Метрология и стандартизация. 4

Задача  №1 

С помощью импульсного  рефлектора проводились многократные измерения в одинаковых условиях расстояния до места повреждения Li. Считая, что случайные погрешности имеют нормальный  закон распределения, определить на основании заданного количества измерений:

1) результат  измерения (среднее арифметическое  значение) Lp для заданного числа измерений;

2) среднее квадратическое  отклонение σ погрешности единичного  измерения;

3) максимальную  погрешность ∆м , принятую для  нормального закона распределения.  Провести оценку грубых погрешностей;

4) среднее квадратическое  отклонение σ lp результата измерения;

5) доверительный  интервал для результата измерения  при доверительной вероятности  Pдов

6) определить  имеется ли систематическая составляющая  в погрешности измерения, если установлено, что действительное значение расстояния до места повреждения L∂

Таблица 1.1

Таблица 1.2

Таблица 1.3

Решение:

Найдем (среднее арифметическое значение) Lp для заданного числа измерений:

Lp=1/n ∑ Li = 1/16* 2762,6=172,6625≈172,66  ([1] стр 67 ф 4.6)

Найдем среднее  квадратическое отклонение σ погрешности  единичного измерения:

S=(1/(n-1) ∑(Li- Lp)^2)^1/2 ([1] стр77 ф 4.16)

S=(110,7575/(16-1))^1/2=2,717320985 ≈2,72м 

Максимальная  погрешность результата наблюдений или предельно допустимая погрешность определяется по формуле:

∆=3*2,717320985=8,151962954≈8,2м

Найдем среднее  квадратическое отклонение σ lp результата измерения: 

σ lp= S/√n = 2,717320985/4=0,679330246 ≈0,68м ([1] стр 71 ф 4.24) 

Найдем доверительный  интервал для результата измерения  при доверительной вероятности Pдов:

Для расчета  доверительного интервала необходима формула:

([1] стр 72 ф 4.28)

  - коэффициент распределения Стьюдента

- среднее квадратическое отклонение  результата измерения

Из условия  задачи Pдов =0,92, значит =1,75 [приложение II учебника [1] страница 413].

Доверительный интервал

ε =1,75∙0,679330246 =1,188827931≈  1,19 м 

Систематическую погрешность можно найти как  отклонение результата измерения Lp от действительного значения измеряемой физической величины L∂

q = Lp - L∂ = 172,6625-171.7= 0,9625≈ 0,96 м 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  №2

В производственных условиях осуществлялись прямые измерения  индуктивности катушек L, емкости конденсатора C, сопротивления резисторов r и R, предназначенные для изготовления параллельных колебательных контуров.

Требуется найти 2∆f_0.7 если L,мкГн=22; C,пФ=163; r,Ом=25

Комплексная проводимость этой цепи имеет выражение Y=Y1+Y2 или

1/Z₁+1/Z₂=1/(r+jωL)+jωC=r/(r²+(ωL)²)-j(ωL/(r²+(ωL)²)- ωC)=g-jb

Условием резонанса  будет b=0 отсюда найдем ω₀

ω₀=(1/(LC)-r²/L²) ^½; 

Сопротивление всей цепи при этой частоте оказывается  равным

1/g=L/(rC)=ρQ где Q – добротность и ρ – волновое сопротивление равное (L/C) ^½

A=2∆f_0.7 = ω₀/Q

A=2∆f_0.7=r/L(1-Cr²/L) ^½

A=2∆f_0.7=1.131101=1.13MГц

Абсолютная погрешность:

∆A= δ·A=3,51568*1.131101=3.97659=3,98МГц

Относительная погрешность результата измерений:

δ=( δL²+ δC²+ δr²) ^½ =3,51568=3,52( [2] стр 47) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  №3

На выходе исследуемого устройства имеет место периодическое напряжение , форма которого показана на рисунке 3.1. Это напряжение измерялось пиковым вольтметром(ПВ), а также вольтметрами средневыпрямленного(СВ) и среднеквадратического (СК) значений, проградуированных в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения. Каждый из вольтметров имеет как открытый так и закрытый вход.

Требуется определить:

1. среднее Uср , средневыпрямленное Uср.в , среднеквадратическое U значения выходного напряжения заданной формы.
2. Коэффициенты амплитуды Kа и формы Kф выходного напряжения;
3. Напряжения, которые должны показать каждый из трех указанных вольтметров с открытым (ОТКР) и закрытым (ЗАКР) входом.
4. Определить относительную погрешность измерения всех вычисленных согласно п.3 напряжений, если используемые вольтметры имеют класс точности  δпр и предельные значения шкалы Uпр, указанные в таблице  3.1 и 3.2

Таблица 3.1

Таблица 3.2

Решение

Математическое  описание сигнала. Сигнал показанный на рисунке можно описать следующим  образом.

U(t)=Um-(Um·t/ τ) при 0 ≤ t ≤ τ

U(t)=0 при τ ≤ t ≤ T

Пиковые Um+=20В

Среднее Uср (постоянная составляющая) значение напряжения:

Uср=1/T∫₀^T(U(t)dt)= 1/T∫₀^T Um-(Um·t/ τ)dt=Um τ/2T=20/3= 6,666667В=6,667В

Средневыпрямленное Uср.в  значение напряжения:

Uср.в=1/T∫₀^T(|U(t)|dt)= 1/T∫₀^T |Um-(Um·t/ τ)|dt=|Um τ|/|2T|=20/3= 6,666667В=6,667В 

Среднеквадратическое U значение напряжения:

U=[1/T∫₀^T(U²(t)dt)]^0.5= [1/T∫₀^T (Um-(Um·t/ τ)) ²dt] ^0.5= Um [1-T/τ+ T²/3τ² ] ^0.5=10В

Связь между  указанными параметрами периодического сигнала описывается коэффициентами амплитуды K_a формы K_ф . Эти коэффициенты соответственно равны:

Ка=Um/U=20/10=2

Kф=U/ Uср.в=10/20=0.5 

Найдем Напряжения, которые должны показать каждый из трех указанных вольтметров с  открытым (ОТКР) и закрытым (ЗАКР) входом.

При отрытом  входе вольтметр измеряет весь сигнал, а при закрытом – за вычетом  постоянной составляющей, которая равна среднему значению Uср.   

Показание вольтметра U`  с преобразователем пиковых значений с закрытым входом, если вольтметры проградуированы в среднеквадратических значениях для гармонического сигнала. 

Для пикового вольтметра градуировочный коэффициент равен C₁=0,707   отсюда

U`= C₁(Um-Uп.с.)=0,707(20-6,666667)=9,42667=9,42В

Показание вольтметра U`с.в. с преобразователем средневыпрямленных значений с открытым входом, если вольтметры проградуированы в среднеквадратических значениях для гармонического сигнала.

Для  вольтметра средневыпрямленных значений, градуировочный коэффициент равен C₂=1,11   отсюда

U`с.в.= C₂ Uср.в=1,11*6,666667=7,4В 

Показание вольтметра U  с преобразователем среднеквадратических значений с закрытым входом, если вольтметры проградуированы в среднеквадратических значениях для гармонического сигнала.

Для  квадратичного  вольтметра , градуировочный коэффициент  равен C₃=1   отсюда

U^~=[1/T∫₀^T(U²(t)dt)]^0.5=[1/T∫₀^T (Um-(Um·t/ τ)- Uп.с.) ²dt] ^0.5= [Um²τ/3T-3Um Uп.с.τ/T+2U²п.с./ 3 ] ^0.5

U^~=12.17161=12,18В

U= C₃U^~=12,18В 

Определим относительную  погрешность измерения всех вычисленных  согласно п.3 напряжений:

∆1=δ(Uпр/U`)=2*(4/9,42667)=0.84866~0.84%

∆2=δ(Uпр/U`с.в.)=2*(4/7,4)=1.08108~1.08%

∆3=δ(Uпр/U)=2*(4/12,18)=0.65681~0.66% 
 
 
 

Задача  №4

При измерении  частоты и нестабильности частоты  генератора осциллографическим методом на горизонтально отклоняющие пластины осциллографа было подано синусоидальное напряжение генератора образцовой частоты, равное

uобр=AUmSin(kω+φ)

а к вертикально отклоняющим пластинам –напряжение исследуемого генератора

uизм=BUmSin(pω+ψ)

Исходные данные к задаче приведены в таблицах 4.1, 4.2. Требуется выполнить следующее:

1. Графически построить фигуру Лиссажу, получающуюся на экране осциллографа.
2. Рассчитать частоту исследуемого генератора. Считая частоту образцового генератора стабильной, определить абсолютную ∆fизм и относительную δfизм нестабильности частоты исследуемого генератора для случая медленно изменяющейся фигуры Лиссажу, если за время, равное T, она повторно воспроизводится не чаще N раз.

Таблица 4.1

Таблица 4.2

 Решение:

uобр=4UmSin(3ω+ π/2)

uизм=3UmSin(ω)

Определим кратность  частот образцового и исследуемого генераторов, по условию

соотношение n_в / n_г  равно 3/1

При построении фигуры Лиссажу учитываем начальные  фазовые углы:

φ= π/2 рад и  ψ= 0 рад.

Для построения фигуры Лиссажу полностью необходимо, чтобы по оси времени U_{X обр} было отложено n_в периодов сигнала, а по оси времени U_{Y иссл} необходимо отложить n_г периодов сигнала. Фигуры Лиссажу строим используя процедуру построения графиков Excell.                                                        (U_{X обр})

                                                          (U_{Y иссл})

                                                          (U_{X обр} - U_{Y иссл})

Оценим абсолютную Δ_ƒcр и относительную δ_ƒcр погрешности сравнения частот исследуемого и образцового генераторов, вызванную изменением фигуры Лиссажу, если за время, равное Т = 5 секунд, она повторно воспроизводилась 7 раз. Для замкнутой фигуры Лиссажу абсолютную погрешность рассчитывают по формуле [3.С.33]:

Δƒизм= N/T = 7/5 = ±1,4Гц,

где N - число повторений фигуры Лиссажу первоначальной формы за время T. В связи с тем, что направление вращения фигуры Лиссажу неизвестно, погрешности могут принимать как положительный, так и отрицательный знак. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  №5 

Используемый  в лаборатории для измерения  емкости конденсатора цифровой измеритель сопротивлений и емкостей имеет  систематическую погрешность, обусловленную тем, что опорное напряжение Uоп не равно 0,632E где E – напряжение источника питания. Сопротивление эталонного резистора Rо, через который осуществляется заряд измеряемого конденсатора, а также Uоп/Е указаны в таблице 5.1. Частота исследования счетных импульсов fо и число импульсов которые сосчитал электронный счетчик N при измерении емкости, даны в таблице 5.2

Требуется определить:

1. Значение ёмкости конденсатора Cизм , которое покажет прибор;
2. Действительное значение ёмкости конденсатора C∂
3. Абсолютную ∆дис и относительную δдис погрешности дискретности измерения емкости;
4. при измерении каких величин емкостей погрешность дискретности по модулю

| δдис | не превышает 1% (приведите соответствующий расчет)

Таблица 5.1

Таблица 5.2

Решение