СОДЕРЖАНИЕ 

Введение                                                                         4

1 Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов                    5

2 Взвешенный  метод наименьших квадратов                                   11

3 Пример                                                                         14

4 Практическое  задание                                                          16

Заключение                                                                       24

Литература                                                                       25      

 

ВВЕДЕНИЕ 

     Метод наименьших квадратов обычно используется как составная часть некоторой  более общей проблемы. Например, при необходимости проведения аппроксимации  наиболее часто употребляется именно метод наименьших квадратов. На этом подходе основаны: регрессионный анализ в статистике, оценивание параметров в технике и т.д.

     В работе приведена информация по классическому  методу наименьших квадратов, подробно описан взвешенный МНК.  

 

      1 ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ 

     Начальным пунктом эконометрического анализа  зависимостей обычно является оценка линейной зависимости переменных. Если имеется некоторое "облако" точек  наблюдений, через него всегда можно  попытаться провести такую прямую линию, которая является наилучшей в  определенном смысле среди всех прямых линий, то есть "ближайшей" к точкам наблюдений по их совокупности. Для  этого мы вначале должны определить понятие близости прямой к некоторому множеству точек на плоскости; меры такой близости могут быть различными. Однако любая разумная мера должна быть, очевидно, связана с расстояниями от точек наблюдений до рассматриваемой  прямой линии (задаваемой уравнением у = а + bх).

Рис.1-графики МНК

     На  рисунке изображены три ситуации:

     • на графике (а) взаимосвязь х и у близка к линейной; прямая линия (1) здесь близка к точкам наблюдений, и последние отклоняются от нее лишь в результате сравнительно небольших случайных воздействий;

     • на графике (b) реальная взаимосвязь величин х и у описывается нелинейной функцией (2), и какую бы мы ни провели прямую линию (например, 1), отклонения точек наблюдений от нее будут существенными и неслучайными;

     • на графике (с) явная взаимосвязь между переменными х и у отсутствует; какую бы мы ни выбрали формулу связи, результаты ее параметризации будут здесь неудачными. В частности, прямые линии 1 и 2, проведенные через "центр" "облака" точек наблюдений и имеющие противоположный наклон, одинаково плохи для того, чтобы делать выводы об ожидаемых значениях переменной у по значениям переменной х.

     Обычно  в качестве критерия близости используется минимум суммы квадратов разностей  наблюдений зависимой переменной у  и теоретических, рассчитанных по уравнению  регрессии значений (а + b):

     Q = =S→ min        (1)

     Считается, что у и х - известные данные наблюдений, а и b - неизвестные параметры линии регрессии. Поскольку функция Q непрерывна, выпукла и ограничена снизу нулем, она имеет минимум. Для соответствующих точке этого минимума значений а и b могут быть найдены простые и удобные формулы (они будут приведены ниже). Метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции, называется Методом наименьших квадратов (МНК), или Least Squares Method (LS).

     "Наилучшая"  по МНК прямая линия всегда  существует, но даже наилучшая  не всегда является достаточно  хорошей. Если в действительности  зависимость y=f(х) является, например, квадратичной (как на рисунке 1(b)), то ее не сможет адекватно описать никакая линейная функция, хотя среди всех таких функций обязательно найдется "наилучшая". Если величины х и у вообще не связаны (рис. 1 (с)), мы также всегда сможем найти "наилучшую" линейную функцию у = а+bх для данной совокупности наблюдений, но в этом случае конкретные значения а и Ь определяются только случайными отклонениями переменных и сами будут очень сильно меняться для различных выборок из одной и той же генеральной совокупности. Возможно, на рис. 1(с) прямая 1 является наилучшей среди всех прямых линий (в смысле минимального значения функции Q), но любая другая прямая, проходящая через центральную точку "облака" (например, линия 2), ненамного в этом смысле хуже, чем прямая 1, и может стать наилучшей в результате небольшого изменения выборки.

