Модели Леонтьева

Содержание:

Введение……………………………………………….…………………………..3

1. Балансовый метод планирования………………….…………………………..4

2. Модели Леонтьева……………….……………………………………………..6

2.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики…….…………………….8

2.2. Продуктивные модели Леонтьева……………………….……..………..…11

2.3. Вектор полных затрат………………………………………………………12

2.4. Модель равновесных цен………………..………………………………….13

Заключение……………………………………………………………………….14

Список литературы…………………………………………...………………….16

Введение

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Моделирование – это основной специфический метод науки, который используется для анализа и синтеза систем управления. Это особенный познавательный способ, когда субъект исследования вместо непосредственного исследуемого объекта познания выбирает или создает подобный ему вспомогательный объект – образ или модель, исследует его, а полученные новые знания переносит на объект-оригинал. Благодаря активной роли субъекта сам процесс моделирования имеет творческий, активный характер.

Для анализа и синтеза систем управления в экономике используют различные экономико-математические методы и модели. Важными является условие и особенности их применения в зависимости от цели исследования, принятой системы гипотез и т.д.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Предметом моделирования экономических процессов являются математические модели реальных экономических объектов. Объектом изучения моделирования экономики является экономика и её подразделения.

Итак, целью работы будет изучения модели Леонтьева «затраты-издержки», универсальность которой представляет редкостное явление, её математической интерпретации макроэкономического равновесия и экономического роста (ведь равновесие всегда выходит на первый план в масштабах всей экономики). Для этого необходимо  рассмотреть специфику межотраслевого баланса как балансового метода, и изучить модели «затраты-выпуск» Леонтьева.

1. Балансовый метод планирования

В методологии планирования пропорций, темпов и объемных показателей ведущее место принадлежит балансовому методу, который позволяет сравнивать народнохозяйственные потребности с возможностями их удовлетворения, т.е. с имеющимися и будущими ресурсами.

Разработка плана сопровождается сопоставлением материальных балансов нескольких тысяч видов продукции. Кроме того, разрабатываются балансы основных фондов и производственных мощностей, балансы труда и рабочей силы, система финансовых балансов, транспортные, топливные и другие виды балансов. Они отражают конкретные пропорции между общественными потребностями и ресурсами.

Баланс народного хозяйства является наиболее общей взаимосвязанной системой экономических показателей, характеризующих процесс расширенного воспроизводства. Основная задача баланса заключается в определении на плановый период необходимого объема и темпов роста совокупного общественного продукта, а также пропорций в его производстве, распределении и конечном использовании. Схема баланса народного хозяйства включает четыре основных раздела.

Основным разделом является баланс совокупного общественного продукта. Он характеризует производство общественного продукта в отраслевом и социально-экономическом (по формам собственности) разрезах, его использование на производственное и непроизводственное потребление и накопление. Кроме того, в балансе содержится характеристика совокупного продукта по двум подразделениям общественного производства. В баланс совокупного общественного продукта входят материальные балансы, а также межотраслевой баланс.

Составной частью баланса народного хозяйства является баланс производства, распределения, перераспределения и конечного использования национального дохода. Он включает в себя балансы денежных доходов и расходов населения, балансы доходов и расходов предприятий, бюджет государства и областей.

Сводный баланс трудовых ресурсов как составная часть баланса народного хозяйства характеризует трудовые ресурсы государства и их использование.

