Модели стационарных временных рядов и их индефикация

Содержание

    Введение……………………………………………………….2

1. Основные задачи анализа временных рядов…………….4
2. Анализ временных рядов………………………………….9
2. Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания…………………………………………………11
3. Модели стационарных временных рядов и их индефикация…13

2.3.1. Модели  авторегрессии порядка  p (AR(p)-модели)……..14

2.3.2. Модели  скользящего среднего порядка  q (MA (q) –модели)….17

Заключение………………………………………………………21

Литература………………………………………………………..23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

В последние  годы в эконометрической литературе большое внимание уделяется исследованию рядов динамики временных показателей. Разнообразные содержательные задачи экономического анализа требуют  использования статистических данных, характеризующих исследуемые экономические  процессы и развернутых во времени  в форме временных рядов. При  этом нередко одни и те же временные  ряды используются для решения разных содержательных проблем.

Далеко не всегда значения временного ряда формируются  только под воздействием каких-либо факторов. Нередко бывает, что развитие того или иного процесса обусловлено  его внутренними закономерностями, а отклонения от детерминированного процесса вызваны ошибками измерений  или случайными флуктуациями. Особый интерес представляют процессы, находящиеся  в «переходном» режиме, т.е. процессы, являющиеся по существу «стационарными», но на исследуемом промежутке времени  проявляющие свойства нестационарного  временного ряда, что объясняется  далекими от стационарного режима начальными условиями. В ситуациях, когда временной  ряд формируется под воздействием некоторого набора случайных и неслучайных  факторов, анализ отдельных временных  рядов, как результирующих, так и  факторных, имеет огромное значение. Это необходимо для правильной идентификации  моделей, которые строятся по информации об исследуемых процессах (векторные  авторегрессии, модели коррекции ошибок, динамические модели с распределенными запаздываниями и т.п.).

При анализе  временных рядов основное внимание уделяется исследованию, описанию и/или  моделированию их структуры. Цель таких  исследований, как правило, шире просто моделирования исследования соответствующих  процессов. Построенная модель обычно используется для экстраполяции  или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием  при выборе среди нескольких альтернативных моделей. Построение хороших моделей  ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные  модели могут использоваться для  статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.

В связи с  наличием ошибок измерения экономических  показателей, наличием случайных флуктуаций, свойственных наблюдаемым системам, при исследовании временных рядов  широко применяется вероятностно-статистический подход. В рамках такого подхода  наблюдаемый временной ряд понимается как реализация некоторого случайного процесса. При этом неявно предполагается, что временной ряд имеет какую-то структуру, отличающую его от последовательности независимых случайных величин, так что наблюдения не являются набором  совершенно независимых числовых значений. (Некоторые элементы структуры ряда иногда можно выявить уже на основании  простого визуального анализа графика  ряда. Это относится, например, к  таким компонентам ряда, как тренд  и циклы.) Обычно предполагается, что  структуру ряда можно описать  моделью, содержащей небольшое число  параметров по сравнению с количеством  наблюдений, это практически важно  при использовании модели для  прогнозирования. Примерами таких  моделей служат модели авторегрессии, скользящего среднего и их комбинации - модели AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

При построении моделей связей в долгосрочной перспективе  необходимо учитывать факт наличия  или отсутствия у анализируемых  макроэкономических рядов стохастического (недетерминированного) тренда. Иначе  говоря, приходится решать вопрос об отнесении  каждого из рассматриваемых рядов  к классу рядов, стационарных относительно детерминированного тренда (или просто стационарных) - TS (trend stationary) ряды, или  к классу рядов, имеющих стохастический тренд (возможно, наряду с детерминированным  трендом) и приводящихся к стационарному (или стационарному относительно детерминированного тренда) ряду только путем однократного или k-кратного дифференцирования  ряда - DS (difference stationary) ряды. Принципиальное различие между этими двумя классами рядов выражается в том, что в  случае TS ряда вычитание из ряда соответствующего детерминированного тренда приводит к  стационарному ряду, тогда как  в случае DS ряда вычитание детерминированной  составляющей ряда оставляет ряд  нестационарным из-за наличия у него стохастического тренда .  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. Основные задачи анализа  временных рядов.

Принципиальные  отличия временного ряда от последовательности наблюдений, образующих случайную выборку, заключаются в следующем:

во-первых, в  отличие от элементов случайной  выборки члены временного ряда не являются независимыми;

во-вторых, члены  временного ряда не обязательно являются одинаково распределенными, так  что P{xt < x} P{xt < x} при t t.

