Многокритериальная оптимизация

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г. КАЗАНЬ)

Кафедра высшей математики

 

 

 

 

 

 

 

РАСЧЕТНО ГРАФИЧЕСКАЯ  РАБОТА

ПО МЕТОДАМ  ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Вариант 0

 

 

 

Выполнил:

студент группы №  д111у

экономического  факультета

 

Терентьева  Ирина Юрьевна

зачетная книжка №80

контактный  телефон: 89872798194

 

Руководитель:

доц. Шевченко Д.В.

 

 

 

Нижнекамск  – 2013 г.

 

Содержание

 

Введение           3

Задание 1. Игры с природой                  4

Задание 2. Оптимизация  использования ограниченных ресурсов           8

Задание 3. Многокритериальная оптимизация                                           14

Список использованной литературы      20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение 

Как известно, экономика  занимается изучением того, как в  обществе распределяются ограниченные ресурсы. Как правило, у экономической системы (семьи, фирмы, государства) есть некоторая цель, но на пути к достижению этой цели стоят ограничения по количеству используемых ресурсов.

При решении  любой задачи оптимизации необходимо, прежде всего, определить целевую функцию. Целевая функция показывает, почему одно рассматриваемое решение лучше или хуже другого.

Целевая функция  зависит от величин, называемых переменными решения. Эти величины, мы должны изменять, разыскивая оптимальное решение. Цель оптимизации найти такие значения переменных решения, при которых целевая функция максимальна или минимальна.

Любая оптимизация  всегда проводится при наличии некоторых ограничений – условий, ограничивающих изменения переменных решения при поиске максимальной или минимальной целевой функции. Эти ограничения могут диктоваться:

- вторичными целями (например, минимизируя риск инвестиционного портфеля, мы одновременно хотим добиться ожидаемой прибыли не хуже заданной);

- ограниченностью ресурсов, находящихся в нашем распоряжении (денежных, временных, материальных);

- установленными «правилами игры» (рыночные ограничения, нормативные акты, лимитирующие ту или иную характеристику или любые требования субъекта, принимающего решения).

Задачи оптимизации  решаются в EXCEL с помощью специальной надстройки «Поиск решения». Рассмотрим решение таких задач.

 

 

 

Задание 1

Игры  с природой

Предприятие общественного  питания планирует выпуск ранее  не производимых полуфабрикатов, который  может осуществляться одним из трех возможных вариантов П1, П2, П3. Можно выделить отдельные возможные состояния рыночной конъюнктуры Р1, Р2, Р3, для которых можно оценить возможные объемы прибыли по каждому варианту (представленные в левой части клеток платежной матрицы), и их условные вероятности (которые представлены в правой части клеток матрицы).

Определить  предпочтительный план выпуска полуфабрикатов.

Показатель  пессимизма равен 0,3.

Партии полуфабрикатов	Варианты рыночной конъюнктуры
	Р1	Р2	Р3	Р4
П1	2,4     0,2	0,9     0,3	1,7     0,2	1,2     0,3
П2	1,4     0,3	1,8     0,2	1,3     0,1	1,6     0,4
П3	1,2     0,4	2,0     0,1	1,8     0,2	1,3     0,3

 

Решение:

Критерий  Байеса (Bayes) (статистический, наибольшего среднего результата, максимального математического ожидания)

В этом критерии для каждой строки определяется средний ожидаемый результат как сумма произведений вдоль строки результатов на их вероятности:

Лучшей по критерию Байеса считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

The best (Bayes)

Получаем:

 The best (Bayes)

Следовательно, по критерию Байеса оптимальным является план выпуска полуфабрикатов П₂.

 

Критерий Вальда (Wald) (пессимизма, наибольшего худшего результата, максимина)

В этом критерии для каждой строки определяется наименьший достижимый результат как минимальный элемент  в строке:

Лучшей по критерию Вальда считается та стратегия, для которой  этот результат наибольший:

 The best (Wald)

Получаем:

 The best (Wald)

Таким образом, по критерию Вальда наилучшим является план выпуска полуфабрикатов П₂.

 

Критерий  Гурвица (Hurwich) (пессимизма-оптимизма, компромиссный)

В этом критерии для каждой строки определяется «взвешенный» результат из самого пессимистического и самого оптимистического для данной стратегии. Вес каждого определяется так называемыми коэффициентами пессимизма и оптимизма, сумма которых равна единице:

Лучшей по критерию Гурвица считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

 The best (Hurwich)

Получаем:

Коэффициент пессимизма (k)=0,3.

Коэффициент оптимизма = (1 – k) = 1 – 0,3 = 0,7.

 The best (Hurwich)

Следовательно, по критерию Гурвица наилучшим является план выпуска полуфабрикатов П₁.