     Рассмотрим  теперь задачу оценки коэффициентов  парной линейной регрессии более  формально. Предположим, что связь между х и у линейна:      у = a+bх. Здесь имеется в виду связь между всеми возможными значениями величин x и у, то есть для генеральной совокупности. Наличие случайных отклонений, вызванных воздействием на переменную у множества других, неучтенных в нашем уравнении факторов и ошибок измерения, приведет к тому, что связь наблюдаемых величин и приобретет вид =a+b+. Здесь − случайные ошибки (отклонения, возмущения). Задача состоит в следующем: по имеющимся данным наблюдений {} и {} оценить значения параметров a и b, обеспечивающие минимум величины Q. Если бы были известны точные значения отклонений , то можно было бы (в случае правильности предполагаемой линейной формулы) рассчитать значения параметров a и b. Однако значения случайных отклонений в выборке неизвестны, и по наблюдениям и можно получить оценки параметров a и b, которые сами являются случайными величинами, поскольку соответствуют случайной выборке.. Тогда оцененное уравнение регрессии будет иметь вид:

     =а+b+,

где − наблюдаемые значения ошибок.

     Для оценки параметров a и b воспользуемся МНК, который минимизирует сумму квадратов отклонений фактических значений от расчетных. Минимум ищется по переменным а и b.

     Для того чтобы полученные МНК оценки а и b обладали желательными свойствами, сделаем следующие предпосылки об отклонениях :

     1) величина  является случайной переменной;

     2) математическое ожидание  равно нулю: М () = 0;

     3) дисперсия  постоянна: D() = для всех i, j;

     4) значения  независимы между собой. Откуда вытекает, в частности, что:

           

     Известно, что, если условия 1-4 выполняются, то оценки, сделанные с помощью МНК, обладают следующими свойствами:

     1) Оценки являются несмещенными, т.е.  математическое ожидание оценки  каждого параметра равно его истинному значению: М(а)=a; М(b)=b. Это вытекает из того, что М() = 0, и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии.

     2) Оценки состоятельны, так как  дисперсия оценок параметров  при возрастании числа наблюдений  стремится к нулю: 
 

     3) Оценки эффективны, они имеют  наименьшую дисперсию по сравнению  с любыми другими оценками  данного параметра, линейными  относительно величин .

     Перечисленные свойства не зависят от конкретного  вида распределения величин , тем не менее, обычно предполагается, что они распределены нормально N(0;). Эта предпосылка необходима для проверки статистической значимости сделанных оценок и определения для них доверительных интервалов. При ее выполнении оценки МНК имеют наименьшую дисперсию не только среди линейных, но среди всех несмещенных оценок.

     Если  предположения 3) и 4) нарушены, то есть дисперсия возмущений непостоянна  и(или) значения . связаны друг с другом, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, но свойство эффективности  нет.

     Рассмотрим  теперь процедуру оценивания параметров парной линейной регрессии а и b. Для того чтобы функция Q=2S=2S((a+b)) достигала минимума, необходимо равенство нулю ее частных производных:

       

                                              (3)         

                   (4)

      

     Если  уравнение (3) разделить на a, то получим у=а+bх (здесь , − средние значения х и у). Таким образом, линия регрессии проходит через точку со средними значениями х и у. Подставив величину а из (3) в (4), получаем: 
 

     Откуда: 
 

     Иначе можно записать, что b= (где r коэффициент корреляции х и у). Таким образом, коэффициент регрессии пропорционален показателю ковариации и коэффициенту корреляции х и у, а коэффициенты этой пропорциональности служат для соизмерения перечисленных разноразмерных величин. Оценки a и b, очевидно, являются линейными относительно (если считать коэффициентами).

