Модель Хольта-Уинтерса
Содержание:
1. Задача № 1……………………………………………………
2. Задача № 2……………………………………………………
3. Задача № 3……………………………………………………
Литература……………………………………………………
Задача № 1.
Задача 1.
Приведены поквартальные данные об объеме продаж сырой нефти в условных единицах за 4 года (всего 16 кварталов).
Задание:
- Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.
- Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- Случайности остаточной компоненты
- Независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32.
- Нормальности распределения ряда остатков по критерию RS c критическими значениями от 3 до 4,21
- Оценить точность построенной модели
- Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год
- Построить график, на котором должны быть отражены фактические, расчетные и прогнозные значения.
Квартал |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
49 |
48 |
53 |
43 |
45 |
51 |
58 |
45 |
48 |
55 |
62 |
45 |
51 |
58 |
65 |
55 |
Для проведения расчетов использовался шаблон «Модель Хольта-Уинтерса»
Исходные данные для моего варианта я скопировала в столбец 2, ячейки B9:B24.
Далее было необходимо определить значения коэффициентов а(0) и b(0), которые определяются как параметры уравнения линейной регрессии
Yрег(t) = a(0) + b(0) * t . Коэффициенты линейного уравнения можно найти через формулы:
Но для простоты
расчетов я воспользовалась
Выбираем пункт меню
«Сервис»-«Анализ данных»-«
Жмём OK. Появится диалоговое окно инструмента «Регрессия».
В поле «Входной интервал Y» указываем диапазон ячеек B9:B16.
В поле «Входной интервал X указываем диапазон ячеек А9:А16.
После нажатия кнопки «OK» появляется новый лист с результатами проведенной регрессии.
В ячейках B17 и B18 находятся значения коэффициентов линейной модели .
Получаем а(0) и b(0)
В ячейках С9:С16 найдем расчетные значения по формуле
(5).
Подставим в уравнение (5) первые 8 значений t. Получаем:
Y(1)рег=48,04 + 0,21 * 1 = 48,25
Y(2)рег=48,04 + 0,21 * 2 = 48,46
Y(3)рег=48,04 + 0,21 * 3 = 48,67
Y(4)рег=48,04 + 0,21 * 4 = 48,88
Y(5)рег=48,04 + 0,21 * 5 = 49,09
Y(6)рег=48,04 + 0,21 * 6 = 49,30
Y(7)рег=48,04 + 0,21 * 7 = 49,51
Y(8)рег=48,04 + 0,21 * 8 = 49,72
В ячейках F5:F8 рассчитаем значения коэффициентов сезонности F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) по формулам
(8)
.
Подставим значения и получим:
F(-3) = [49 / 48,25 + 45 / 49,09] / 2 = 0,97
F(-2) = [48 / 48,46 + 51 / 49,30] / 2 = 1,01
F(-1) = [53 / 48,67 + 58 / 49,51] / 2 = 1,13
F(0) = [43 / 48,88 + 45 / 49,72] / 2 = 0,89
Для расчета коэффициента модели a(t) (коэффициент модели) в ячейку D9 введем формулу
(2)
Для расчета коэффициента модели b(t) (коэффициент модели) в ячейку E9 введем формулу
(3)
Для расчета коэффициента модели F(t) (коэффициента сезонности) в ячейку F9 введем формулу
(4)
Для расчета моделируемых значений (расчетные значения моделируемого показателя) в ячейку G9 введем формулу
(1)
Так как все 4 значения связаны между собой, мы не можем посчитать их в отдельности по столбцам. Введя в соответствующие ячейки выше приведенные формулы выделяем ячейки D9:G9 и копируем их вниз до 16-го квартала. В результате будут рассчитаны значения всех коэффициентов модели и модулируемые значения экономического показателя.
В столбце 8 найдем абсолютные погрешности (остатки) модели по формуле
(9)
E(t) – остатки, погрешности.
В столбце 9 найдем значения относительных погрешностей по формуле
.
Для расчету по модулю используем встроенную функцию ABS().
Получаем следующие данные в таблице:
В столбце 10 указываем поворотные точки. Если значение E(t) больше или меньше значений E(t-1) и E(t+1), то точка считается поворотной и в соответствующей строке столбца 10 ставится «1». Если это условие не выполняется, то ставится «0».
Заполним оставшиеся столбцы 11-13 в соответствии с формулами, указанными в графах этих столбцов. Получаем:
2.Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
Модель адекватна, если ряд остатков соответствует предпосылкам метода наименьших квадратов.
- Оценка случайности ряда остатков.
Проверка проводится по критерию поворотных точек. Точка считается поворотной, если на графике она лежит либо выше, либо ниже двух соседних значений.
q = int [2 * (N – 2) / 3 – 2 * ]
Int[…] означет, что берется целая часть от числа.
q – это минимальное количество поворотных точек, при которых ряд остатков может считаться случайным,
N – объем выборки, количество опытов.
q = int [2 * (16 – 2) / 3 – 2 * ] = 6
q = 6 означает, что для выборки с объемом наблюдений N = 16 должно быть 6 поворотных точек, чтобы считать ряд остатков случайным.
Сравним p и q ,т.к. p (9) > q (6), то ряд остатков является случайным, а модель – адекватной.
- Проверка ряда остатков на случайность (по критерию Дарбина – Уотсона).
d = 2/ 2
Если полученное значение d будет больше 2, то его уточняют и находят значение d| = 4 – d . После этого значение d (d| ) сравнивается с двумя табличными значениями d1 и d2.
Полученное значение d = 1,38. Это значение попадает в интервал
1,37 ( d2 ) < 1,38 ( d ) < 2. Это означает, что ряд остатков является независимым, а модель – адекватной.
2.3. Проверка ряда остатков на нормальность распределения.
SR = (Emax – Emin) / S ,
S – среднеквадратическое отклонение.
RS = 3,56
Затем расчетное значение RS сравнивается с табличным. Если расчетное значение попадает в интервал RS1 < RS < RS2 , а в данном случае оно попадает (3 < 3,56 < 4,21), то ряд остатков считается распределенным по нормальному закону, а модель – адекватна.
Общий вывод: Так как все три проверки (на случайность, на независимость и на нормальное распределение) имеют положительный результат, то можно приступать к построению прогноза.
3. Оценить точность построенной модели.
Для того, чтобы оценить точность построенной модели, необходимо рассчитать значение относительных погрешностей.
E̅отн =
E̅отн = 4,31 %
Так как средняя относительная погрешность E̅отн ≤ 5%, то модель считается точной.
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год
Прогноз сделаем на 4 квартала вперед. Устанавливаем курсор в ячейку G25.
Введем в нее формулу для расчета Yp(17).
Yp (t+k) = [a(t) + k * b(t)] * F * (t + k – L) , где L – период сезонности, L = 4.
При расчете значений Yp(1)- Yp(16) коэффициент k всегда будет равен 1.
При расчете значений Yp(17)- Yp(20) коэффициент k увеличивается на каждом шаге. Для расчета Yp(17)- Yp(20) используем последние значения коэффициентов а(16) и b(16). В ячейки G26, G27 и G28 введите формулы для расчета Yp(18), Yp(19) и Yp(20).
Получим следующие значения:
Yp (17) = [a(16) + k * b(16)] * F * (13) = 56,98
Yp (18) = [a(16) + k * b(16)] * F * (14) = 64,75
Yp (19) = [a(16) + k * b(16)] * F * (15) = 73,04
Yp (20) = [a(16) + k * b(16)] * F * (16) = 58,39
- Построить график, на котором должны быть отражены фактические, расчетные и прогнозные значения.
Задача № 2.
Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.
Требуется рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R, %K, %D.
Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
:
Данные | |||
max |
min |
C(t) | |
Дни (t) |
1 |
2 |
3 |
1 |
858 |
785 |
804 |
2 |
849 |
781 |
849 |
3 |
870 |
801 |
806 |
4 |
805 |
755 |
760 |
5 |
785 |
742 |
763 |
6 |
795 |
755 |
795 |
7 |
812 |
781 |
800 |
8 |
854 |
791 |
853 |
9 |
875 |
819 |
820 |
10 |
820 |
745 |
756 |
Найдем экспоненциальную скользящую среднюю по формуле:
EMAt = Ct * K + EMA t-1 * (1-K)
В графе 3 имеются данные цены закрытия. Для начала рассчитаем простую скользящую среднюю (MA). Алгоритм расчета :
1) Выбираем интервал сглаживания n, в нашем случае n=5.
2) Вычислим коэффициент К (К = 2 / (n+1) = 2 / 6 = 0,333.
3) Вычислим MA для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму делим на их количество ( на 5 ) и результат записываем в таблицу в графу 4 и 5 за 5 день.
4) Перейдем на одну строку вниз в графе 5. Умножим на К данные по конечной цене, которую берем из графы 3 текущей строки. ( для 6-ого дня это будет 795 * 0,333 = 264,735.)
5) Данные по ЕМА за предыдущий день возьмем из предыдущей строки графы 5 и умножить на (1- К). (Для 6-ого дня это будет 796,4 * (1-0,333) =531,1988)
6) Складываем результаты, полученные в пунктах 4 и 5. Для 6-ого дня это будет 264,735 + 531,1988 = 795,93. Полученное значение записываем в текущую строку графы 5.
7) Повторим шаги 4,5,6 до конца таблицы.
Получаем:
Данные | |||||
max |
min |
C(t) |
MA(5) |
EMA(t) | |
Дни (t) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
858 |
785 |
804 |
||
2 |
849 |
781 |
849 |
||
3 |
870 |
801 |
806 |
||
4 |
805 |
755 |
760 |
||
5 |
785 |
742 |
763 |
796,40 |
796,40 |
6 |
795 |
755 |
795 |
796,17 |
795,93 |
7 |
812 |
781 |
800 |
796,71 |
797,29 |
8 |
854 |
791 |
853 |
803,75 |
815,86 |
9 |
875 |
819 |
820 |
805,56 |
817,24 |
10 |
820 |
745 |
756 |
800,60 |
796,83 |
Расчет момента производится по формуле :
МОМt = Сt – Ct-n
Следовательно:
MOM5 = C5- C1= 763 – 804 = -41
МОМ6 = С6- C2 = 795- 849= - 54
МОМ7 = С7- C3 = 800 -806= -6
МОМ8 = С8- C4 = 853 – 760= 93
МОМ9 = С9- C5 = 820 – 763= 57
МОМ10 = С10- C6 = 756 – 795= - 39
Рассчитаем скорость изменения цен по формуле:
ROCt = Ct / Ct-n *100%
ROC5 = C5 / C1 * 100% = 763 / 804 * 100% = 94,90%
ROC6 = С6 / C2 *100 % = 795 / 849* 100 % = 93,64%
ROC7 = С7 / C3 * 100 % = 800 / 806 * 100 % = 99,26%
ROC8= С8 / C4* 100 % = 853 / 760* 100 % = 112,24%
ROC9= С9 / C5 * 100 % = 820 / 763* 100 % = 107,47%
ROC10= С10 / C6 * 100 % = 756 / 795* 100 % =95,09%
Запишем все полученные данные МОМ и ROC в таблицу в графы 6 и 7
Данные | |||||||
max |
min |
C(t) |
MA(5) |
EMA(t) |
MOM(t) |
ROC(t) | |
Дни (t) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
858 |
785 |
804 |
||||
2 |
849 |
781 |
849 |
||||
3 |
870 |
801 |
806 |
||||
4 |
805 |
755 |
760 |
||||
5 |
785 |
742 |
763 |
796,40 |
796,40 |
-41,00 |
94,90% |
6 |
795 |
755 |
795 |
796,17 |
795,93 |
-54,00 |
93,64% |
7 |
812 |
781 |
800 |
796,71 |
797,29 |
-6,00 |
99,26% |
8 |
854 |
791 |
853 |
803,75 |
815,86 |
93,00 |
112,24% |
9 |
875 |
819 |
820 |
805,56 |
817,24 |
57,00 |
107,47% |
10 |
820 |
745 |
756 |
800,60 |
796,83 |
-39,00 |
95,09% |
Рассчитаем индекс относительной силы (RSI):
RSI = 100 – 100 / 1+AU/AD
где AU – сумма приростов конечных цен за n дней; AD – сумма убыли конечных цен за n дней.
Сначала рассчитаем все приросты и падения по формуле Ct-Ct-1 , затем вычислим AU и AD, принимая к учету интервал сглаживания. При сложении приростов и убыли за 5 дней складывать начинаем со второго дня.
AU6 = 45 + 3 + 32 = 80; AD6 =43 + 46 = 89;
AU7 = 3 + 32+ 5 = 40; AD7 = 43 + 46 =89;
AU8 = 3 + 32+ 5 + 53 = 93; AD8 = 46;
AU9 = 3 + 32+ 5 + 53 = 93; AD9 = 33;
AU10 =32 + 5 +53 = 90. AD10 = 33 + 64 = 97.
- Получив значения AU и AD рассчитаем RSI.
RSI = 100 – 100 / (1+AU/AD)
RSI 6 = 100 – 100 / (1+80/89) = 47,34
RSI 7= 100 – 100 / (1+40/89) = 31,01
RSI 8=100 – 100 / (1+93/46) = 66,91
RSI 9= 9100 – 100 / (1+93/33) = 73,81
RSI 10= 100 – 100 / (1+90/97) = 48,13
Запишем все полученные данные в таблицу:
Повышение цены |
Понижение цены |
AU |
AD |
RSI(t) | |
Дни (t) |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
1 |
|||||
2 |
45,00 |
||||
3 |
43,00 |
||||
4 |
46,00 |
||||
5 |
3,00 |
||||
6 |
32,00 |
80,00 |
89,00 |
47,34 | |
7 |
5,00 |
40,00 |
89,00 |
31,01 | |
8 |
53,00 |
93,00 |
46,00 |
66,91 | |
9 |
33,00 |
93,00 |
33,00 |
73,81 | |
10 |
64,00 |
90,00 |
97,00 |
48,13 |
Рассчитаем %R, %K, %D по следующим формулам:
%Rt = 100 * (Hn – Ct) / (Hn – Ln);
%Kt = 100 * (Ct – L5) / (H5 – L5)
%Dt =
H5 и L5 – соответственно минимальные и максимальные цены за 5 предыдущих дней, включая текущий ( по графам 1(max) и 2(min)) . Для удобства в отдельные графы запишем значения C(t)-L5, H5-C(t) и H5-L5.
Данные | ||||||||
max |
min |
C(t) |
H5 |
L5 |
C(t)-L5 |
H5-C(t) |
H5-L5 | |
Дни (t) |
1 |
2 |
3 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
1 |
858 |
785 |
804 |
|||||
2 |
849 |
781 |
849 |
|||||
3 |
870 |
801 |
806 |
|||||
4 |
805 |
755 |
760 |
|||||
5 |
785 |
742 |
763 |
870,00 |
742,00 |
21,00 |
107,00 |
128,00 |
6 |
795 |
755 |
795 |
870,00 |
742,00 |
53,00 |
75,00 |
128,00 |
7 |
812 |
781 |
800 |
870,00 |
742,00 |
58,00 |
70,00 |
128,00 |
8 |
854 |
791 |
853 |
854,00 |
742,00 |
111,00 |
1,00 |
112,00 |
9 |
875 |
819 |
820 |
875,00 |
742,00 |
78,00 |
55,00 |
133,00 |
10 |
820 |
745 |
756 |
875,00 |
745,00 |
11,00 |
119,00 |
130,00 |
Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины C(t)-L5 и H5-C(t) сглаживаются, оперируя их трехдневной суммой.
Занесем оставшиеся расчеты в таблицу:
%K |
%R |
Сумма C(t)-L5 за 3 дня |
Сумма H5-L5 за 3 дня |
%D |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
16,41% |
83,59% |
|||
41,41% |
58,59% |
|||
45,31% |
54,69% |
132,00 |
384,00 |
34,38% |
99,11% |
0,89% |
222,00 |
368,00 |
60,33% |
58,65% |
41,35% |
247,00 |
373,00 |
66,22% |
8,46% |
91,54% |
200,00 |
375,00 |
53,33% |
Построим графики для всех значений.
Биржевая диаграмма исходных данных
График исходных данных C(t) и экспоненциальной скользящей средней ЕМА(t)
5-ый день наблюдается
нисходящий тренд,
6-ой день график
экспоненциальной скользящей средней практически пересекается с
ценовым, что является сигналом разворота
тренда, рекомендуется остановить финансовые
операции и подготовиться к покупке.
7-8-й дни наблюдается восходящий тренд, рекомендуется покупка финансового инструмента
9-ый день график экспоненциальной скользящей средней пересекается с ценовым графиком, что является сигналом разворота тренда, рекомендуется готовиться к продаже финансового инструмента.
10-ый день наблюдается нисходящий тренд, рекомендуется продажа финансового инструмента.
График момента MOM(t)
6-7-ой дни график
момента находится ниже
8-9-ый дни график
момента находиться выше
10-ый день график
момента находится ниже
График индекса относительной силы RSI(t)
: в зоне «перекупленности» цены находились в 8-й и 9-й дни, что является сигналом не покупать, т.к. следует ждать понижения цен.
В зоне «перепроданности» цены не находились, но в 7-й день RSI был минимален, что является сигналом покупать, так как следует ждать повышения цен, что и подтвердилось в следующие дни
График скорости изменения цен ROC(t)
Все значения ROC (кроме ROC(7)) более 100%, что свидетельствует об относительном росте цен (сигналы о покупке).
Наиболее выгодные варианты покупки наблюдаются в 7-й и 8-й день, так как ROC резко пошел вверх.
Стохастические линии %R, %K, %D
График %К показывает, что в 5-ый день не рекомендуется проводить операции и подготовиться к покупке, так как график %К находится в зоне «перепроданности». В 6-7-ой дни график находиться в нейтральной зоне, можно совершать покупки. 8-ой день график %К находиться в критической зоне «перекупленности» рекомендуется остановить финансовые операции.
В 9-ый день график находиться в нейтральной зоне, можно совершать продажи. 10-ый день график %К находиться в критической зоне «перекупленности» рекомендуется остановить финансовые операции.
График %R является зеркальным отражением графика %К, выводы по графику %R совпадают с выводами по графику %К.
График %D показывает, что в 6-10-ой дни рекомендуется проводить финансовые операции, в данном случае покупки, так как график находиться в нейтральной зоне.
Задача № 3.
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условиях задач значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Tлет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие значения параметров и выполнить расчеты.
Вариант |
Сумма |
Начальная дата |
Конечная дата |
Время в днях |
Время в годах |
Ставка |
Кол-во начислений |
№ |
S |
Tн |
Тк |
Тдн |
Тлет |
i |
m |
10 |
5 000 000 |
08.01.02 |
22.03.02 |
90 |
5 |
55 |
4 |
