Мисленные методы анализа (БГУИР)

     Задание 1.

  1. Решить СЛАУ методом Гаусса или одной из его модификаций.
 
 

     Решение

     Составим  расширенную матрицу для данной системы уравнений и выберем  разрешающий элемент (обозначен серым цветом) 

       

     Шаг 1. Все элементы разрешающего столбца (содержащий разрешающий элемент), кроме разрешающего элемента, заменяем нулями. Все элементы разрешающей строки остаются неизменными. Остальные элементы преобразуются как разность произведения главной диагонали (произведение разрешающего элемента и преобразуемого) и побочной (произведение элемента разрешающего столбца и строки, соответствующих преобразуемому элементу). Результатом является следующая матрица. 

       

     Шаг 2. Выбираем разрешающий элемент во второй строке и выполняем последовательно операции, описанные в шаге 1. Результатом является следующая матрица. 

        

     Шаг 3. Выбираем разрешающий элемент в третьей строке и выполняем последовательно операции, описанные в шаге 1. Результатом является следующая матрица. 

       

     Шаг 4. Значения в последнем столбце делим на значения в соответствующих строках и получаем искомые значения аргументов x, y, z. 

       

     Проведем  расчет в среде MATHCAD. 
 

     

 

       

  1. Решить  СЛАУ методом квадратного корня.
 
 

    Решение: 

     Данный  метод является более экономным  и удобным по сравнению с решением систем общего вида. Решение системы осуществляется в два этапа.

     Прямой  ход. Представим матрицу А в виде произведения двух взаимно транспонированных треугольных матриц: 

     А = Т¢ Т, (1.2) 

     где , а . 

     Перемножая  матрицы T¢ и T и приравнивая матрице A, получим следующие формулы для определения tij: 

        

     После того, как матрица Т найдена, систему (1.1) заменяем двумя эквивалентными ей системами с треугольными матрицами T¢y = b, Tx = y.

     Обратный  ход. Записываем в развернутом виде системы: 

       

        

     И из этих систем (1.5) и (1.6) последовательно  находим 

        

     При вычислениях применяется обычный  контроль с помощью сумм, причем при составлении суммы учитываются  все коэффициенты соответствующей  строки.

     Заметим, что при действительных aij могут получиться чисто мнимые tij. Метод применим и в этом случае.

    Все вычисления проведем в среде MathCAD.

     

       
 
         Задание 2. 1) Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x) с заданными узлами (k=0,1,2,3);

     2) вычислить его значение в точке  ;

     3) сравнить с соответствующими  значениями  заданной функции, определив относительную погрешность в %. 

       

     Решение.  

     Ручные  вычисления. 

     Составим  полином Лагранжа по следующей таблице: 
 

      
0 1 2 3
 -4 -3 -1 0
1
 

     Имеем узлы , , , и значения функции , , , . Таким образом, будет построен полином степени .

     Выпишем полином:

     

     

     

 

     Подставим данные и вычислим (удобнее вычислять  в обыкновенных дробях):

     

     

     

 

     

 

     Сделаем проверку для узла (по основному свойству интерполирования должно выполняться равенство ): 

     

, 

     результат верный. 
 

     Вычислим  точное значение функции, значение полинома и абсолютную погрешность в точке  :

     

,

     

.

     Относительная погрешность составит: 

       

     Вычисления  в MathCad. 

     

       
         

       Задание 3. Методом наименьших квадратов найдите эмпирическую формулу вида y=ax+b для данных, представленных таблицей, и постройте график функции и исходных точек в одной системе координат. 

x 1 2 3 4 5
y 1,9 1,4 3,4 4,9 3,9
 

     Решение: 

     Результаты  промежуточных вычислений сведем в  таблицу 3.1. 

     Таблица 3.1 – Промежуточные вычисления

       

     Искомые значения a и b найдем в соответствии с формулами (3.1-3.1)

                                                          (3.1)

                                          (3.2)

                                                    (3.3)

       

       

       

     Таким образом, эмпирическая формула имеет вид: 

       

     Проведем  вычисления в среде MathCad и построим график. 

      

     .  
 

 

      Задание 4. Вычислите данный интеграл с помощью формулы средник прямоугольников и Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Сравните результаты. 

       
 

     Решение: 

     1. Метод Симпсона:

       Определяем значения подынтегральной  функции при для следующих значений аргумента: 

       

       

     Формула Симпсона:

           

     Тогда, 

 
2. Метод средних прямоугольников.

