Модель Хольта Уинтерса и Дарбина Уотсона
Федеральное государственное
образовательное бюджетное
высшего профессионального образования
«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»
(Заочный финансово-
Контрольная работа
Дисциплина «Финансовая математика»
Вариант № 5
Выполнила студентка: Лепахина Я.А.
Группа № 1С-ФК421
Студенческий билет № 09ффд41885
Проверила: Концевая Н.В.
Москва 2012
СОДЕРЖАНИЕ
- Задание № 1………………………………………………………………...3
- Задание № 2……………………………………………………………….11
- Список используемой литературы……………………..………………..21
Задание 1.
Исходные данные:
квартал (t) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Y(t) |
35 |
44 |
52 |
34 |
37 |
48 |
59 |
36 |
квартал (t) |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Y(t) |
41 |
52 |
62 |
38 |
46 |
56 |
67 |
41 |
Требуется:
- Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; ; .
- Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
- Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- Случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- Независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;
- Нормальности распределения остаточной компоненты по R/S – критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
- Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
- Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение 1:
Подготовим расчетную таблицу, в которой включим столбцы t, Y, , , , .
Для заполнения Табл.2 выполним предварительный расчет.
Для определения трендовых
Воспользуемся средствами табличного процессора Microsoft Excel (Сервис/Анализ данных/Регрессия) и получим следующие данные:
Таблица 2.
Коэффициенты | |
Y-пересечение |
39,21 |
Переменная X 1 |
0,87 |
Таким образом, мы нашли значения а(0)=39,21 и b(0)=0,87.
Рассчитаем значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году.
Воспользуемся построенной регрессией (Табл.3 – столбец предсказанное Y ) для расчета коэффициента сезонности.
Наблюдение |
|
Предсказанное |
Их отношение |
Остатки | |
1 |
35 |
40,08 |
|
-5,08 | |
2 |
44 |
40,95 |
|
3,05 | |
3 |
52 |
41,82 |
|
10,18 | |
4 |
34 |
42,69 |
|
-8,69 | |
5 |
37 |
43,56 |
|
-6,56 | |
6 |
48 |
44,43 |
|
3,57 | |
7 |
59 |
45,30 |
1,302497 |
13,70 | |
8 |
36 |
46,17 |
0,779783 |
-10,17 |
- коэффициент сезонности 1 квартала 1 года;
- коэффициент сезонности 2 квартала 1 года;
- коэффициент сезонности 3 квартала 1 года;
- коэффициент сезонности 4 квартала 1 года;
- коэффициент сезонности 1 квартала 2 года, и т.д.
В качестве оценки коэффициента
сезонности 1 квартала предыдущего
года возьмем среднее
и получим: ; ; ;
F(-3)=0,86; F(-2)=1,08; F(-1)=1,27; F(0)=0,79
Оценив значения a(0), b(0) , а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), перейдем к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул:
Рассчитаем значения и .
Выберем t=0, k=1 => =>
=>
Уточним коэффициенты модели: примем t=1 и вычислим
=>
=>
=>
=>
=>
=>
Аналогично определяются остальные коэффициенты и для всех уровней исходных данных (т.е. за 16 кварталов).
Полученная таблица называется моделью Хольта-Уинтерса.
t |
|
|
|
|
|
-3 |
0,86 |
||||
-2 |
1,08 |
||||
-1 |
1,27 |
||||
0 |
39,21 |
0,87 |
0,79 |
||
1 |
35 |
40,27 |
0,93 |
0,87 |
34,47 |
2 |
44 |
44,18 |
1,82 |
1,03 |
44,49 |
3 |
52 |
50,34 |
3,12 |
1,13 |
58,43 |
4 |
34 |
49,29 |
1,87 |
0,73 |
42,14 |
5 |
37 |
48,72 |
1,14 |
0,80 |
44,28 |
6 |
48 |
51,64 |
1,67 |
0,97 |
51,33 |
7 |
59 |
57,90 |
3,05 |
1,06 |
60,13 |
8 |
36 |
55,23 |
1,33 |
0,68 |
44,44 |
9 |
41 |
53,89 |
0,53 |
0,78 |
45,35 |
10 |
52 |
56,24 |
1,08 |
0,94 |
52,76 |
11 |
62 |
61,75 |
2,41 |
1,03 |
60,89 |
12 |
38 |
58,16 |
0,61 |
0,67 |
43,80 |
13 |
46 |
57,19 |
0,13 |
0,79 |
45,68 |
14 |
56 |
59,66 |
0,84 |
0,94 |
54,03 |
15 |
67 |
65,72 |
2,40 |
1,02 |
62,15 |
16 |
41 |
61,99 |
0,56 |
0,66 |
45,31 |
Решение 2.