Это означает, что  свойства и правила статистического  анализа случайной выборки нельзя распространять на временные ряды. С другой стороны, взаимозависимость  членов временного ряда создает свою специфическую базу для построения прогнозных значений анализируемого показателя по наблюденным значениям.

Генезис наблюдений, образующих временной ряд (механизм порождения данных). Речь идет о структуре  и классификации основных факторов, под воздействием которых формируются  значения временного ряда. Как правило, выделяются 4 типа таких факторов.

Долговременные, формирующие общую (в длительной перспективе) тенденцию в изменении  анализируемого признака xt. Обычно эта  тенденция описывается с помощью  той или иной неслучайной функции fтр(t) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту  функцию называют функцией тренда или  просто - трендом.

Сезонные, формирующие  периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Поскольку эта функция (е) должна быть периодической (с периодами, кратными «сезонам»), в ее аналитическом  выражении участвуют гармоники (тригонометрические функции), периодичность которых, как  правило, обусловлена содержательной сущностью задачи.

Циклические (конъюнктурные), формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием  долговременных циклов экономической  или демографической природы (волны  Кондратьева, демографические «ямы»  и т.п.) Результат действия циклических  факторов будем обозначать с помощью  неслучайной функции (t).

Случайные (нерегулярные), не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие на формирование значений временного ряда как раз и обусловливает стохастическую природу элементов xt, а, следовательно, и необходимость интерпретации x1,…, xT как наблюдений, произведенных над случайными величинами 1,…, Т. [17] Будем обозначать результат воздействия случайных факторов с помощью случайных величин («остатков», «ошибок ») t.

Конечно, вовсе  не обязательно, чтобы в процессе формирования значений всякого временного ряда участвовали одновременно факторы  всех четырех типов. Выводы о том, участвуют или нет факторы  данного типа в формировании значений конкретного ряда, могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи, так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда. Однако во всех случаях предполагается непременное участие случайных  факторов. Таким образом, в общем  виде модель формирования данных (при  аддитивной структурной схеме влияния  факторов) выглядит как:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (1)

где i = 1, если факторы i-го типа участвуют в формировании значений ряда и i = 0 - в противном  случае.

Основные задачи анализа временных рядов. Базисная цель статистического анализа временного ряда заключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого ряда:

определить, какие  из неслучайных функций присутствуют в разложении (1), т.е. определить значения индикаторов i;

построить «хорошие»  оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении (1);

подобрать модель, адекватно описывающую поведение  случайных остатков t, и статистически  оценить параметры этой модели.

Успешное решение  перечисленных задач, обусловленных  базовой целью статистического  анализа временного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в  первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Приведем кратко основные элементы эконометрического  анализа временных рядов.

· Большинство  математико-статистических методов  имеет дело с моделями, в которых  наблюдения предполагаются независимыми и одинаково распределенными. При  этом зависимость между наблюдениями чаще всего рассматривается как  помеха в эффективном применении этих методов. Однако разнообразные  данные в экономике, социологии, финансах, коммерции и других сферах человеческой деятельности поступают в форме  временных рядов, в которых наблюдения взаимно зависимы, и характер этой зависимости как раз и представляет главный интерес для исследователя. Совокупность методов и моделей  исследования таких рядов зависимых  наблюдений называется анализом временных  рядов. Главная цель эконометрического  анализа временных рядов состоит  в построении по возможности простых  и экономично параметризованных  моделей, адекватно описывающих имеющиеся ряды наблюдений и составляющих базу для решения, в первую очередь, следующих задач:

(a) вскрытие механизма  генезиса наблюдений, составляющих  анализируемый 

(b) временной  ряд;

(c) построение  оптимального прогноза для будущих  значений временного ряда;

выработка стратегии  управления и оптимизации анализируемых  процессов.

· Говоря о генезисе образующих временной ряд наблюдений, следует иметь в виду (и по возможности  модельно описать) четыре типа факторов, под воздействием которых могут  формироваться эти наблюдения: долговременные, сезонные, циклические (или конъюнктурные) и случайные. При этом не обязательно  в процессе формирования значений конкретного  временного ряда должны одновременно участвовать факторы всех четырех  типов. Успешное решение задач выявления  и моделирования действия этих факторов является основой, базисным отправным  пунктом для достижения конечных прикладных целей исследования, главные  из которых упомянуты в предыдущем пункте.

· Приступая  к анализу дискретного ряда наблюдений, расположенных в хронологическом  порядке, следует в первую очередь  убедиться, действительно ли в формировании значений этого ряда участвовали  какие-либо факторы, помимо чисто случайных. При этом под «чисто случайными»  понимаются лишь те случайные факторы, под воздействием которых генерируются последовательности взаимно не коррелированных  и одинаково распределенных случайных  величин, обладающих постоянными (не зависящими от времени) средними значениями и дисперсиями.