Баланс основных фондов показывает движение основных фондов, их состав и структуру. Его составной частью является баланс производственных мощностей. Указанная система балансов не позволяет получить общей характеристики межотраслевых связей. Она не дает развернутой характеристики распределения конкретных видов продукции в стоимостном и натуральном выражении по отдельным отраслям. Поэтому важное значение приобретает построение межотраслевого баланса производства и распределения продукции, охватывающего движение совокупного общественного продукта с выделением отраслей. Синтезируя в единой таблице частные материальные балансы, межотраслевой баланс представляет собой систему показателей, дающих подробную характеристику воспроизводства совокупного общественного продукта по стоимости (производство продукции – столбцы таблицы) и по натурально-вещественному составу (распределение продукта – строки таблицы) как в целом по народному хозяйству, так и по отдельным отраслям. По экономическому содержанию и характеру информации выделяют две основные разновидности межотраслевых балансов: отчетные и плановые. В свою очередь, все межотраслевые балансы модно классифицировать в соответствии с единицами измерения продукции на стоимостные, натурально-продуктовые и трудовые. Межотраслевые балансы делятся также на статические и динамические. Статические отражают экономические связи, складывающиеся в пределах определенного периода времени (обычно года). Динамические описывают динамические связи, складывающиеся в народном хозяйстве и обусловленные характером и способом распределения совокупного продукта на фонды воспроизводства.

2. Модели Леонтьева.

Леонтьев В.В., по всеобщему признанию, один из самых  выдающихся ученых-экономистов 20-го столетия. Следует отметить, что наиболее талантливые экономисты, выработавшие полезные для реальной экономики экономико-математические модели, выполняли государственные задания или планы-заказы. К этой же  категории экономистов по праву можно причислить В.В.Леонтьева. Леонтьев родился в Петербурге, где посещал университет; затем он уехал в Берлин для завершения работы над диссертацией. В США он прибыл в 1931 г. в качестве сотрудника Национального бюро экономических исследований, где он продолжил работу над анализом по схеме затраты – выпуск. В 1931 г. он поступил на работу в Гарвардский университет, профессором которого он являлся с 1946 г. Когда Бюро статистики труда Министерства труда США в связи с потребностями, обусловленными войной, приступило к построению большой таблицы затраты - выпуск, Леонтьев участвовал в этой работе в качестве специального консультанта. Принцип взаимозависимости имеет довольно длинную историю. Его истоки можно обнаружить в учении французских физиократов XVIII в.

В процессе совершенствования и усложнения модели «затраты—выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший  технический прогресс, перестройку  промышленности, изменения ценовых  пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.

В отличие от многих кабинетных экономистов-теоретиков Василий Леонтьев видит свою главную цель в том, чтобы его теоретические и методологические разработки служили экономической практике, открывая перед ней все новые возможности прогресса. Разработанная им методология межотраслевого анализа на основе принципа "затраты - выпуск" послужила основой составления межотраслевых балансов для многих стран, в том числе и для Советского Союза.  
          Леонтьевские принципы разработки межотраслевых балансов на основе широкого применения математики и ЭВМ вызвали большой интерес со стороны советских экономистов и политиков. Заметно выросло и количество научных исследований в области народнохозяйственного планирования и прогнозирования.  
          Советские экономисты, творчески используя леонтьевскую методологию анализа межотраслевых связей, внесли существенный вклад в разработку межотраслевых балансов, теорию и практику управления структурными сдвигами в экономике.  
          К большому сожалению, эйфория рынка, которая имела место в первые годы реформ, привела к потере управляемости экономикой и практически к полному уничтожению планирования. Именно это многие отечественные и зарубежные специалисты считают главной и самой страшной ошибкой реформаторов.  
          Леонтьев с пониманием и глубоким удовлетворением воспринял рыночные реформы в России, о чем он писал в своих статьях и говорил в многочисленных интервью.   
          Проблема создания рациональной и высокоэффективной межотраслевой экономики чрезвычайно важна и многогранна.  Так, он показал несостоятельность утверждения о том, что в американском экспорте преобладают капиталоемкие товары, а в импорте - трудоемкие. На основе межотраслевого анализа он сделал вывод: в действительности США экспортируют трудоемкие товары, а импортируют капиталоемкие. Данный вывод вошел во все западные учебники по экономике как "парадокс Леонтьева".   
         Особое внимание Леонтьев уделяет развитию компьютерного образования. 
          Несмотря на то что наша экономика сильно отстает от американской по уровню автоматизации и компьютеризации, мы не можем игнорировать и недооценивать поставленную Василием Леонтьевым проблему "техника - человек", которая по своей важности и значимости относится к разряду глобальных. 

2.1 Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами – так называемыми таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована в ЦСУ в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах экономиста В. Леонтьева.

Итак, будем предполагать, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на некоторое число n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные продукты. Разумеется, такое представление об отрасли является в значительной мере абстракцией, так как в реальной экономике даже на отдельном предприятии производится значительное разнообразие выпускаемой продукции. Однако представление об отрасли в указанном выше смысле (как «чистой» отрасли) все же полезно, так как оно позволяет провести анализ сложившейся технологической структуры народного хозяйства, изучить функционирование народного хозяйства «в первом приближении».

Итак, предполагаем, что имеется n различных отраслей O1, …, Оn, каждая из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени [Т0, Т1](обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

хi – общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i;

хij – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;

yi – объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, - объем конечного потребления.

Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск хi отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид

хi = хi1 + хi2 + … + хin + уi, (1.1)

Будем называть уравнение (1.1) соотношениями баланса.

Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, будем в дальнейшем иметь в виду стоимостный баланс.

В. Леонтьев рассматривая развитие американской экономики в 30-е годы ХХ века, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно величины ij = остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии.

В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема хj продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве аij хj, где аij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорится, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, на оплату труда), а также на нормативную прибыль.

Итак, согласно гипотезе линейности имеем

хij = аijхi (i, j = 1, …, n). (1.2)

Коэффициенты аij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

Подставляя соотношения (1.2) в уравнение баланса (1.1), получаем систему n линейных уравнений относительно переменных х1, х2,…, хn:

х1 = а11 х1 + а12 х2 + … а1n хn + у1,

х2 = а21 х1 + а22 х2 + … а2n хn + у2,

…………………………………..

хn = аn1 х1 + аn2 х2 + … аnn хn + уn,

или, в матричной записи,

х = Ах + у, (1.3)

где а11 а12 … а1n х 1 у1

А = а21 а22 … а2n , х = х 2 , у = у2 .

……………. … …

аn1 аn2 … аnn хn уn

Вектор х называется вектором валового выпуска, вектор у – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.

2.2. Продуктивные модели Леонтьева.

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора   с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (1.3) — вектор  , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (1.3) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

Теорема: Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора   с неотрицательными компонентами уравнение (1.3) имеет решение   с неотрицательными компонентами, то матрица А продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы (1.3) хотя бы для одного положительного вектора  , чтобы матрица А была продуктивной. Перепишем систему (1.3) с использованием единичной матрицы Е в виде

(Е-А) х = y, (2.4)

Если существует обратная матрица (E - А)-1 , то существует и единственное решение уравнения (2.4):

х = (Е-А)-1y, (2.5)

Матрица (Е  -  А)-1 называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)-1 существует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

        n

    ∑ aij   ≤ 1

     i<1

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

2.3. Вектор полных затрат.

Пусть А ≥ 0. Равенство

(Е – А)-1 = Е + А + А2 + … (3.6)

справедливо, как мы уже знаем, в том случае, когда матрица А продуктивна, имеет экономический смысл.

х = у + Ау + А2у + … (3.7)

В чем смысл распадения вектора х на слагаемые у, Ау, А2у и т.д.? Для получения валового выпуска, обеспечивающего конечное потребление у, нужно прежде всего произвести набор товаров, описываемый вектором у. Но этого мало – ведь для получения у нужно затратить ( а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором Ау. Но и этого мало – для получения Ау нужно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором А(Ау) = А2у, и т.д. В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск х должен составляться из слагаемых у, Ау, А2у и т.д., что и зафиксировано в формуле (3.7). В соответствии с этим рассуждением сумму у + Ау + А2у + … называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска х совпадает с вектором полных затрат.

Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим такой пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

металлургия;

электроэнергетика;

угледобыча.