     Итак, если коэффициент r уже рассчитан, то легко рассчитать коэффициент парной регрессии, не решая системы уравнений. Ясно также, что если рассчитаны линейные регрессии х(у) и у(х), то произведение коэффициентов dx и by, равно : 

     2 ВЗВЕШЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 

     Далеко  не все задачи исследования взаимосвязей переменных описываются обычной линейной регрессионной моделью. Во-первых, исходные данные могут не соответствовать тем или иным предпосылкам линейной регрессионной модели и требовать либо дополнительной обработки, либо иного модельного инструментария. Во-вторых, исследуемый процесс во многих случаях описывается не одним уравнением, а системой, где одни и те же переменные могут быть в одних случаях объясняющими, а в других - зависимыми. В-третьих, исследуемые взаимосвязи могут быть (и обычно являются) нелинейными, а процедура линеаризации не всегда легко осуществима и может приводить к искажениям. В-четвертых, структура описываемого процесса может обусловливать наличие различного рода связей между оцениваемыми коэффициентами регрессии, что также предполагает необходимость использования специальных методов.

     Наиболее  распространенным в практике статистического  оценивания параметров уравнений регрессии  является метод наименьших квадратов. Этот метод основан на ряде предпосылок  относительно природы данных и результатов  построения модели. Основные из них - это четкое разделение исходных переменных на зависимые и независимые, некоррелированность факторов, входящих в уравнения, линейность связи, отсутствие автокорреляции остатков, равенство их математических ожиданий нулю и постоянная дисперсия. Эмпирические данные не всегда обладают такими характеристиками, т.е. предпосылки МНК нарушаются. Применение этого метода в чистом виде может привести к таким нежелательным результатам, как смещение оцениваемых параметров, снижение их состоятельности, устойчивости, а в некоторых случаях может и вовсе не дать решения. Для смягчения нежелательных эффектов при построении регрессионных уравнений, повышения адекватности моделей существует ряд усовершенствований МНК, которые применяются для данных нестандартной природы.

     Одной из основных гипотез МНК является предположение о равенстве дисперсий  отклонений , т.е. их разброс вокруг среднего (нулевого) значения ряда должен быть величиной стабильной. Это свойство называется гомоскедастичностью. На практике дисперсии отклонений достаточно часто неодинаковы, то есть наблюдается гетероскедастичность. Это может быть следствием разных причин. Например, возможны ошибки в исходных данных. Случайные неточности в исходной информации, такие как ошибки в порядке чисел, могут оказать ощутимое влияние на результаты. Часто больший разброс отклонений , наблюдается при больших значениях зависимой переменной (переменных). Если в данных содержится значительная ошибка, то, естественно, большим будет и отклонение модельного значения, рассчитанного по ошибочным данным. Для того, чтобы избавиться от этой ошибки нам нужно уменьшить вклад этих данных в результаты расчетов, задать для них меньший вес, чем для всех остальных. Эта идея реализована во взвешенном МНК.

     Пусть на первом этапе оценена линейная регрессионная модель с помощью  обычного МНК. Предположим, что остатки независимы между собой, но имеют разные дисперсии (поскольку теоретические отклонения нельзя рассчитать, их обычно заменяют на фактические отклонения зависимой переменной от линии регрессии, для которых формулируются те же исходные требования, что и для ). В этом случае квадратную матрицу ковариаций cov(, ) можно представить в виде:

     ,

     где cov(, )=0 при ij; cov(,)=; S - длина рассматриваемого временного ряда.

     Если  величины известны, то далее можно применить взвешенный МНК, используя в качестве весов величины и минимизируя сумму 

     Формула Q, записана для парной регрессии; аналогичный вид она имеет и для множественной линейной регрессии. При использовании IVLS оценки параметров не только получаются несмещенными (они будут таковыми и для обычного МНК), но и более точными (имеют меньшую дисперсию), чем не взвешенные оценки.

     Проблема  заключается в том, чтобы оценить  величины S, поскольку заранее они обычно неизвестны. Поэтому, используя на первом этапе обычный МНК, нужно попробовать выяснить причину и характер различий дисперсий . Существуют специальные критерии и процедуры проверки равенства дисперсий отклонений. Например, можно рассмотреть частное от деления сумм самых больших и самых маленьких квадратов отклонений.

