 3 и 5 эксперименты. Экстраполированные значения выходных параметров  для λ3 и  λ5  будут рассчитаны по формуле:

      За 6 опытов мы получили полную модель, базовый фактор и провели серию мысленных опытов (которая добавляется к 8 предыдущим). Удалось попасть в область оптимальных значений. 
 
 
 

Заключение

      Уравнение регрессии для данного полного  факторного эксперимента выглядит следующим образом:

       .

      Так как  , модель адекватна, то есть пригодна для описания реального объекта исследования.

      Наибольшее  влияние на результат выступления  на олимпиаде по физике в 11 классе оказывает посещение учебных занятий по физике ( ), наименьшее же − посещение факультативов ( ). Влияние такого фактора, как самостоятельная работа по физике (самостоятельное изучение), также существенно ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Полный  факторный эксперимент.

      Полный  факторный эксперимент проводился при следующих значениях основных уровней факторов и шагах варьирования:

      Основной  уровень факторов  

      Шаг варьирования   

      Матрица планирования    
 

      Число опытов

      Число параллельных опытов

      Число факторов

       Считываем из файла измеренные значения

      Уровень значимости критерия  

        

      Вычисляем среднее i-го опыта.

      

         

      1. Проверка воспроизводимости эксперимента.

      Оценка  выборочных дисперсий каждого опыта.

         

      Проверка  однородности выборочных дисперсий. Для  этого воспользуемся критерием Кохрэна.

        

         

         

          

      

      Поскольку σ<σт, то гипотеза об однородности дисперсий принимается.

      Оценка  дисперсии воспроизводимости эксперимента.

          
 
 

      2. Расчет и проверка значимости коэффициентов модели.

      Линейные  коэффициенты

         

         

      Коэффициенты  взаимодействия

         

      

      

          

          

        

            

      Найденные коэффициенты необходимо оценить на статистическую значимость.

Метод крутого восхождения, или метод Бокса-Уилсона