Методы исследования и моделирование национальной экономики

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Санкт-Петербургский  государственный

инженерно-экономический  университет»

 

Кафедра исследования операций в экономике

имени профессора Юрия Алексеевича Львова

Контрольная работа по дисциплине

 

МЕТОДЫ  ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ НАЦИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ

 

 

Выполнила: 

студент 5-го  курса 5лет.10мес.  спец. 080103

                             

    группа 

 

Подпись: ___________________________________________

 

 

Преподаватель: _____________________________________

^{(Фамилия  И.О.)}

Должность:__________________________________________

^{(уч. степень, уч. звание)}

Оценка: _____________Дата: __________________________

 

Подпись: ___________________________________________                                                           

 

 

Санкт-Петербург

2011

Задание № 1

 

Предприятие в плановом периоде может выпустить  три вида продукции со следующими характеристиками:

Характеристики  продукции                                                             Таблица 1

Продукция	Оптовая цена тыс.руб./ед.	Норма расхода ресурсов
		Труд т. чел.-ч./ед. (Т)	Сырье т/ед. (S)	Материалы т/ед. (М)
1 2 3	20 30 20	2 1 1	5 2 4	3 4 2

 

Известны общие объемы ресурсов в плановом периоде:

• располагаемый фонд рабочего времени T = 10 (т.чел.-ч.);
• выделенные лимиты сырья S = 32 (т) и материалов M = 28 (т);
• цены сырья P_s = 1 (тыс.руб./т) и материалов P_m = 0,75(тыс.руб./т).

Необходимо:

1. Найти оптимальный  план производства продукции  при исходных объемах ресурсов.

2. Исследовать  возможность увеличения объемов  выпуска в условиях свободной  торговли средствами производства.

3. Оценить  эффективность дополнительного  вовлечения ресурсов.

 

1. Введем переменные х₁, х₂, х₃ - объемы производства соответствующих видов продукции в условно-натуральных единицах.

Модель  имеет вид:

Стоимость   С 20 х₁ + 30 х₂ + 20 х₃   max

Труд    Т    2 х₁ + 1 х₂ + 1 х₃ 10 (т.чел.-ч.)

Сырье   S 5 х₁ + 2 х₂ + 4 х₃ 32 (т)

Материалы  М 3 х₁ + 4 х₂ + 2 х₃ 28 (т)

 х_1,  х_2,   х₃           0

2. Проведем анализ модели. Рассмотрим простейшие показатели эффективности использования различных видов ресурсов при выпуске каждого вида продукции:

, i, j,

где C j - цена j-ой продукции,  a ij - норма расхода i-го ресурса. Данные коэффициенты отображают соотношение результатов и затрат (цена в данном случае показатель результата деятельности), то есть являются показателями эффективности.

 

 ; ;  (тыс.руб./т.чел-ч.),

; ;  (тыс.руб./т),

; ;  (тыс.руб./т).

 

Экономически эти коэффициенты можно трактовать как показатели ресурсоотдачи при выпуске продукции первого, второго и третьего видов.

 - характеризует эффективность использования сырья при выпуске продукции первого вида и т.д.

 - характеризует эффективность использования труда при выпуске продукции первого вида и т.д.

 - характеризует эффективность использования материалов при выпуске продукции первого вида и показывает, что при выпуске продукции 1, затрачивая 3т материалов, в конечном счете мы получаем 6,67 тыс.руб и т.д.

 

1.3. Анализ  коэффициентов показывает, что с  точки зрения трудозатрат выгоднее всего продукция 2, так как у нее самый большой = 30. С точки зрения затрат сырья - продукция 2 ( = 15), материалов 3 - ( = 10).

Производство продукции 1, невыгодно с точки зрения использования всех трех видов ресурсов, так как у нее самые низкие показатели эффективности по труду, сырью и материалам.