По столбцам исходных данных (Табл.2.) и полученных данных (Таблица 4) рассчитаем остатки
Получим следующие результаты
E(t) |
Eотн. |
E(t) |
Eотн. | ||
1 |
0,53 |
1,52 |
9 |
-4,35 |
10,62 |
2 |
-0,49 |
1,10 |
10 |
-0,76 |
1,47 |
3 |
-6,43 |
12,36 |
11 |
1,11 |
1,79 |
4 |
-8,14 |
23,94 |
12 |
-5,80 |
15,27 |
5 |
-7,28 |
19,67 |
13 |
0,32 |
0,70 |
6 |
-3,33 |
6,93 |
14 |
1,97 |
3,52 |
7 |
-1,13 |
1,91 |
15 |
4,85 |
7,23 |
8 |
-8,44 |
23,46 |
16 |
-4,31 |
10,51 |
Для проверки точности рассчитаем
относительную погрешность
используя функции табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Математические/ABS).
По полученным результатам определим среднее значение с помощью функций табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Статистические/СРЗНАЧ).
Средняя относительная ошибка аппроксимации составляет 8,87%, которая больше 5% => модель имеет невысокую точность.
Решение 3.
Для проверки случайности остатков рассмотрим график остатков
По графику найдем количество поворотных точек – это точки максимума и минимума. => Р=6.
Определим по формуле
При n=16 получим
Так как Р=6= =6 => свойство случайности остатков выполняется.
Проверка независимости
Подготовим , с помощью функций табличного процессора Microsoft Excel СУММКВ и СУКВРАЗН (Мастер функции/Категория – Математические/СУММКВ; Мастер функции/Категория – Математические/СУММКВРАЗН) => =345,16; =327,08 =>
Критические значения равны и (по условию задачи); d=1,06< , т.е. d< => автокорреляция присутствует и модель не адекватна.
Проверим отсутствие автокорреляция по первому коэффициенту автокорреляции.
Подготовим с помощью табличного процессора Microsoft Excel СУММПРОИЗВ (Мастер функции/Категория – Математические/СУММПРОИЗВ) => = 172,2 => .
Критическое значение (по условию задачи).
=> свойство независимости остаточной компоненты не выполняется.
Рассчитаем значения R/S по формуле
и найдем с помощью табличного процессора Microsoft Excel МАКС и МИН (Мастер функции/Категория – Статистические/МАКС; Мастер функции/Категория – Статистические/МИН ) => =4,85; =-8,44
S(E) найдем с помощью
табличного процессора Microsoft Excel (Мастер
функции/Категория –
Получим
Полученное значение R/S сравним с табличными значениями [3;4,21] => R/S=3,35 входит в критический интервал => свойство нормального распределения остатков выполняется.
Таким образом, по точности модель удовлетворительна, но не является адекватной, так как не выполняется свойство независимости остатков. Прогноз по этой модели проводить нецелесообразно.
Решение 4.
Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=18 по t=20).
Для первого квартала будущего года положим в основной формуле модели Хольта-Уинтерса
t=16, k=1 и найдем
Решение 5.
График 2.
Из графика видно, что
расчетные данные практически согласуются с фактическими,
что говорит об удовлетворительном качестве
прогноза.
Задание 2.
Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням.
Требуется рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R, %K, %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
дни |
цены | ||
макс. |
мин. |
закр. | |
1 |
718 |
660 |
675 |
2 |
685 |
601 |
646 |
3 |
629 |
570 |
575 |
4 |
585 |
501 |
570 |
5 |
598 |
515 |
523 |
6 |
535 |
501 |
506 |
7 |
555 |
500 |
553 |
8 |
580 |
540 |
570 |
9 |
580 |
545 |
564 |
10 |
603 |
550 |
603 |
Решение
Найдем экспоненциальную скользящую среднюю
Экспоненциальная скользящая средняя рассчитывается по формуле
, где
n=5 (по условию задачи) => расчет начинаем с пятой строки.
Для определения начального значения используем формулу простой скользящей средней, т.е. ≈ МА .
Простую скользящую среднюю найдем с помощью табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Статистические/СРЗНАЧ) и получим
МА ≈ =545,33
Дальнейшие расчеты выполним по формуле экспоненциальной скользящей средней при . Получим
Покажем исходные цены закрытия и найденную экспоненциальную среднюю на графике, проведем анализ.
С 5-го по 9-ый день ЕМА(t) ниже чем С(t) => рекомендуются покупки.
В 10-ый день С(t) уходит вверх, это сигнал разворота к покупкам.
момент
Рассчитаем момент по формуле , где t>n+1 => расчет выполняем с шестого уровня, т.е.
и т.д.
Результаты вычислений
занесем в соответствующий
t |
с(t) |
МОМ(t) |
1 |
675 |
|
2 |
646 |
|
3 |
575 |
|
4 |
570 |
|
5 |
523 |
|
6 |
506 |
-169 |
7 |
553 |
-93 |
8 |
570 |
-5 |
9 |
564 |
-6 |
10 |
603 |
80 |
Покажем на графике линию момента
График 4.
С 6-го по 8-ый день график момента целиком находится в области ниже нулевого уровня; рекомендуется продажа. Разворот тренда произошел с 8 - 10 день.
скорость изменения цен
Для расчета используем формулу
n=5 (по условию), t≥n+1 => t=6 =>
=>
и т.д.
Результаты вычислений занесем в соответствующий столбец расчетной таблицы.
