Министерство образования и науки Российской Федерации

Марийский государственный технический университет

  Кафедра экономики и финансов

Контрольная работа  
по дисциплине

«Управление портфелем ценных бумаг»

на тему

«Модели выбора оптимального  
портфеля ценных бумаг» 
 

Выполнили: студентки группы  
ЗФК -31(2 высшее) 
Е.А.Решетова 
С.И.Попадюк  
 

                      Проверила:  Т.Н.Бобкова 
 
 

                             Йошкар-Ола

     2004 г.

      Содержание: 
 

      Введение 

1. Портфельный анализ
1. Выбор оптимального портфеля
2. Границы местоположения портфелей
3. Рыночная модель

      1.4    Графическое представление рыночной модели

      1.5   Диверсификация

      2      Модель Марковица

      2.1   Определение состава оптимального портфеля

      3      Метод, основанный на рыночной модели 
 
 

Введение

     Основная задача, которую необходимо решить при формировании портфеля ценных бумаг, -- распределение инвестором определенной денежной суммы по различным альтернативным вложениям (например, акции, облигации, наличные деньги и др.) так, чтобы наилучшим образом достичь своих целей. 

     Портфель ценных бумаг -- совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу, выступающая как целостный объект управления, имеющая своей целью улучшать условия инвестирования, придав данной совокупности такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценой бумаги и возможны только при их комбинации.  

     Тип портфеля -- это его инвестиционная характеристика, основанная на соотношении дохода и риска. 

     В первую очередь инвестор стремится к получению максимального дохода за счет выигрыша от благоприятного изменения курса акций, дивидендов, получения твердых процентов и т.д. С другой стороны, любое вложение капитала связано не только с ожиданием получения дохода, но и с постоянной опасностью проигрыша, а значит, в оптимизационных задачах по выбору портфеля ценных бумаг необходимо учитывать риск.

     В принципе для создания портфеля ценных бумаг достаточно инвестировать деньги в какой-либо один вид финансовых активов. Но современная экономическая практика показывает, что такой однородный по содержанию портфель (не диверсифицированный) встречается очень редко. Гораздо более распространенной формой является так называемый диверсифицированный портфель, т.е. портфель с самыми разнообразными ценными бумагами.

     Портфель, состоящий из акций разноплановых компаний, обеспечивает стабильность получения положительного результата. Нынешнее состояние финансового рынка заставляет быстро и адекватно реагировать на его изменения, поэтому роль управления инвестиционным портфелем резко возрастает и заключается в нахождении той грани между ликвидностью, доходностью и рискованностью, которая позволила бы выбрать оптимальную структуру портфеля. Этой цели служат различные модели выбора оптимального портфеля. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. Портфельный анализ 

Теорема об эффективном множестве 

      Инвестор выберет свои оптимальный портфель из множества портфелей, 
каждый из которых

     1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска.

2. Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

      Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством, или эффективной границей.

Достижимое множество

     Достижимое множество представляет собой все портфели, которые могут быть сформированы из группы в N ценных бумаг. Это означает, что все возможные портфели, которые могут быть сформированы из N ценных бумаг, лежат либо на границе, либо внутри достижимого множества (точки G, E, S и H на рис. 1 являются примерами таких портфелей). В общем случае, данное множество будет иметь форму типа зонта, подобную изображенной на рисунке. В зависимости от используемых ценных бумаг, оно может быть больше смещено вправо или влево, вверх или вниз, кроме того, оно может быть шире или уже приведенного здесь множества.  

Теорема об эффективном множестве в применении к достижимому множеству

      Теперь мы можем определить местоположение эффективного множества, применив теорему об эффективном множестве к достижимому множеству. Сначала выделим множество портфелей, удовлетворяющих первому условию теоремы об эффективном множестве. Если посмотреть на рис.1, то можно заметить, что не существует менее рискового портфеля, чем портфель Е. Это объясняется тем, что если провести через E вертикальную прямую, то ни одна точка достижимого множества не будет лежать левее данной прямой. При этом не существует более рискового портфеля, чем портфель H. Это объясняется тем, что если провести через H вертикальную линию, то ни одна точка достижимого множества не будет лежать правее данной прямой. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих максимальную ожидаемую доходность при изменяющемся уровне риска, является часть верхней границы достижимого множества, расположенная между точками Е и Н. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Рис.1 Достижимое и эффективное множество 

      Рассматривая далее второе условие, можно заметить, что не существует портфеля, обеспечивающего большую ожидаемую доходность, чем портфель S, потому что ни одна из точек достижимого множества не лежит выше горизонтальной прямой, проходящей через S. Аналогично, не существует портфеля, обеспечивающего меньшую ожидаемую доходность, чем портфель G, потому что ни одна из точек достижимого множества не лежит ниже горизонтальной прямой, проходящей через G. Таким образом, множеством портфелей, обеспечивающих минимальный риск при изменяющемся уровне ожидаемой доходности, является часть левой границы достижимого множества, расположенная между точками S и G.

  Учитывая то, что оба условия должны приниматься во внимание при определении эффективного множества, отметим, что нас удовлетворяют только портфели, лежащие на верхней и левой границе достижимого множества между точками Е и S. Соответственно эти портфели составляют эффективное множество, и из этого множества эффективных портфелей (efficient portfolios) инвестор будет выбирать оптимальный для себя. Все остальные достижимые портфели являются неэффективными портфелями (inefficient portfolios), поэтому мы их можем игнорировать. 