Такой предварительный анализ позволяет  сделать вывод, что продукция  1 не войдет в оптимальный план (ограничения на ее обязательный выпуск отсутствуют) и она может быть исключена из модели. Модель примет вид:

С 30 х₂ + 20 х₃   max

Т 1 х₂ + 1 х₃ 10

S 2 х₂ + 4 х₃  32

М 4 х₂ + 2 х₃ 28

       х₂                0

  х₃    0

 

1.4. Решим  задачу графически (рис.1). Ограничения T, S, M определяют многоугольник допустимых планов ОABС. Линии ограничений в данном частном случае пересекаются в одной точке В, которая и является оптимальным планом

Ресурсы используются полностью:

Т_В = 10 (т.чел.-ч.), S_B = 32 (т), М_В = 28 (т).

 

Общая стоимость  выпускаемой продукции:

СВ = 30 ∙ 4 + 20 ∙ 6 = 240 (тыс.руб.).

 

В условиях централизованного выделения ресурсов сырья и материалов полученное решение явилось бы окончательным.

 

 

 

 

1.5. Эффективность использования  ресурсов можно оценить по  показателям  K_i:

Показатели характеризуют эффективность  использования труда, сырья и  материалов при выпуске продукции  первого и третьего видов.

Соотношение с ранее рассчитанными показателями  K _{i j}

;  (тыс.руб./т.чел-ч.),

          ;  (тыс.руб./т),

         ;  (тыс.руб./т).

По показателю труда для второй продукции эффективность  стала меньше, для третей продукции  эффективность увеличилась.

По показателю сырья для первой продукции эффективность  стала меньше, для третей продукции  эффективность увеличилась.

По показателю материалы для первой продукции  эффективность стала больше, для  третей продукции эффективность  уменьшилась.

В условиях свободной торговли средствами производства имеющиеся у предприятия (или выделенные централизованно) ресурсы, за исключением рабочей силы, могут быть приобретены или проданы на рынке.

 

2.1. В примере все ресурсы полностью являются  лимитирующими.

Необходимо  определить, какие ресурсы и в  каком количестве необходимы для  увеличения объема выпуска продукции С по сравнению с полученным ранее оптимальным планом  и   С = 240 тыс. руб.

Предположим, что сбыт и приобретение ресурсов  сырья и материалов обеспечены. Труд является не только лимитирующим, но и дефицитным ресурсом и будет ограничивать выпуск продукции.

 2.2. Исходная модель примет вид:

С 30 х₂ + 20 х₃   max

Т 1 х₂ + 1 х₃ 10

S 2 х₂ + 4 х₃  32

М 4 х₂ + 2 х₃ 28

       х₂                0

  х₃    0

При данной стоимости сбыт и приобретение ресурсов сырья и материалов обеспечены. Труд является дефицитным ресурсом и ограничивает выпуск продукции.

2.3. Решим  задачу графически (см. рис. 2). Ограничения по сырью и материалам не показаны, так как находятся вне области определения х2 и х3. Область допустимых планов ОЕД определяется лишь ограничением Т. Оптимальный план находится в вершине D.

Стоимость выпуска продукции		CD =  30 · 10 = 300 (тыс.руб.).
Объем трудозатрат		TD  =  1  ·  10 = 10 (т.чел.-ч.).
Потребное количество сырья		SD  =  2  ·  10 = 20 (т),
материалов		MD =  4  ·  10 = 40 (т).

2.4. Новый план  дает по сравнению с исходным  :

- прирост стоимостного выпуска  _∆С = 300 - 240 = 60 (тыс.руб.), но требует дополнительного вовлечения  материалы   _∆М = 40 - 28 = 12 (т),

- экономия сырья выросла _∆S = 20 - 32 = - 12 (т).

При обеспеченности сбыта и приобретении на рынке

• выручка от продажи излишнего сырья по цене  P_S = 1 (тыс.руб.-т),

З_S  = 1 · 12  =  12 (тыс.руб.),

• затраты на закупку дополнительных материалов по цене

     Р_М = 0,75 (тыс.руб.-т),   B_M = 0.75 ·  12   =  9 (тыс.руб.).

При этом образуется остаток денежных средств

 D_n = З_S - B_M = 12 - 9  =  3 (тыс.руб.).

Таким образом, эксперимент на модели дает возможность перейти к новому плану, дающему прирост выпуска продукции на 60 (тыс.руб.) при равных ценах и положительном остатке от перепродажи 3 (тыс.руб.).

Исследование  на модели возможности наращивания  стоимостного выпуска показало, что он может быть увеличен на 60 тыс. руб. за счет изменения ассортимента при дополнительном вовлечении ресурса материала (9 т) и положительном сальдо от перепродажи. Для данной производственной системы новый вариант плана выгоднее. В условиях рыночной экономики этого достаточно для принятия управленческого решения. В новом хозяйственном механизме индикатором такой оценки будут являться экономические нормативы, в частности, для ресурсов, которые общество считает дефицитными.

При сравнительном  анализе коэффициентов К_i с полученными ранее коэффициентами в п.1.2.

К_i^T= 300/10=30 (тыс.руб./т.чел-ч.)

К_i^S= 300/20= 15 (тыс.руб./т.)

K_i^M= 300/40= 7,5 (тыс.руб./т.)

Ранее полученные коэффициенты:

;  (тыс.руб./т.чел-ч.),

;  (тыс.руб./т),

;  (тыс.руб./т).

Получаем, что  вторая продукция используется полностью, а третья продукция используется по труду и сырью в избытке, а по материалам с недостатком.

3.1. Оценим  с указанных позиций, как изменяется  эффективность использования ресурса  (сырья) по мере его вовлечения  в систему, причем для наглядности во всем диапазоне его изменения (от  0  и выше). При любом объеме ресурса предприятие каждый раз выбирает оптимальную стратегию выпуска, соответствующую максимальному его стоимостному объему. При исходных объемах ресурсов времени и материалов  получим модель:

 

С 30 х₂ + 20 х₃   max

Т 1 х₂ + 1 х₃ 10

S 2 х₂ + 4 х₃  32

М 4 х₂ + 2 х₃ М

       х₂                0

  х₃    0

 

Это параметрическая  задача, в которой параметр  М  . Решим ее графически и определим зависимость максимального стоимостного выпуска от объема ресурса М в системе, то есть

 

 

3.2. Для  графического решения задачи  построим множество допустимых  решений, определяемое только  постоянными ограничениями  Т  и S  (см. рис. 3). Это многоугольник ОАBD. Теперь будем изменять величину объема материалов M и для каждого его значения отыскивать оптимальный план и значения целевой функции. Результаты будем заносить в таблицу 2.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

Объем материалов (т) M	Оптимальный план	Максимум стоимости выпуска (тыс. руб.) F (M)	Потребный объем Т (т.чел.-т)	Потребный объем сырья S (т)	Обозначения точки на графике
0 4 16 28 40 52	0    ,    0 0    ,    6 0    ,    8 4    ,    6 10   ,    0 10    ,   0	0 120 160 240 300 300	0 6 8 10 10 10	0 12 16 32 20 20	0 К А В D G

 

3.3. Пусть  М = 0. В этом случае в нашей задаче выпуск продукции невозможен, так как материалы необходимы для производства обеих ее видов. Оптимальный план  х₀ = (0,0). Зададим небольшую величину объема материалов, например, М = 4. Ограничение по материалам примет вид:

,   и может быть построено на графике (рис.3).

Множество допустимых планов OKL определяется лишь данным ограничением, остальные ресурсы S  и  Т  при  M = 4 избыточны.

Перемещая линию стоимости  С  параллельно себе, находим точку, в которой С  принимает максимальное значение. Это точка К. Оптимальный план  = (0  ,  6). Подставляя значения  х₂ = 0  и  х₃ = 6   в соответствующие ограничения, находим потребные объемы ресурсов и значение целевой функции С_К = 120 (тыс. руб.). Результаты заносим в таблицу 2.