Для получения конечного выпуска у = (у1 , у2 , у3)Т необходимо прежде всего произвести:

у1 т металла; у2 т электроэнергии; у3 т угля.

Но для производства у1 т металла, в свою очередь, необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества металла, электроэнергии и угля. То же самое справедливо и в отношении производства у2 т электроэнергии и у3 т угля

В свою очередь, для производства у11 т металла необходимо затратить какие-то количества металла, электричества и угля, и т.д. Искомый валовой выпуск х представляет собой сумму затрат 0-го порядка (вектор у), 1-го порядка (вектор Ау), 2-го порядка (А2у) и т.д.

2.4. Модель равновесных цен.

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х1 , х2, …, хn)Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р1 , р2 , …, рn)Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р1 х1. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а11, второй отрасли в объеме а21, и т.д., n-й отрасли в объеме аn1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а11 р1 + а21 р2 + … + аn1 рn. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х1 первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х1(а11р1+а21р2+…+ аn1рn). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V1 (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х1р1 = х1(а11р1+а21р2+…+ аn1рn) + V1.

Разделив это равенство на х1 получаем:

р1 = а11 р1 + а21 р2 + … + аn1 рn + v1,

где v1 = V1/х1 – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р2 = а12 р1 + а22 р2 + … + аn2 рn + v2,

рn = а1n р1 + а2n р2 + … + аnn рn + vn.

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

р = АТр + v,

где v = (v1, v2, …, vn)Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на АТ.

Заключение

Аналитический метод «затраты выпуск» наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия, он способствовал усовершенствованию математического аппарата.

Метод Леонтьева отличает ясность и простота, универсальность и глобальность, другими словами пригодность для экономики отдельных стран и регионов, для мирового хозяйства в целом.

По мнению В. Леонтьева, межотраслевой анализ может служить основным инструментом стратегического планирования

В настоящее время в национальной экономике существуют и продолжают возникать сложные проблемы, требующие межотраслевых обоснований. Использование же метода “затраты–выпуск” межотраслевого баланса позволяет не только изучить взаимозависимость между различными отраслями экономики, проявляющуюся во взаимовлиянии цен, объемов производства, капиталовложений и доходов, но и решать следующие задачи:

- прогноз основных макроэкономических  показателей (выпуск валового и  конечного продукта, чистая продукция, материальные затраты, производственное  потребление продукции и др. в  разрезе отраслей материального  производства) в зависимости от  изменения как внешних, так и внутренних факторов;

- прогноз оптовых цен продукции отраслей материального производства, уровня инфляции, стоимости потребительской корзины;

- прогноз уровня безработицы;

- прогноз экологической обстановки  и оценка затрат на проведение природоохранных мероприятий;

- оценка  эффективности конкретных предложений  по размещению производительных  сил;   
- оценка эффективности межтерриториальных экономических связей;

- и многих других.

Таким образом, на основе моделей В. Леонтьева может быть разработан комплекс   моделей функционирования экономики с целью определения рациональных стратегий управления социально-экономическим развитием региона и страны в целом.

Список литературы:

1. Гранкин, А.Г. Василий Леонтьев в мировой и отечественной экономической науке / А.Г. Гранкин // Вопросы экономики. - М.,2009. № 3.-С. 24-32

2. Бункина М.К. Экономические модели Василия Леонтьева.//Финансовый менеджмент.- М., 2002, №1.С. 13-28.

3. Попов, А.М. Экономико-математические методы и модели: Учебник для бакалавров / А.М. Попов. - М.: Юрайт, 2013. –

 4. Балдин, К.В. Математические методы и модели в экономике: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. - М.: Флинта, МПСИ, 2012. - 328 c. 
5. Белолипецкий, А.А. Экономико-математические методы: Учебник для студ. высш. учеб. заведений / А.А. Белолипецкий. - М.: ИЦ Академия, 2010. - 368 c.

6. Белолипецкий А.А.: Экономико-математические методы. – М: Академия 2010

7. www.wassily.leontief.net - Сервер Леонтьева В.В