Модели сетевого планирования

ГОУВПО  Воронежский государственный технический  университет 

Кафедра экономики, производственного менеджмента  и организации машиностроительного производства 
 
 
 
 
 

     КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу  «Методы и модели в экономике»

Вариант 6 
 
 
 
 

                                                                   Выполнил  гр.      

                                                                   Руководитель        

Дата  защиты__  _______2009г. 
 

Воронеж 2009

     Модели  сетевого планирования 

     1. Что принимают под терминами работа и события, какие разновидности работ вы знаете?

     Работа  – это любое действие (процесс  или связь), приводящее к определенному результату – событию.

     Различают следующие виды работ:

     1. Действительная работа, т.е. протяженный  во времени процесс, требующий затрат ресурсов.

     2. Ожидание, т.е. протяженный во  времени процесс, не требующий  затрат трудовых ресурсов (твердение бетона, остывание металла, высыхание краски).

     3. Фиктивная работа (зависимость) –  это логическая связь между  событиями, не требующая затрат труда, материальных ресурсов и времени.

     Эта работа указывает, что возможность  выполнения одной работы непосредственно  зависит от результатов другой и  продолжительность ее равна нулю.

     Событие – это момент завершения одной  или нескольких работ и может быть моментом начала одной или нескольких следующих работ. Событие обозначается кружком, внутри которого ставится номер события (рис. 1). 

Рисунок 1 - Обозначение событий 

     2. Опишите основные требования, которым должен удовлетворять сетевой график.

     При создании сложного объекта сетевой  график строят по частям, а затем их объединяют (сшивают). Построение и объединение осуществляется по следующим правилам:

     1. Сеть строится от исходного  события к завершающему, направление  стрелок – слева направо.

     2. Длина и наклон стрелок (в  немасштабном графике) значения  не имеют, но все они должны  быть однонаправлены – от предшествующего  события (с меньшим номером)  к последующему событию (с большим  номером).

     3. В сети не должно быть замкнутых  контуров, т.е. цепочек работ, возвращающихся к одному из предшествующих событий или соединяющих событие само с собой (рис. 2). 

Рисунок 2 - Замкнутый контур 

     4. По возможности не следует  допускать пересечения стрелок.  Иногда, для того чтобы избежать  этого, некоторые события и работы смещаются вверх или вниз (рис.3).

Рисунок 3 - Вариант “разворачивания” графика

     5. Два события могут быть соединены  только одной работой. Чтобы  избежать такой ситуации, вводится  дополнительная фиктивная работа (рис. 4). 
 

Рис. 4. Введение в график фиктивной работы 

     6. В сети не должно быть, кроме  одного исходного, висячих - хвостовых  - событий, т.е. событий, в которые не входит ни одна работа (рис. 5). 

Рисунок 5 - Хвостовое событие 

     7. В сети не должно быть, кроме  одного завершающего, висячих - тупиковых - событий, т.е. событий, из которых не выходит ни одна работа (рис. 6). 
 

Рисунок 6 - Тупиковое событие

     3. Раскройте содержание, метод определения и значение критического пути в моделях сетевого планирования.

     Путь  – это любая последовательность работ, приводящая от одного события  к другому, в которой последующее  событие каждой работы является предшествующим для следующей за ней работы и  в которой каждая работа встречается  только один раз.

     Полный  путь – это любой путь сети, начало которого совпадает с исходным событием, а конец – с завершающим. Самый продолжительный из полных путей называется критическим. Длительность критического пути определяет время, за которое можно выполнить комплекс работ.

     Найдем  критический путь для представленной выше сети. Запишем все полные пути и определим их продолжительность. 

1) (1) (2) (5) (8) (9) (10)      30 ч

2) (1) (2) (3) (5) (8) (9) (10)       35 ч

3) (1) (2) (3) (6) (7) (8) (9) (10)max   50 ч

4) (1) (2) (4) (6) (7) (8) (9) (10)       46 ч

5) (1) (2) (4) (9) (10)                 21 ч 

     Критический путь пройдет через события 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10.

     Критический путь выделяется на графике утолщенными стрелками. Для сокращения продолжительности комплекса работ в первую очередь сокращают время выполнения тех работ, которые лежат на критическом пути. 

Задачи  теории массового обслуживания 

1. Как классифицируются системы массового обслуживания (СМО)?

     Первым  признаком, позволяющим классифицировать системы массового обслуживания, является поведение требований, поступивших  в обслуживающую систему в тот момент, когда все обслуживающие аппараты заняты. Выделяются следующие типы систем:

     а) системы с потерями (если нет свободного аппарата, заявка остается необслуженной);

     б) системы с ожиданием или без  потерь (заявки дожидаются обслуживания в очереди);

     в) смешанные системы (заявки присоединяются к очереди, если она не больше определенной длины, или покидают очередь необслуженными, если закончилось допустимое время ожидания).

     Второй  признак – все системы массового  обслуживания могут быть подразделены в зависимости от количества обслуживающих аппаратов на системы с ограниченным (конечным) и с неограниченным числом обслуживающих аппаратов.