Заметим, что при изменении  M  от  0  и до  4 (т), точка оптимума перемещается по оси х₃  вверх (на  рис.3 изображено стрелкой). Это движение продолжается до точки А, в которой начинает действовать ограничение по сырью S. То есть с увеличением M точка оптимума обязательно совпадет с точкой А. Запишем в таблицу 2  значение оптимального плана   = (0 ,  6). Теперь подстановкой находим значение  M_А  = 16 , значение целевой функции C_n  = 160  и потребные объемы ресурсов. Результаты заносим в таблицу 2.

Таким образом, при графическом  решении параметрической задачи необходимо проследить траекторию движения оптимальной точки по границам области  допустимых решений  OABD . Так, при M > 16 (см.  рис. 3, линия HN), область допустимых планов OAHN, оптимальный план .

То есть точка оптимума движется по ограничению  М  из точки  А  в точку В  и обязательно попадает в точку В. Как и ранее, заносим оптимальный план в таблицу 2 и пересчитываем значение ресурса M , целевой функции и потребные значения прочих ресурсов  S  и Т.

При достижении каждой вершины многоугольника  OABD  необходимо проверить, сдвинется ли точка оптимума при дальнейшем увеличении ресурса  M . Так точка  В ,  M = 28, соответствует исходной задаче (см. задание 1). При дальнейшем увеличении ресурса  M  > 28  в конечном счете точка оптимума  попадет в точку D , что соответствует условиям задания 2 и M = 40.  Если M  > 40, например, M = 52, то ресурс материалов является избыточным и оптимальная точка все равно остается в точке D.

 

3.4. На основании таблицы 2 и  рис. 3 построим график зависимости  оптимального значения стоимости  выпуска от величины ресурса материалов M (см. рис. 4).

Поскольку для каждого значения ресурса сырья мы искали максимальное (а не произвольное) значение стоимости  выпуска, полученный график отражает закономерность соотношения результатов и затрат в заданных условиях. Полученная на рис.4 зависимость называется линией не возрастающей эффективности и  в упрощенном виде отображает закон, сформулированный известным экономистом  В.В. Новожиловым (1) для условий нейтрального научно-технического прогресса (неизменная производительность труда, материало- и фондоемкость продукции). Суть этого закона состоит в следующем. Число эффективных способов использования дефицитного ресурса всегда ограничено. Поэтому при вовлечении ресурса в производственную систему каждая его дополнительная единица будет использоваться с невозрастающей эффективностью (прежней или меньшей). Следствием этого закона является то, что экстенсивное развитие в конечном счете приведет к снижению темпов экономического роста, дефицитной экономике.

В нашем примере для роста стоимости выпуска от 0 до 160 тыс. руб. требуется вовлечение в производство 16 т материалов (точка А), а для прироста стоимости еще на 140 тыс. руб., то есть до 300 тыс. руб., необходимо вовлечь еще дополнительно 24 т сырья, доведя общий его объем до 40 т. Дальнейшее увеличение выпуска при постоянных прочих ограничениях невозможно.

 

3.5. Рассчитаем  количественные характеристики  эффективности. Это можно сделать  двумя способами.

Абсолютные коэффициенты эффективности считаются как отношение абсолютных величин результата и затрат:

и показывает среднее значение результата на единицу затрат. Они малочувствительны  к пролеживанию ресурсов. Так, при М = 40  E_D = 7,5 (см. рис.4), а при М = 52  E_G =5,77. Вместе с тем из рисунка видно, что при М = 52 вообще не используется 52 – 40 = 12 (т) ресурса.

Приростные коэффициенты эффективности рассчитываются как отношение приростов результата и затрат:

и показывают, как изменится результат  при дополнительном вовлечении единицы  ресурса. Они могут быть рассчитаны лишь в процессе моделирования объекта и соответствуют двойственным оценкам ресурсов при заданных их объемах.

В реальной экономике показатели эффективности  строятся как абсолютные или приростные.