 

      3 ПРИМЕР

     Пусть надо решить систему уравнений: 

число которых более числа неизвестных x, y, z…

     Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу  неизвестных и которые затем  решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной x и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной y и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т. д. Если означить для краткости: 

то нормальные уравнения представятся в следующем  простом виде: 

     Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой неизвестной  во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в первом, коэффициент у первой неизвестной  в третьем уравнении равен  коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т. д. Для пояснения сказанного ниже приведено решение пяти уравнений с двумя неизвестными: 

Составив  значения [aa], [ab], получаем следующие нормальные уравнения: 

Откуда:  x = 3,55;

         y = − 0,109

     Уравнения (1) представляют систему линейных уравнений, то есть уравнений, в которых все  неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые  величины, бывают высших степеней и  даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела: предварительными изысканиями  всегда можно найти величины искомых  с таким приближением, что затем, разложив соответствующие функции  в ряды и пренебрегая высшими  степенями искомых поправок, можно  привести любое уравнение к линейному.

 

      4 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 

1. Найти минимальное  значение параметра c, при котором множество

  выпукло:

     Решение:

1. – является выпуклым множеством при любом параметре с.
2. Исследуем функцию .

     Т.к. , то мы можем разделить левую и правую часть за этот множитель: 

     Построим  график функции: 

у

1

-

0.5

-

0

0.5

1

0

1

2

3

4

х

Рис. 2 – График функции

     По  неравенству область удовлетворяющая  неравенству лежит ниже графика  функции.

     Найдем  точки перегиба данной функции:

     Представим  в виде:  

     Для нахождения точек перегиба вычисляем  вторую производную: 

     Приравниваем  вторую производную к нулю и находим  точки перегиба: 
 

       – точки перегиба.

     Таким образом, получаем, что на промежутке функция является выпуклой.

     Тогда фигура образованная полосой  и является выпуклой.

     Следовательно, минимальное значение параметра  будет равно значению функции в точке перегиба: 
 

                        

                                                                                                                      

1

-

0.5

-

0

0.5

1

0

1

2

3

4

у

х

Рис. 3 – График функции с ограничениями и решением

     Ответ: . 

2. Записать  уравнение гиперплоскости, разделяющей  множества

 

     Решение:

     Построим  графики функций ограничивающих множества: 
 
 

х

у

Рис. 4 –  График функций

     Из  графика видно, что функции пересекаются в 1 точке. Найдем точку пересечения: 
 
 

3

3 
 

  

(2,) – точка пересечения графиков.

     Точка одна и является точкой касания, поэтому  прямой разделяющей множества будет касательная в данной точке.

     Составим  уравнение касательной:

     ; 

  – уравнение разделяющей гиперплоскости. 
 

     

3. Проверить, является ли функция  выпуклой (вогнутой) на заданном множестве X, или указать такие точки из X, в окрестностях которых не является ни выпуклой, ни вогнутой.

F(x) =− ++2+11+6;

X={x: x0}.

Решение:

Находим первую производную: 
 
 

Находим вторую производную: 
 
 

     Очевидно, что все смешанные производные  будут равны 0. Составим матрицу Гессе:

H(x)=

Т.к. Н(х)=0, то нельзя с точностью определить выпуклость(вогнутость) функции. При условии x0 функция не будет являться ни выпуклой, ни вогнутой. 

     4. Симплекс-методом найти решение следующей задачи линейного программирования;

     5. Для задачи линейного программирования составить двойственную к ней. По решению прямой задачи найти решение двойственной к ней с применением теорем двойственности;

f(x)=

 

 

 

 

 

     Решение:

     Приведем  задачу к каноническому виду:

f(x)=

 

 

 

 

 

     Решение задачи симплекс методом: