Методы решения СЛУ и векторная алгебра
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра математического моделирования в экономике
Контрольная работа
Методы решения СЛУ и векторная алгебра
Выполнила студентка I курса
Вечерне-заочного факультета
(специальность «Менеджмент 3,1 (СПО)»)
Наталья Александровна Васильева
Научный руководитель –
преподаватель
Е.М Сошникова
Киров 2014
1. Решить систему линейных
x1 - x2 + x3 = 6
x1 - 2x2 + x3 = 9
x1 - 4x2 - 2x3 = 3
Решение:
Находим определитель:
∆ = |
|
= |
3 | |||||||||
Теперь подставляем в каждый столбец свободные члены уравнения:
∆1 = |
|
= |
-3 | |||||||||
∆2 = |
|
= |
-9 | |||||||||
∆3 = |
|
= |
12 | |||||||||
Х1= |
∆1 |
= |
-3 |
= |
-1 |
∆ |
3 |
∆2 |
= |
-9 |
= |
-3 | |
∆ |
3 |
Х2=
∆3 |
= |
12 |
= |
4 |
∆ |
3 | |||
Х3= Ответ: Х1=-1, Х2=-3, Х3=4.
2. Решить систему линейных
2x1 - x2 - x3 = 4
3x1 + 4x2 - 2x3 = 1
3x1 - 2x2 + 4x3 = 1
Решение:
A= |
|
B= |
|
X= |
|
A · X = B
значит
X = A-1 · B
Находим определитель матрицы А:
│А│=2·4·4+-1·-2·3+-1·3·-2--1·
Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А:
M1,1 = (-1)1+1 |
|
= |
12 |
M1,2 = (-1)1+2 |
|
= |
-18 |
M1,3 = (-1)1+3 |
|
= |
-18 |
M2,1 = (-1)2+1 |
|
= |
6 |
M2,3 = (-1)2+3 |
|
= |
1 |
M2,2 = (-1)2+2 |
|
= |
11 |
M3,1 = (-1)3+1 |
|
= |
6 |
M3,2 = (-1)3+2 |
|
= |
1 |
C* = |
|
M3,3 = (-1)3+3 |
|
= |
11 |
Транспонируем полученную матрицу:
C*T = |
|
Найдем обратную матрицу
|
|
Найдем решение
X = A-1 · B = |
|
· |
|
= |
|
Ответ: |
x1 = |
1 |
, |
x2 = |
-1 |
, |
x3 = |
-1 |
. |
3. Решить систему линейных
x1 + 2x2 - 3x3 - 4x4 = 4
2x1 + 3x2 - 4x3 - 5x4 = 4
x1 + x2 - 2x3 - 2x4 = 2
4x1 + 3x2 - 4x3 - 6x4 = 3
Решение:
Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса
|
1 |
2 |
-3 |
-4 |
4 |
|
2 |
3 |
-4 |
-5 |
4 | ||
1 |
1 |
-2 |
-2 |
2 | ||
4 |
3 |
-4 |
-6 |
3 |
от 2; 3; 4 строк отнимаем 1 строку,
умноженную соответственно на 2; 1; 4
|
1 |
2 |
-3 |
-4 |
4 |
|
0 |
-1 |
2 |
3 |
-4 | ||
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 | ||
0 |
-5 |
8 |
10 |
-13 |
2-ую строку делим на -1
|
1 |
2 |
-3 |
-4 |
4 |
|
0 |
1 |
-2 |
-3 |
4 | ||
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 | ||
0 |
-5 |
8 |
10 |
-13 |
от 1; 3; 4 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 2; -1; -5
|
1 |
0 |
1 |
2 |
-4 |
|
0 |
1 |
-2 |
-3 |
4 | ||
0 |
0 |
-1 |
-1 |
2 | ||
0 |
0 |
-2 |
-5 |
7 |
3-ую строку делим на -1
|
1 |
0 |
1 |
2 |
-4 |
|
0 |
1 |
-2 |
-3 |
4 | ||
0 |
0 |
1 |
1 |
-2 | ||
0 |
0 |
-2 |
-5 |
7 |
от 1; 2; 4 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1; -2; -2
|
1 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 | ||
0 |
0 |
1 |
1 |
-2 | ||
0 |
0 |
0 |
-3 |
3 |
4-ую строку делим на -3
|
1 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 | ||
0 |
0 |
1 |
1 |
-2 | ||
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
от 1; 2; 3 строк отнимаем 4 строку, умноженную соответственно на 1; -1; 1
|
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
-1 | ||
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 | ||
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
Ответ:
|
x1 = -1 |
x2 = -1 | |
x3 = -1 | |
x4 = -1 |
Векторная алгебра.
2. Выяснить, что векторы A1, A2, A3 образуют базис, и разложить по этому базису вектор B = (3, -3, -4):
A1 = (3, 0, 2), A2 = (1, -1, -2), A3 = (2, 1, 2).
Решение:
Сначала проверим являются ли данные вектора базисом:
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
x1a1+x2a2+ x3a3= 0
Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса
|
3 |
1 |
2 |
|
0 |
-1 |
1 | ||
2 |
-2 |
2 |
1-ую строку делим на 3
|
1 |
1/3 |
2/3 |
|
0 |
-1 |
1 | ||
2 |
-2 |
2 |
от 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2
|
1 |
1/3 |
2/3 |
|
0 |
-1 |
1 | ||
0 |
-8/3 |
2/3 |
2-ую строку делим на -1
|
1 |
1/3 |
2/3 |
|
0 |
1 |
-1 | ||
0 |
-8/3 |
2/3 |
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 1/3; -8/3
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
-1 | ||
0 |
0 |
-2 |
3-ую строку делим на -2
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
-1 | ||
0 |
0 |
1 |
от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1; -1
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 | ||
0 |
0 |
1 |
Ответ: Данная система векторов образует базис (линейно независимая система векторов), так как все xi = 0.
Теперь разложим по этому базису вектор B = (3, -3, -4)
Решение:
Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:
x1a1+ x2a2+ x3a3= b
Перепишем векторное уравнение в матричном виде и решим его методом Гаусса
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
-1 |
1 |
-3 | ||
2 |
-2 |
2 |
-4 |
1-ую строку делим на 3
|
1 |
1/3 |
2/3 |
1 |
|
0 |
-1 |
1 |
-3 | ||
2 |
-2 |
2 |
-4 |
от 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 2
|
1 |
1/3 |
2/3 |
1 |
|
0 |
-1 |
1 |
-3 | ||
0 |
-8/3 |
2/3 |
-6 |
2-ую строку делим на -1
|
1 |
1/3 |
2/3 |
1 |
|
0 |
1 |
-1 |
3 | ||
0 |
-8/3 |
2/3 |
-6 |
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 1/3; -8/3
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
-1 |
3 | ||
0 |
0 |
-2 |
2 |
3-ую строку делим на -2
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
-1 |
3 | ||
0 |
0 |
1 |
-1 |
от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1; -1
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
2 | ||
0 |
0 |
1 |
-1 |
Ответ:
b |
= |
a1 |
+ |
2 |
a2 |
- |
a3 |
3. Найти косинус угла между векторами a и b: a = (2, -4, 4), b = (-3, 2, 6).
Решение:
Найдем скалярное произведение векторов:
a· b= ax· bx+ ay · by+ az· bz
|
a · b = |
2 |
· |
(-3) |
+ |
(-4) |
· |
2 |
+ |
4 |
· |
6 |
= |
-6 |
- |
8 |
+ |
24 |
= |
10 |