Итак, в нашем  примере при малых объемах S < 18 сырье – единственный дефицитный ресурс и в оптимальный  план входит продукция 2, самая эффективная с точки зрения его использования. и не входит продукция 2 . В точке А в силу вступает ограничение по сырью S. Для дальнейшего увеличения выпуска при дополнительном вовлечении материалов М > 16 в план включается третий вид продукции, более выгодный с точки зрения использования сырья

Продукция 3 постепенно выводится из оптимального плана, при М ≥ 28 становится лимитирующим ограничением по труду и сырью. Но так как продукция 2 более выгодна и с точки зрения трудозатрат, , она продолжает вводиться в оптимальный план вплоть до точки D.

 

3.6. Используя  график не возрастающей эффективности,  можно оценить переход от исходного  плана  к новому , как предлагалось в задании.

При подобном переходе эффективность использования дополнительно вовлекаемых 12 т сырья составит , тогда как в исходном плане она составляла еще (см. рис. 4), то есть материалы будут использоваться более эффективно, чем в исходном плане. Если данный ресурс является дефицитным с точки зрения народного хозяйства (отрасли), на него может быть установлен норматив эффективности. Так, если бы в нашем примере был установлен, например, норматив , предприятие не имело бы права дополнительно вовлекать ресурс и переходить к новому плану, потому что эффективность его использования была бы ниже нормативной .

 

 

 

Задание №2.

Построить эконометрическую модель с распределенным лагом = 4 и степенью полинома = 3. Период наблюдений (годы) = 5-65, признаки 1,2.

 

Решение:

 

Модель с распределенным лагом  для ℓ= 4

у_t = а + b₀х_t + b₁х_t-1 + b₂х_t-2 + b₃х_t-3 + b₄х_t-4 + e_t

 

Для полинома третьей степени имеем:

b_j = с₀ + с₁j + с₂j²+c₃j³

 

b₀= с₀

b₁ = с₀ + с₁ + с₂+ с₃

b₂ = с₀ + 2с₁ + 4с₂ + 8с₃

b₃ = с₀ + 3с₁ + 9с₂ + 27с₃

b₄ = с₀ + 4с₁ + 16с₂ + 64с₃

 

z₀ = х_t + х_t-1 + х_t-2 + х_t-3 + х_t-4

z₁ = х_t-1 + 2х_t-2 + 3х_t-3 + 4х_t-4

z₂ = х_t-1 + 4х_t-2 + 9х_t-3 + 16х_t-4

z₃ =х_t-1 + 8х_t-2 + 27х_t-3 + 64х_t-4

 

Подставив найденное соотношение, получим:

у_t = а + c₀х_t + (с₀ + с₁ + с₂+ с₃)х_t-1 + (с₀ + 2с₁ + 4с₂ + 8с₃)х_t-2 + (с₀ + 3с₁ + 9с₂ + 27с₃)х_t-3 + (с₀ + 4с₁ + 16с₂ + 64с₃)х_t-4 + e_t  

 

Перегруппируем слагаемые:

у_t = а + c₀(х_t + х_t-1 + х_t-2 + х_t-3 + х_t-4) + c₁(х_t-1 + 2х_t-2 + 3х_t-3 + 4х_t-4) + c₂(х_t-1 + 4х_t-2 + 9х_t-3 + 16х_t-4) + c₃(х_t-1 + 8х_t-2 + 27х_t-3 + 64х_t-4) + e_t 

 

Перепишем модель с учетом соотношений:

у_t =а + с₀z₀ + c₁z₁ + с₂z₂ + с₃z₃ +е_t

 

Найдем "С" методом наименьших квадратов:

z₀ = 34+ 68 + 43 + 78 + 41 = 264

z₁ = 68 + 2*43 + 3*78 + 4*41 = 552

z₂ = 68 + 4*43 + 9*78 + 16*41 = 1598

z₃ = 68 + 8*43 + 27*78 + 64*41 = 5142

у = 67 - 0,0189z₀ + 0,0307z₁ - 0,0129z₂ + 0,0016z₃ +е_t

 

 