Если в результате проверки такой статистической гипотезы выяснилось, что имеющиеся наблюдения взаимно зависимы (и, возможно, неодинаково  распределены), то приступают к подбору  подходящей модели для этого ряда. Множество моделей, в рамках которого ведется этот подбор, ограничивается обычно следующими классами моделей: (а) классом стационарных временных  рядов (которые используются, в основном, для описания поведения «случайных остатков»), (б) классом нестационарных временных рядов, которые являются суммой детерминированного тренда и  стационарного временного ряда, (в) классом нестационарных временных  рядов, имеющих стохастический тренд, который можно удалить последовательным дифференцированием ряда (т.е. путем  перехода от ряда уровней к ряду разностей первого или более высокого порядка).

В рамках эконометрического  анализа временных рядов макроэкономических показателей российской экономики, проводимого в настоящей работе, мы объединяем ряды, входящие в классы (а) и (б), в один класс, который, следуя общепринятой в последнее время  практике[см., например, Maddala, Kim (1998),, называем классом TS-рядов (trend stationary series - ряды, стационарные относительно детерминированного тренда). Адекватным методом остационаривания временных рядов, принадлежащих  классу (б), является вычитание из ряда детерминированного тренда. Напротив, для рядов, принадлежащих классу (в), адекватным методом остационаривания ряда является переход от ряда уровней к ряду разностей (первого или более высокого порядка).

· Стационарные (в широком смысле) временные ряды xt характеризуются тем, что их средние  значения Ext, дисперсии Dxt и ковариации () = E[xt Ext)(xt+ Ext+)] не зависят от t, для  которого они вычисляются. Взаимозависимости, существующие между членами стационарного  временного ряда, как правило, могут  быть адекватно описаны в рамках моделей авторегрессии порядка p (AR(p)-моделей), моделей скользящего  среднего порядка q (MA(q)-моделей) или  моделей авторегрессии со скользящими  средними в остатках порядка p и q (ARMA(p, q)-моделей) [6]. 

· Временной  ряд xt называется интегрированным (проинтегрированным) порядка k, если последовательные разности kxt этого ряда порядка k (но не меньшего порядка!) образуют стационарный временной  ряд. Поведение таких рядов, в  том числе рядов, содержащих сезонную компоненту, в эконометрических прикладных задачах достаточно успешно описывают  с помощью моделей авторегрессии  проинтегрированного скользящего  среднего порядка p, k и q (ARIMA(p, k, q)-моделей) и некоторых их модификаций. К  этому классу относится и простейшая модель стохастического тренда - процесс  случайного блуждания (ARIMA(0, 1, 0)). Приращения случайного блуждания образуют последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин (“белый шум”). Поэтому  процесс случайного блуждания называют также “проинтегрированным белым  шумом”.

В настоящее  время в класс интегрированных  рядов порядка k включают также ряды, у которых разность порядка k (но не меньшего!) является процессом, стационарным относительно детерминированного тренда. В нашей работе используется именно такое определение. При этом если сам временной ряд является стационарным или стационарным относительно детерминированного тренда (TS-рядом), то он определяется как  интегрированный ряд нулевого порядка.

При наличии  сезонности получить стационарный ряд  иногда возможно, переходя к разностям  не соседних значений ряда, а значений, отстоящих на соответствующее число  единиц времени. Например, при квартальных  данных для достижения стационарности бывает достаточно перейти к последовательности разностей значений ряда, отстоящих  на 4 единицы времени.

Подобрать модель для конкретного временного ряда {xt}, t = 1, 2,…, T это значит определить подходящее параметрическое семейство  моделей в качестве допустимого  множества решений, а затем статистически  оценить параметры модели на основании  имеющихся наблюдений x1, x2,…, xT. Весь этот процесс принято называть процессом  идентификации модели, или просто идентификацией. Для правильной идентификации модели временного ряда необходимо решить вопрос о том, является ли исследуемый временной ряд стационарным, стационарным относительно детерминированного тренда (т.е. суммой детерминированных компонент и стационарного ряда) или в его составе содержится стохастический тренд. Решению этой задачи для ряда российских макроэкономических рядов посвящена основная часть настоящей работы.