 

Критерий  Сэвиджа (Savage) (минимального максимального риска)

В этом критерии сначала строится матрица рисков. В каждом столбце находим самое большое значение и вычитаем по очереди все значения в данном столбце:

 

Далее в каждой строке матрицы рисков определяется наибольший результат:

Лучшей по критерию Сэвиджа считается та стратегия, для которой этот результат наименьший:

 The best (Savage)

 

Получаем:

 

Таким образом, по критерию Сэвиджа наилучшим является план выпуска полуфабрикатов П₂.

Выпишем оптимальные результаты по разным критериям:

П₂ – The best (Bayes)

П₂ – The best (Wald)

П₁ – The best (Hurwich)

П₂ – The best (Savage)

Как видно, план по выпуску полуфабрикатов П₂ чаще всего встречается в лучших результатах.

Ответ: План по выпуску полуфабрикатов П₂ является оптимальным планом предприятия общественного питания.

 

 

 

 

 

Задание 2

Оптимизация использования ограниченных ресурсов

Транспортная  фирма осуществляет перевозки на межконтинентальном грузовом судне. Фирма  может перевозить технику, продукты и стройматериалы. Сто ящиков с техникой весят М_т=1 тонн, занимают площадь S_т=8 квадратных метров и объем V_т=8 кубических метров. Сто ящиков с продуктами весят М_n=2 тонны, занимают площадь S_n=7 квадратных метров и объем V_n=3 кубических метров. Сто ящиков со стройматериалами весят М_с=4 тонн, занимают площадь S_c=6 квадратных метров и объем V_c=3 кубических метров. Прибыль с перевозки сотни ящиков с техникой равна Р_т=7 тыс. долларов, прибыль с перевозки сотни ящиков продуктов - Р_п=3 тыс. долл.. прибыль с перевозки сотни ящиков стройматериалов - Р_с=6 тыс. долл. Грузоподъемность судна равна М_общ=1110 тонн, площадь трюмов – S_общ=5280 м², вместимость – Vобщ=4000  м³.

Цель: определить оптимальный с точки зрения получения  прибыли план постройки зданий (количество жилых, торговых и спортивных площадей).

1. Составить экономико-математическую модель задачи. Условием целочисленности пренебречь. Составить компьютерную модель задачи.
2. Найти оптимальное решение. Дать экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных условиях.
3. Определить интервалы устойчивости полученного плана при изменении коэффициентов целевой функции. Сделать выводы об устойчивости полученного плана к изменению закупочных цен (прибыли от единицы каждого товара).
4. Определить двойственные оценки ресурсов. Дать экономическую интерпретацию двойственных оценок. Определить интервалы устойчивости двойственных оценок при изменении каждого ресурса по отдельности. Сделать выводы о рентабельности приобретения дополнительных ресурсов и их количества.
5. Записать четкий ответ, представляющий собой развернутое управленческое решение для поставленной экономической проблемы.

 

Решение:

1.Составим экономико-математическую  модель задачи.

Для решения  задачи введем три переменные: х₁ – число сотен ящиков с техникой,  х₂ – число сотен ящиков с продуктами,  х₃ – число сотен ящиков со стройматериалами.

Прибыль от перевозки  х₁ сотен ящиков с техникой, х₂ сотен ящиков с продуктами и х₃ ящиков со стройматериалами, получаемая трансконтинентальной фирмой  составит:

 тыс. долл.

Конечной целью  любого коммерческого предприятия  является получение максимально  возможной прибыли при имеющихся  ресурсах, поэтому  .

Составим ограничения, связанные с ограниченным количеством ресурсов:

Вес  перевозимого груза  составит тонн. По условию задачи грузоподъемность судна составляет 1110 тонн, поэтому получаем следующее ограничение: .

Площадь, занимаемая грузом, составляет м². По условию задачи площадь трюмов равна 5280 м², поэтому получаем следующее ограничение: .

Объем, занимаемый грузом, составляет м³. Вместимость грузового судна составляет 4000 м³, поэтому .

Очевидно, что  переменные х₁, х₂, х₃ могут принимать только неотрицательные значения.

Таким образом, экономико-математическая модель задачи следующая:

 

Составим компьютерную модель задачи:

2. Найдем оптимальное  решение.

Используем надстройку «Поиск решения» MSEcxel:

Получение максимально  возможной прибыли в размере 4052 тыс.долл. будет достигнуто при перевозке 434 сотни ящиков с техникой и 169 сотен ящиков со стройматериалами. Перевозка продуктов в оптимальный план не входит.

3. Определим  интервалы устойчивости полученного  плана при изменении коэффициентов  целевой функции. 

В процессе поиска оптимального решения, в MS Excel формируется отчет об устойчивости, в котором выдается интервал изменений коэффициентов целевой функции, внутри которого их изменения не приводят к изменению оптимального решения.