       Формула для расчета: 

     

 

     Как и в предыдущем методе . 

     Аргументы и значения подынтегральной функции в этих точках сведем в таблицу. 

       

     Тогда,  

 

     По  расчетам видно, что метод Симпсона и средник прямоугольников дают одинаковый результат с точностью  до 0,001.

       Проведем расчеты в среде MathCad. 

 

       
           Задание 5. Отделите корни данного уравнения аналитически и уточните больший из них методом Ньютона. 

       

     Решение: 

     Отделим корни данного уравнения аналитически. Находим 

       

     Составляем  таблицу знаков функции.

x
-1,435 1,301
Sign(f(x)) - + - +
 

     Уравнение имеет три действительных корня: 

       

     Уменьшим  отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1: 

x -3 -2 0 1 2 3
Sign(f(x)) - + + - - +
 

     Значит,  

     Уточним больший корень заданного уравнения методом Ньютона. Имеем,

     

     При . Поэтому для использования метода Ньютона выбираем , причем

     Все вычисления сводим в таблицу. 

       

     Искомый корень  

     Ответ

       
         Задание 6. Составьте таблицы приближенных значений решения данного дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию , на отрезке [1;2] с шагом h=0,2 с помощью методов Эйлера и Рунге-Кутта. Сравните полученные результаты с точными, определив относительную погрешность в каждой точке в %. 

       

     Решение: 

     1. Метод Эйлера.

     Находим последовательные значения аргумента: 

       

     Обозначим, 

     

     Для удобства вычислений составим таблицу. 

       

     На  основании полученных данных составим таблицу приближенных значений решения заданного дифференциального уравнения.

 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
 0 0,2 0,267 0,314 0,357 0,398
 

     Вычислим  значение y прямым методом, т.е решим данное дифференциальное уравнение. Домножим левую и правую часть на . 

       

     Для определения погрешности составим таблицу точных значений заданной функции.

 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
 0 0,144 0,228 0,289 0,341 0,387
 

     Определим относительную погрешность в  каждой точке. 

 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
R 0 0,056 0,039 0,025 0,016 0,011
A,% 0 28.225 14.523 7.892 4.535 2.739

 

      Метод Рунге – Кутты.

     Приведем  расчетные формулы метода Рунге  – Кутта четвертого порядка точности:

     

     Для удобства вычислений составим таблицу.

 

     На  основании полученных данных составим таблицу приближенных значений решения  заданного дифференциального уравнения.

 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
 0 0,143 0,228 0,289 0,341 0,387
 

     Определим относительную погрешность в  каждой точке. 

 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
R 0 2.987·10-4 2.25·10-4 1.489·10-4 9.838·10-5 6.65·10-5
A,% 0 0.209 0.099 0.051 0.029 0.017
 
 
 

     Проведем  вычисления в среде MathCad.

       
 

       
  
       Задание 7. Решить систему нелинейных уравнений методом простой итерации, проверив условия сходимости. Начальное приближение определить графически. 

       

     Решение:  

     Пусть необходимо решить систему нелинейных уравнений: 

                 (1) 

     Для применения метода простой итерации требуется систему (1) привести к  равносильному виду: 

       

     Далее алгоритм решения системы методом  простой итерации состоит в следующем. 

         1.  Задать начальное приближение  и точность поиска решения, т.е. малое положительное число e>0. Положить k=0.

         2.  Вычислить итерационную последовательность по формуле                    

         

                                              (5)

     или                     

      

                                      (6)

     3.  Если , завершаем процесс интегрирования и , если , то  k=k+1 и переходим к пункту 2.

     Решим заданную систему уравнений. 

  1. Нарисуем  графики системы уравнения и определим начальное приближение.

       

     Зададим начальное приближение x0=-1, y0=0,5 

  1. Приведем  систему уравнений к виду, удобному для применения метода простых итераций.
 

       

     Сведем  все вычисления в таблицу. При  этом условие сходимости определяется на каждом шаге. Вычисления требуется  провести с точностью до 0,001, соответственно .

       

     Таким образом, результат получаем на 6-й итерации. Решение системы нелинейных уравнений следующее: 

       

     Решение в среде Mathcad. 

     

Мисленные методы анализа (БГУИР)