В ситуациях, когда  временные ряды {xt} и {yt}, t = 1, 2,…, T, являются исходными данными для построения регрессии y на x, причем воздействие  единовременного изменения одной  из них (x) на другую (y) растянуто (распределено) во времени, большой прикладной интерес  представляют так называемые модели с распределенными лагами. В рамках этого специального класса моделей  проводится, в частности, эконометрический анализ таких важных экономических  явлений, как «процесс частичного приспособления», «модели адаптивных ожиданий» и  др.

Важную роль в системах поддержки принятия экономических  решений играет прогнозирование  экономических показателей. Методы автопрогноза, основанные на анализе  временных рядов, экстраполируют имеющийся  в наличии ряд только на основании  информации, содержащейся в нем самом. Такого рода прогноз может оказаться  эффективным лишь в кратко- и, максимум, в среднесрочной перспективе. Серьезное  решение задач долгосрочного  прогнозирования требует использования  комплексных подходов, и в первую очередь привлечения различных (в  том числе, статистических) технологий сбора и анализа экспертных оценок.

Эффективный подход к решению задач кратко- и среднесрочного автопрогноза это прогнозирование, основанное на использовании «подогнанных» (идентифицированных) моделей типа ARIMA(p, k, q), включая, в качестве частных  случаев, и модели AR-, MA- и ARMA.

Весьма широко распространены в решении прикладных задач кратко- и среднесрочного автопрогноза и так называемые адаптивные методы, позволяющие по мере поступления  новых данных обновлять ранее  сделанные прогнозы с минимальной  задержкой и с помощью относительно несложных математических процедур. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 2. Анализ временных  рядов

2.1. Стационарные  временные ряды и их основные  характеристики

Поиск модели, адекватно  описывающей поведение случайных  остатков t анализируемого временного ряда xt, производят, как правило, в  рамках класса стационарных временных  рядов.

Определение 2.1. Ряд xt называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей m наблюдений такое же, как и для m наблюдений , при любых , и t1,…, tm.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 из предположения о строгой  стационарности временного ряда xt следует, что закон распределения вероятностей случайной величины xt не зависит  от t, а значит, не зависят от t и  все его основные числовые характеристики, в том числе: среднее значение Ext = и дисперсия Dxt = 2.

Очевидно, значение определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый  временной ряд xt, а постоянная величина характеризует размах этих колебаний. Поскольку закон распределения  вероятностей случайной величины xt одинаков при всех t, то он сам и  его основные числовые характеристики могут быть оценены по наблюдениям x1,…, xT. В частности:

оценка среднего значения, оценка дисперсии.

Автоковариационная  функция (). Значения автоковариационной функции статистически оцениваются  по имеющимся наблюдениям временного ряда по формуле

где = 1,… T 1, а  вычислено по формуле (2.1).

Очевидно, значение автоковариационной функции при = 0 есть не что иное, как дисперсия  временного ряда.

Автокорреляционная  функция r(). Одно из главных отличий  последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки  заключается в том, что члены  временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень  тесноты статистической связи между  двумя случайными величинами может  быть измерена парным коэффициентом  корреляции. Поскольку в нашем  случае коэффициент измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величины r() в зависимости от значения принято говорить об автокорреляционной функции r(). График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой . Автокорреляционная функция (в отличие от автоковариационной) безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения, по определению, могут колебаться от 1 до +1. Кроме того, из стационарности следует, что r() = r(), так что при анализе поведения автокорреляционных функций ограничиваются рассмотрением только положительных значений . 

Существуют общие  характерные особенности, отличающие поведение автокорреляционной функции  стационарного временного ряда. Другими  словами, можно описать в общих  чертах схематичный вид коррелограммы  стационарного временного ряда. Это обусловлено следующим общим соображением: очевидно, чем больше разнесены во времени члены временного ряда xt и xt+, тем слабее взаимосвязь этих членов и, соответственно, тем меньше должно быть по абсолютной величине значение r(). При этом в ряде случаев существует такое пороговое значение r0, начиная с которого все значения будут тождественно равны нулю.

Частная автокорреляционная функция rчаст(). С помощью этой функции  реализуется идея измерения автокорреляции, существующей между разделенными тактами  времени членами временного ряда xt и xt+, при устраненном опосредованном влиянии на эту взаимозависимость  всех промежуточных членов этого  временного ряда. Частная автокорреляция 1-го порядка может быть подсчитана с использованием соотношения:

где среднее  значение анализируемого стационарного  процесса.

Частные автокорреляции более высоких порядков могут  быть подсчитаны аналогичным образом  по элементам общей корреляционной матрицы R = ||rij||, в которой rij = = r(xi, xj) = r(|i j|), где i, j = 1,…, T и r(0) = 1. Так, например, частная автокорреляция 2-го порядка  определяется по формуле:

Эмпирические (выборочные) версии автокорреляционных функций  получаются с помощью тех же соотношений (2.4), (2.5) при замене участвующих в  них теоретических значений автокорреляций r() их статистическими оценками .