Сформируем  отчет об устойчивости:

В первой таблице («Ячейки переменных») представлены интервалы устойчивости для целевых коэффициентов и приведенные стоимости. Если некоторый продукт в задаче об оптимальном плане производства не входит в оптимальный план, то его приведенная стоимость меньше нуля, а ее величина показывает, насколько нужно увеличить норму прибыли этого продукта, чтобы он вошел в оптимальный план. В нашем случае оптимальные значения переменных – положительные величины, поэтому для них значения приведенной стоимости равны нулю.

В столбце «Целевая функция» даны исходные значения целевых коэффициентов: прибыль с перевозки сотни ящиков с техникой - 7 тыс.долл., прибыль с перевозки сотни ящиков продуктов – 3 тыс.долл., прибыль с перевозки сотни ящиков стройматериалов – 6 тыс.долл.

Столбцы "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьшение" содержат информацию об интервале устойчивости найденного оптимального решения. При увеличении прибыли с перевозки сотни ящиков с техникой на 9 тыс.долл и при ее уменьшении на 5,5 тыс.долл. оптимальное решение не изменяется. Аналогично, второй целевой коэффициент может изменяться в пределах от 1,14 тыс.дол.  до 1Е+30 тыс.дол, а третий целевой коэффициент - в пределах от 22 тыс.дол. до 2,54 тыс.дол.

Значения  «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» отчета по устойчивости показывают, насколько можно изменить целевой коэффициент при заданной переменной в целевой функции, оставив неизменными остальные параметры модели. Одновременное изменение двух или более коэффициентов может привести к изменению оптимального плана.

4. Определим  двойственные оценки ресурсов.

При решении  исходной задачи сразу же решается и двойственная задача, где двойственные оценки позволяет получить все тот же отчет по устойчивости (таблица «Ограничения»).

Экономическая интерпретация двойственных оценок - это «Теневая цена». Теневая цена ресурса показывает, насколько увеличится прибыль с перевозки при увеличении данного ресурса на единицу.

Если запасы ресурса избыточны (т.е. не полностью используются), то теневая цена такого ресурса не приведет к увеличению прибыли, а только увеличит неиспользованный остаток. Если ресурс используется полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на объем выпускаемой продукции, и, следовательно, на величину целевой функции.

В данной задаче все ресурсы использовались полностью (дефицитные), определим двойственные оценки ресурсов:

- ресурс «Грузоподъемность»  является дефицитным. Теневая цена  ресурса, равная 0,93 показывает, что  при увеличении грузоподъемности  на 1 тонну прибыль  трансконтинентальной  фирмы увеличится на  0,93 тыс.  долл.;

-   ресурс  «Площадь трюмов» не является  дефицитным. Теневая цена ресурса, равная 0 показывает, что при увеличении площади трансконтинентальной фирмы, при неизменной грузоподъемности и вместимости, не принесет прибыли;

-   ресурс  «Вместимость»  является дефицитным. Теневая цена ресурса, равная 0,76 показывает, что при увеличении вместимости на 1 м³, прибыль фирмы увеличивается на  0,76 тыс. долл.

Сделаем выводы о рентабельности приобретения дополнительных ресурсов и их количества. Увеличение запасов стройматериалов, техники  и количества рабочих принесут дополнительную прибыль, поэтому приобретение этих дополнительных ресурсов является рентабельным. Так как увеличении грузоподъемности судна на 1 тонну приносит большую прибыль, чем увеличение вместимости 1 м³, то ресурс «Техника» является более приоритетным. Его допустимое увеличение составляет 937 тыс.дол.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

Многокритериальная  оптимизация

Для задачи предыдущего  задания найти решение при  двух дополнительных критериях оптимизации. Для этого смоделировать следующие  условия.

Затраты на износ оборудования при перевозке сотни ящиков с техникой равны W_т=700 долл., при перевозке сотни ящиков с продуктами равны W_п=300 долл., при перевозке сотни ящиков со стройматериалами равны W_c=600 долл.

Рост репутации  фирмы при перевозке сотни  ящиков с техникой равен  H_т=1 баллов, при перевозке согни ящиков с продуктами равен Н_п=6 баллов, при перевозке сотни ящиков со стройматериалами равен H_с=3 баллов.

Рассмотреть вариант  оптимизации трех критериев: максимизации прибыли (как и было ранее в задании 2): минимизации износа оборудования; максимизации роста репутации фирмы.

1. Определить оптимальные планы и значения критериев при оптимизации по каждому из них.

2. Определить оптимальный план методом свертки (взвешивания критериев). Вес первого критерия положить равным 5, второго 3, третьего 2. При взвешивании провести операцию обезразмеривания, поделив значения целевых функций на их максимальный коэффициент. Оценить значения критериев при таком подходе.

Насколько они  далеки от оптимальных при соответствующей  однокритериальной оптимизации?