     Третий  признак – СМО подразделяются по числу требований, которые одновременно могут находиться в обслуживающей  системе, на системы с ограниченным и неограниченным потоком требований.

     Четвертый признак – СМО могут подразделяться в зависимости от дисциплины обслуживания на системы с упорядоченной очередью, с неупорядоченным (случайным) выбором из очереди и с приоритетом обслуживания. 

     2. Какие черты обладает простейший поток?

     СМО с простейшими потоками требований  обладают следующими свойствами: стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия.

     Стационарным  называется поток, характер которого с  течением времени  не меняется.

     Ординарным  называется такой поток, в котором  в любой момент времени может поступить не более одного требования.

     Потоком без последействия называется поток, в котором вероятность поступления определенного числа требований после какого-то произвольного времени t не зависит от числа требований, поступивших в систему до этого момента времени.

     Если  поток требований простейший, то его  можно описать количественно с помощью функции Пуассона:

Р_к(t) = ,                (1) 

     где Р_k(t) – вероятность того, что в течение времени t в систему поступит точно k требований на обслуживание (k = 0,1,2 …).

     Математически наличие простейшего потока требований можно определить с помощью статистической обработки данных. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и ее дисперсии 

lt = s²,        (2) 

     где lt – среднее число требований, поступивших на обслуживание за время t. 

     3. Какое распределение обычно имеет время обслуживания?

     Время обслуживания – это период, в  течение которого удовлетворяется  требование на обслуживание. Время нахождения требования в системе состоит из времени обслуживания и времени ожидания обслуживания. Время обслуживания одного требования – это случайная величина, характеризующаяся законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний. На практике чаще всего исходят из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания, в котором плотность распределения убывает с возрастанием времени.

     При показательном законе распределения  времени обслуживания функция распределения F(t)_обсл, представляющая собой вероятность того, что время обслуживания будет меньше заданной величины  t, описывается следующим образом: 

     F(t)_обсл = 1 – е^-nt,           (3) 

     где n - параметр системы обслуживания, величина, обратная среднему времени обслуживания, представляет собой интенсивность обслуживания одного требования одним аппаратом: 

     n = ,        (4) 

     где - среднее время обслуживания одного требования одним аппаратом.

     Параметр  системы массового обслуживания a 

     a  = , или       a = l × .             (5) 

     Параметр a показывает количество требований, поступающих в систему за среднее время обслуживания одного требования одним аппаратом. Поэтому количество обслуживающих аппаратов n не должно быть меньше a: 

     n ³ a.                  (6) 

     Если  это требование не выполняется, то очередь  будет расти и заявки не будут  полностью выполнены. 

Модели  межотраслевого баланса 

     1. Область применения межотраслевых и межпродуктовых балансов.

     Важнейшим условием нормального развития национального  хозяйства является сбалансированность общественного производства на всех уровнях. Эффективным аппаратом  для определения сбалансированных пропорций развития являются балансовые модели производства и распределения продукции. Использование балансовых моделей помогает органам государственного управления экономикой способствовать предупреждению возникновения диспропорций в развитии отраслей национальной экономики.

     Балансовые  модели составляются для экономических систем разных уровней. Например, на уровне национального хозяйства используется модель межотраслевого баланса производства и распределения продукции, а на уровне предприятия – модель межпродуктового баланса. 

     2. Что показывает и отражают балансовые модели?

     Суть  балансовой модели состоит в том, что затраты должны компенсироваться доходами. Данный метод позволяет для каждой отрасли определить количество продукции, которое она должна выпустить, чтобы удовлетворить потребность всех других отраслей, включая непроизводственную сферу и потребности внешней торговли. Рассмотрим балансовую модель в стоимостном выражении. 

     3. Дайте характеристику разделов  балансовой модели?

     При составлении межотраслевого баланса  заполняется специальная таблица, которая имеет четыре раздела и отражает движение продукта из одной отрасли в другую в процессе его производства и распределения: 

Таблица 1

Продолжение таблицы 1

     При составлении межотраслевого баланса  предполагается, что все национальное хозяйство разбито на «чистые» отрасли, т.е. отрасли, выпускающие один продукт. Каждая отрасль является и производящей и потребляющей.

     Для формализованной записи балансовых соотношений введем следующие обозначения:

     i - порядковый номер отрасли, производящей продукцию, i = ;

     j - порядковый номер отрасли, потребляющей продукцию, j = ;

     n - количество «чистых» отраслей, входящих в балансовую модель;

     X_i - объем валового выпуска i–й отрасли;

     y_i - объем конечного продукта i–й отрасли;

     Z_j - величина добавленной стоимости для j–й отрасли;

     X_ij - объем межотраслевой поставки из i–й отрасли в j–ю, т.е. объем продукции i–й отрасли, используемый при производстве продукции j-й отрасли.

     Первый  раздел межотраслевого баланса содержит параметры, характеризующие движение межотраслевых потоков из i-й отрасли в j-ю (X_ij). Каждая строка первого раздела баланса характеризует процесс распределения продукции, а каждый столбец – структуру материальных затрат. Таким образом, в первом разделе межотраслевого баланса отражается та часть совокупного общественного продукта, которая функционирует в сфере материального производства. Поэтому этот раздел называют «промежуточный продукт».

     Сумма показателей по i–й строке отражает общий объем продукции i–й отрасли, которая отправляется во все остальные отрасли. Сумма показателей j–го столбца – это общий объем продукции из всех отраслей, которая поступает в j–ю отрасль. Эта величина – материальные затраты j–й отрасли. В модели выполняется следующее соотношение:  

      = ,      (1) 

     т.е. общий производственный выпуск всех отраслей соответствует общему производственному  потреблению всех отраслей.

           Второй раздел межотраслевого баланса содержит величины конечного  продукта отраслей. Конечный продукт – это часть совокупного общественного продукта, которая производится в сфере материального производства, а используется в следующих направлениях: непроизводственная сфера потребления (личного и общественного); накопление основного капитала и изменение запасов материальных оборотных средств; сальдо экспорта-импорта. Второй раздел баланса характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

           Третий раздел межотраслевого баланса содержит параметры, характеризующие добавленную стоимость: сумма оплаты труда и чистого дохода отраслей, а также амортизации основных фондов, т.е. характеризует стоимостной состав национального дохода.

     Четвертый раздел используется для проверки правильности расчета баланса: 

      = ,             (2)

     т.е. валовой выпуск отраслей в стоимостном  выражении равен общим расходам этих отраслей, соответственно должны быть равны суммарный валовой  выпуск и суммарные расходы. 

Игровые модели в экономике  

     1. Сформулироуйте основную теорему теории матричных игр.

     Пусть игрок А имеет m чистых стратегий А₁, А₂, … А_i,…А_m, а игрок В имеет n чистых стратегий B₁, B₂, … B_j,…B_n. Такая игра называется игрой m х n. Если игрок А пользуется стратегией А_i, а игрок В пользуется стратегией В_j, то обозначим через а_ij  выигрыш игрока А, если а_ij > 0, или проигрыш игрока А, если а_ij < 0. Очевидно, что – это одновременно проигрыш игрока В, если а_ij > 0, и выигрыш игрока В, если а_ij < 0.

     Тогда мы   можем привести игру к матричной  форме, т.е. составить матрицу, которая называется платежной матрицей, или матрицей игры: 

     Каждая  строка этой матрицы соответствует некоторой стратегии игрока А, а каждый столбец – некоторой стратегии игрока В.

     Пример  игры. Два игрока выкидывают на пальцах  числа, причем четное число пальцев  – это выигрыш игрока А, нечетное – проигрыш игрока А. Для простоты введем ограничение – игроки выкидывают от 1 до 3 пальцев.

     Составим  платежную таблицу: 

     Проанализируем  матрицу игры: для каждой чистой стратегии игрока А определим минимальный выигрыш, т.е. определим 

a_i =

     В нашем примере a₁ = -3; a₂ = -5; a₃ = -5. Далее, среди полученных значений l_i-х определим максимальное 

a =

     В нашем примере a = -3, т.е. игрок А проигрывает 3 очка. Это число a называется нижней ценой игры, а соответствующая ему стратегия называется максиминной. В нашем примере стратегия А₁ максиминная, т.е. из всех наихудших ситуаций выбирают наилучшую. Эта величина (a) – гарантированный «выигрыш» игрока А, какую бы стратегию ни выбрал игрок В.

     Меньше  нижней цены игры игрок А никогда  не «выиграет».

     Игрок В старается максимально уменьшить свой проигрыш. Для этого определяется верхняя цена игры 

b =

     Соответствующая стратегия называется минимаксной. В нашем примере будет две  минимаксных стратегии В₁ и В₂. При этом игрок В проигрывает 4 очка.

     Теорема 1. В любой матричной игре справедливо  неравенство a £ b, т.е. нижняя цена игры никогда не превосходит верхнюю. 

     2. Геометрические методы решения  игр с матрицами 2 х n и m х 2 и их применение.

Допустим, платежная матрица задана и имеет  вид 2 х n: 

      Допустим, платежная матрица имеет вид  m х 2:

     Минимум М находится на пересечении стратегий  А₁ и А_m, остальные отбрасываются, далее игра решается как задача 2 х 2. 

     3.  В чем состоит отличие игры  с природой?

     В рассмотренных случаях оба игрока действовали наилучшим для себя способом. Однако встречаются конфликтные ситуации, в которых одна из сторон действует неопределенно, она безразлична к выигрышу и не стремится воспользоваться промахами другой стороны. Такая игра возникает, когда у нас нет достаточной осведомленности об условиях данной операции (например, условия погоды, покупательский спрос на продукцию и т.д.). Игры такого типа, когда человек вынужден выбирать стратегию (принять решение) в условиях неопределенности, называют играми с «природой», состояние которой ему полностью не известно.