Таблица 8.
t |
с(t) |
ROC (t) | |
1 |
675 |
||
2 |
646 |
||
3 |
575 |
||
4 |
570 |
||
5 |
523 |
||
6 |
506 |
75 | |
7 |
553 |
86 | |
8 |
570 |
99 | |
9 |
564 |
99 | |
10 |
603 |
115 | |
Покажем на графике линию скорости изменения цен
График скорости изменения
цен целиком находится в
индекс относительной силы
Для использования формулы расчета индикатора RSI
предварительно найдем изменение цен закрытия , для всех дней t≥2.
Из значений выберем положительные, характеризующие повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен с помощью функции ЕСЛИ табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Логические/ЕСЛИ).
Для всех t≥6 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли закрытия за 5 дней до дня t (n=5 задано по условию) с помощью функции СУММ табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Математические/СУММ).
Теперь найдем величины
и т.д.
Результаты вычислений
занесем в соответствующий
t |
с(t) |
изменен. |
повышен. |
понижен. |
AU(t,5) |
AD(t,5) |
RSI(t) |
1 |
675 |
||||||
2 |
646 |
-29 |
0 |
29 |
|||
3 |
575 |
-71 |
0 |
71 |
|||
4 |
570 |
-5 |
0 |
5 |
|||
5 |
523 |
-47 |
0 |
47 |
|||
6 |
506 |
-17 |
0 |
17 |
0 |
169 |
0 |
7 |
553 |
47 |
47 |
0 |
47 |
140 |
25 |
8 |
570 |
17 |
17 |
0 |
64 |
69 |
48 |
9 |
564 |
-6 |
0 |
6 |
64 |
70 |
48 |
10 |
603 |
39 |
36 |
0 |
100 |
23 |
81 |
Рассмотрим график RSI:
6-ой день – график находится ниже нейтральной зоны, нельзя проводить финансовые операции в соответствии с сигналами других индексов.
7-10 дни – график
в зоне «перекупленности»,
10 день – график
вышел из зоны «
%R, %K, %D
Для расчета стохастических индексов необходима полная информация: - минимальная и максимальная цена ( , );
- ;
- ;
- .
Расчет возможен для t≥5.
1. Заполним столбцы и начиная с пятой строки с помощью функций МИН и МАКС табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Статистические/МИН; Мастер функции/Категория – Статистические/МАКС).
Таблица10.
t |
H(t,5) |
L(t,5) |
1 |
||
2 |
||
3 |
||
4 |
||
5 |
718 |
570 |
6 |
685 |
501 |
7 |
629 |
515 |
8 |
598 |
501 |
9 |
598 |
500 |
10 |
603 |
540 |
2. Заполним столбцы разницы , ,
Таблица 11.
t |
C(t)-L(t,5) |
H(t,5)-C(t) |
H(t,5)-L(t,5) |
1 |
|||
2 |
|||
3 |
|||
4 |
|||
5 |
-47 |
195 |
148 |
6 |
5 |
179 |
184 |
7 |
38 |
76 |
114 |
8 |
69 |
28 |
97 |
9 |
64 |
34 |
98 |
10 |
63 |
0 |
63 |
3. Вычислим индексы %К и %R по формулам
4. Вычислим трехдневные суммы для ( ) и ( ), начиная с (n+2) дня, т.е. начинаем с седьмого уровня. Для нахождения трехдневной суммы воспользуемся функцией СУММ табличного процессора Microsoft Excel (Мастер функции/Категория – Математические/СУММ).
Таблица12.
t |
C(t)-L(t,5) |
H(t,5)-L(t,5) |
%K |
%R |
sum(C-L) |
sum(H-L) |
1 |
||||||
2 |
||||||
3 |
||||||
4 |
||||||
5 |
-47 |
148 |
-32 |
132 |
||
6 |
5 |
184 |
3 |
97 |
||
7 |
38 |
114 |
33 |
67 |
-4 |
446 |
8 |
69 |
97 |
71 |
29 |
112 |
395 |
9 |
64 |
98 |
65 |
35 |
171 |
309 |
10 |
63 |
63 |
100 |
0 |
196 |
258 |
5. Вычислим %D по формуле
Таблица 13.
t |
H(t,5) |
L(t,5) |
C(t)-L(t,5) |
H(t,5)-C(t) |
H(t,5)-L(t,5) |
%K |
%R |
sum(C-L) |
sum(H-L) |
%D |
1 |
||||||||||
2 |
||||||||||
3 |
||||||||||
4 |
||||||||||
5 |
718 |
570 |
-47 |
195 |
148 |
-32 |
132 |
|||
6 |
685 |
501 |
5 |
179 |
184 |
3 |
97 |
|||
7 |
629 |
515 |
38 |
76 |
114 |
33 |
67 |
-4 |
446 |
-1 |
8 |
598 |
501 |
69 |
28 |
97 |
71 |
29 |
112 |
395 |
28 |
9 |
598 |
500 |
64 |
34 |
98 |
65 |
35 |
171 |
309 |
55 |
10 |
603 |
540 |
63 |
0 |
63 |
100 |
0 |
196 |
258 |
76 |