Полученные таким  образом частные автокорреляции rчаст(1),rчаст (2),… можно нанести  на график, в котором роль абсциссы выполняет величина сдвига . Знание автокорреляционных функций r() и rчаст() оказывает существенную помощь в  решении задачи подбора и идентификации  модели анализируемого временного ряда.

Использование свойств этой функции в прикладном анализе временных рядов определяется как «спектральный анализ временных  рядов». Достаточно полное описание этого  подхода приведено, например, в [Дженкинс, Ватс (1971, 1972)] и [Ллойд, Ледерман (1990)]. Применительно  к статистическому анализу экономических  рядов динамики этот подход не получил широкого распространения, т.к. эмпирический анализ спектральной плотности требует в качестве своей информационной базы либо достаточно длинных стационарных временных рядов, либо нескольких траекторий анализируемого временного ряда (и та и другая ситуация весьма редки в практике статистического анализа экономических рядов динамики).

Для содержательного  анализа важно, что величина спектральной плотности характеризует силу взаимосвязи, существующей между временным рядом xt и гармоникой с периодом 2/. Это  позволяет использовать спектр как  средство улавливания периодичностей в анализируемом временном ряду: совокупность пиков спектра определяет набор гармонических компонентов  в разложении . Если в ряде содержится скрытая гармоника частоты , то в нем присутствуют также периодические члены с частотами /2, /3 и т.д. Это так называемое «эхо», повторяемое спектром на низких частотах. Эффект «эха» анализировался в статье [Granger (1963)] на примере ряда ежемесячных безналичных расчетов между банками США за 1875-1958 гг.

Можно несколько  расширить класс моделей стационарных временных рядов, используемых при  анализе конкретных рядов экономической динамики.

Определение 2.2. Ряд называется слабо стационарным (или стационарным в широком смысле), если его среднее значение, дисперсия  и ковариации не зависят от t.

2.2. Неслучайная составляющая  временного ряда  и методы его  сглаживания.

Существенную  роль в решении задач выявления  и оценивания трендовой, сезонной и  циклической составляющих в разложении (1.1.1) играет начальный этап анализа, на котором:

выявляется сам  факт наличия/отсутствия неслучайной (и зависящей от времени t) составляющей в разложении (1.1.1); по существу, речь идет о статистической проверке гипотезы

H0: Ext = = const (2.6)

(включая утверждение  о взаимной статистической независимости  членов исследуемого временного  ряда) при различных вариантах  конкретизации альтернативных гипотез  типа

HА: Ext const;

строится оценка (аппроксимация) для неизвестной  интегральной неслучайной составляющей f(t) = 1fтр(t) + 2(t) +3(t), т.е. решается задача сглаживания (элиминирования случайных  остатков t) анализируемого временного ряда xt.

Методы выделения  неслучайной составляющей в траектории, отражающей поведение временного ряда, подразделяются на два типа.

Методы первого  типа (аналитические) основаны на допущении, что известен общий вид неслучайной составляющей в разложении

f(t) = 1fтр(t) + 2(t) +3(t). (2.8)

Например, если известно, что неслучайная составляющая временного ряда описывается линейной функцией времени f(t) = 0 + 1t, где 0 и 1 некоторые  неизвестные параметры модели, то задача ее выделения (задача элиминирования случайных остатков или задача сглаживания временного ряда) сводится к задаче построения хороших оценок и для параметров модели.

Методы второго  типа (алгоритмические) не связаны ограничительным  допущением о том, что общий аналитический  вид искомой функции (2.8) известен исследователю. В этом смысле они  являются более гибкими, более привлекательными. Однако «на выходе» задачи они  предлагают исследователю лишь алгоритм расчета оценки для искомой функции f(t) в любой наперед заданной точке t и не претендуют на аналитическое представление функции .

Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной  составляющей временного ряда. Эти  методы реализуются в рамках моделей  регрессии, в которых в роли зависимой  переменной выступает переменная xt, а в роли единственной объясняющей  переменной время t. Таким образом, рассматривается  модель регрессии вида

xt = f(t, ) + t, t = 1,…, T, в которой общий вид функции  f(t, ) известен, но неизвестны значения  параметров = (0, 1,…, m). Оценки параметров  строятся по наблюдениям . Выбор  метода оценивания зависит от  гипотетического вида функции  f(t, ) и стохастической природы  случайных регрессионных остатков t.