 

b₀= - 0,0189

b₁ = - 0,0189 + 0,0307 - 0,0129 + 0,0016 = 0,0005

b₂ = - 0,0189 + 2*0,0307 + 4*(- 0,0129) + 8*0,0016 = 0,0037

b₃ = - 0,0189 + 3*0,0307 + 9*(- 0,0129) + 27*0,0016 = 0,0003

b₄ = - 0,0189 + 4*0,0307 + 16*(- 0,0129) + 64*0,0016 = - 0,0001

 

Модель, где Х-Валовые инвестиции, а Y- Национальный доход выглядит:

у_t = 67 - 0,0189х_t + 0,0005х_t-1 + 0,0037х_t-2 + 0,0003х_t-3 - 0,0001 х_t-4 + e_t

 

Проверка:

у = 67 - 0,0189х*1372 + 0,0005*1051 + 0,0037*1169 + 0,0003*1015 - 0,0001*947 = 46,13

 

Наблюдение имеет небольшое  отличие, это означает, что наблюдение хорошо отражает ситуацию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание№3.

1. Построить межотраслевой баланс производства и распределения продукции для 3-х отраслевой экономики, заданной матрицей коэффициентов прямых затрат А и вектором конечной продукции У.

2. Определить изменения валового выпуска отраслей, если конечный выпуск продукции каждой отрасли увеличится на 15%.

 

Номер варианта	а11	а12	а13	а21	а22	а23	а31	а32	а33	у1	у2	у3
1	2	3	5	2	8	4	8	9	7	20	45	52
2	10	12	15	23	18	14	5	16	23	46	23	37
3	13	10	11	12	14	20	23	22	27	30	35	40
4	10	13	15	13	15	18	20	23	51	50	22	65
5	17	16	24	18	11	14	17	19	15	21	24	31
6	13	16	15	18	19	17	21	26	28	40	46	48
7	5	8	9	1	5	6	7	1	2	20	25	26
8	8	5	6	4	9	2	7	8	5	23	25	43
9	7	8	8	4	9	5	3	1	5	12	16	15
0	12	5	4	9	2	3	7	5	8	56	58	24

 

 

Решение:

 

Задана матрица коэффициентов  прямых затрат А и вектор конечной продукции У.

 

        10    12    15                46

А=   23    18    14               У = 23

          5    16   23                    37

 

Найти коэффициенты полных затрат; плановые объемы валовой продукции Х=( Х₁,Х₂,Х₃ ); величину межотраслевых потоков, т.е.   значения Х_ik (i=1,2,3; k= 1,2,3); матрицу косвенных затрат; по заданному вектору увеличения косвенного выпуска продукции _ΔУ определить изменение плана _ΔХ.

 

 

 

 

 

 

Находим матрицу (Е-А):

 

 

             1 0 0       10  12  15          -9  -12  -15

К = Е – А = 0 1 0   -   23  18  14  =    -23  -17  -14

              0 0 1        5  16  23          -5  -16  -22

 

Для определения матрицы  полных затрат Р = (Е - А)^-1 обращаем матрицу К. Для нахождения    К^-1 = (Е — А)^-1 . Вычисляем определитель

 

           -9  -12  -15

|К| =  -23  -17  -14  = -363

           -5  -16  -22

 

 

Т.к.   |К|≠0, то существует матрица К^-1=Р обратная заданной матрице К.

Находим алгебраическое дополнение для элементов матрицы К:

 

 

 

 

-17	-14
-16	-22

 

 

K₁₁=(-1)² =                                      = 150

 

 

 

-23	-14
- 5	-22

 

K₁₂=(-1)³ =     = -436

 

 

 

-23	-17
- 5	-16

 

 

K₁₃=(-1)⁴ =     = 283

 

 

-12	-15
-16	-22

 

 

K₂₁=(-1)³ =     = -24

 

 

 

 

- 9	-15
- 5	-22

 

K₂₂=(-1)⁴ =     = 123

 

 

 

- 9	-12
- 5	-16