3. Определить оптимальный план методом последовательных уступок. Уступка по первому критерию может составлять не более 20%, по второму – не более 35%.

Оценить значения критериев при таком подходе. Как они отличаются от значений, определенных другими способами?

Во всех случаях  записать четкий ответ, представляющий собой развернутое управленческое решение для поставленной экономической  проблемы.

Решение:

- затраты на износ оборудования при перевозке сотни ящиков с техникой равны 700 долл., при перевозке сотни ящиков с продуктами равны 300 долл., при перевозке сотни ящиков со стройматериалами равны 600 долл. Тогда суммарные затраты на перевозку всего груза составят:

- рост репутации фирмы при перевозке сотни ящиков с техникой равен  1 баллов, при перевозке согни ящиков с продуктами равен 6 баллов, при перевозке сотни ящиков со стройматериалами равен H3 баллов. Общая сумма баллов от перевозки всех грузов составит:

Рассмотрим  вариант оптимизации трех критериев:

1) максимизации  прибыли от перевозки 

2) минимизации  износа оборудования 

3) максимизации  роста репутации фирмы: 

Т.о. имеем следующую  задачу многокритериальной оптимизации:

1. Определим оптимальные планы и значения критериев при оптимизации по каждому из них.

Ранее было получено оптимальное решение по первому  из критериев:

, .

 

Оптимальное решение  по второму критерию:

, .

 

 

Оптимальное решение  по третьему критерию:

  , .

2. Определим оптимальный план методом свертки (взвешивания  критериев), при котором от m частных критериев переходят одному критерию, получаемому следующим образом:

,

где - вес критерия;

- критерий.

Проведем операцию обезразмеривания, поделив значения целевых функций на их максимальный коэффициент. Вес первого критерия полагаем равным 5, второго 3, третьего 2.

Тогда , , .

 

Оптимальное решение  в этом случае следующее: в оптимальный  план перевозки входит 310 сотен ящиков с техникой и 400 сотен ящиков с  продуктами, перевозка стройматериалов  в оптимальный план не входит.

При этом прибыль, полученная от перевозки грузов составит составит:

(тыс. долл.)

Затраты на износ  оборудования составят:

(тыс. долл.)

Число баллов, отражающие репутацию фирмы составят

(баллов)

Полученные  значения критериев Z₁ и Z₃ найденные по этому методу меньше значений критериев, найденных при однокритериальной оптимизации, а значение критерия Z₂ - больше.

3. Определим оптимальный план методом последовательных уступок. Уступка по первому критерию может составлять не более 20%, по второму – не более 35%.

Оптимальное решение  по первому критерию .

Переходим к  минимизации функции Z₂  при условиях:

и дополнительном ограничении: или

Решаем задачу минимизации функции Z₂ при ограничениях:

Теперь уступаем по второму критерию не более чем  на 35%, поэтому дополнительное ограничение  будет иметь вид:

 или  .

Решаем задачу максимизации функции Z₃ при ограничениях:

Оптимальное решение, найденное методом последовательных уступок следующее: в оптимальный  план перевозки входит 288 сотен ящиков с техникой и 411 сотен ящиков с  продуктами, перевозка стройматериалов  в оптимальный план не входит.

При этом прибыль, полученная от перевозки грузов составит:

(тыс. долл.)

Затраты на износ  оборудования составят:

(тыс. долл.)

Число баллов, отражающие репутацию фирмы составят

(баллов)

Полученное  значение критерия Z₁ (максимума прибыли) в этом случае меньше чем в случае нахождения оптимального решения другими методами; значение критерия Z₂ больше чем в случае однокритериальной оптимизации, но меньше, чем в случае метода свертки; значение третьего критерия Z₃ меньше чем в случае однокритериальной оптимизации, но больше, чем в случае метода свертки.

Сведем полученные данные в таблицу:

Значение  критерия	Однокритериальная оптимизация	Метод свертки	Метод последовательных уступок
	4052	3370	3249
	0	337	324,9
	3330	2710	2754

 

 

 

 

Список  использованной литературы

1. Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: Учебное пособие. - 2-е изд.,испр.- М.: Дело, 2008. – 664 с.
2. Лабскер Л. Г. Теория игр в экономике (практикум с решениями задач). -  М.: Кнорус, 2012. - 264 с.
3. Методы оптимальных решений в экономике и финансах: Учебник. /под ред. В.М.Гончаренко, В.Ю.Попова. - М.: Кнорус, 2013. - 400с.
4. Орлов А.И. Теория принятия решений. - М.: Экзамен, 2006. - 576 с.
5. Соколов А. В., Токарев В. В. Методы оптимальных решений. В 2 т. -     2-е изд., испр. - М.:Физматлит, 2011. - 564 с.
6. Соловьев В.И. Методы оптимальных решений: Учебное пособие. -М.: Финансовый университет, 2012. - 364 с.