1.1.Выбор оптимального портфеля 

     Инвестор должен нарисовать свои кривые безразличия на одном рисунке с эффективным множеством, а затем приступить к выбору портфеля, расположенного на кривой безразличия, находящейся выше и левее остальных. Этот портфель 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 2. Выбор оптимального портфеля 

будет соответствовать точке, в которой кривая касается эффективного множества. Как это видно из рис. 2, таким портфелем является портфель О* на кривой безразличия I_2. Несомненно, что инвестор предпочел бы портфель, находящийся на кривой I₃, но такого достижимого портфеля просто не существует. Желание находиться на какой-то конкретной кривой не может быть реализовано, если данная кривая нигде не пересекает множество достижимости. Что касается кривой I₁ то существует несколько портфелей, которые может выбрать инвестор (например, О). Однако рисунок показывает, что портфель О* является наилучшим из этих портфелей, так как он находится на кривой безразличия, расположенной выше и левее. Рисунок 3 показывает, что инвестор с высокой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке Е. Рисунок 4 показывает, что инвестор с низкой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке S.

      Кривые безразличия для инвестора, избегающего риск, выпуклы и имеют положительный наклон. Эффективное множество в общем случае вогнуто и имеет положительный наклон, т.е. отрезок, соединяющий любые две точки эффективного множества, лежит ниже данного множества. Это свойство эффективных множеств является очень важным, так как оно означает, что существует только одна точка касания эффективного множества и кривых безразличия. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   рис.3. Выбор портфеля инвестором с высокой степенью избегания риска 

Рис. 4. Выбор портфеля инвестором с низкой степенью избегания риска 

Проблемы, возникающие при использовании «оптимизаторов» 

     Предположим, что капитан современного комфортабельного лайнера принимает решение не использовать современную навигационную систему (систему, которая с помощью компьютеров и спутников определяет местоположение корабля с точностью до нескольких футов). Вместо этого он собирается положиться на метод навигации по звездам - старинный метод, имеющий проблемы и приводящий к неточностям. Большинство людей будут считать выбор капитана в лучшем случае эксцентричным, в худшем - чрезвычайно опасным.

     Когда дело касается формирования портфелей, большинство менеджеров по инвестициям делают свой выбор аналогично капитану данного судна.  Они отрицают методы формирования портфелей, основанные на использовании компьютеров, и используют традиционные подходы. Являются ли их решения настолько же глупыми, как и решения капитана корабля? Или,  может быть, данный подход продиктован их очевидным сумасшествием?

      Концепция эффективного множества и оптимального портфеля инвестора являются основополагающими в современной инвестиционной теории. В начале 50-х годов Гарри Марковиц описал решение данных проблем. Используя математический метод известный как квадратичное программирование инвестор может обработать ожидаемые доходности, стандартные отклонения и ковариации для определения эффективного множества. Имея оценку своих кривых безразличия, отражающую их индивидуальный допустимый риск, он  может затем выбрать портфель из эффективного множества.

     С появлением дешевых и высокопроизводительных компьютеров в 80-х годах, а также с развитием сложных моделей риска стало возможным определение эффективного множества для нескольких тысяч ценных бумаг за несколько минут. Необходимое компьютерное оборудование и программное обеспечение являются доступными фактически для любого инвестиционного института. В действительности данный процесс стал настолько банальным, что даже приобрел собственную терминологию. Использование компьютера для определения эффективного множества и формирования оптимального портфеля в разговорном языке называется оптимизацией. Портфели «оптимизируются», а про инвесторов говорят, что они применяют оптимизационную технику.

     Несмотря на доступность «оптимизаторов», относительно небольшое число менеджеров по инвестициям в действительности используют их при формировании портфеля. Вместо этого они в основном полагаются на некоторый набор правил и закономерностей.

     Почему менеджеры по инвестициям отказываются применять оптимизационную технику при формировании портфелей? Причиной сопротивления являются два момента: профессиональные интересы и несоответствия в практическом воплощении концепций.

     С точки зрения профессиональных факторов большинство инвесторов просто не чувствуют себя комфортно при использовании качественных методов. В их методах принятия решений подчеркивается значение интуиции и субъективных решений. Использование оптимизационной техники в формировании портфеля требует наличия системной и формальной структуры принятия решений. Специалисты по анализу ценных бумаг должны принять на себя ответственность за формирование количественных прогнозов ожидаемой доходности и риска. Управляющие портфелями должны выполнять решения компьютера. В результате этого «оптимизаторы» уничтожают «артистизм и грацию» управления инвестициями.

     Кроме того, с внедрением «оптимизаторов» возрастает влияние новой породы профессионалов по инвестициям -- числовых аналитиков (презрительно именуемых «квантами»), которые координируют получение и применение оценок риска и доходности. Авторитет, приобретаемый числовыми аналитиками, уменьшает влияние аналитиков и менеджеров портфелей, использующих традиционные методы, к их большому неудовольствию.

     Что касается перспектив применения «оптимизаторов», то здесь существуют серьезные проблемы. В частности, они имеют тенденцию к созданию чисто интуитивных портфелей, не подходящих для реальных инвестиций. Данная ситуация объясняется не столько проблемами «оптимизаторов», сколько ошибками операторов, обеспечивающих ввод данных. Здесь работает парадигма GIGO. (что расшифровывается как «мусор на входе - мусор на выходе»).

     «Оптимизаторы» предпочитают ценные бумаги, обладающие высокими ожидаемыми доходностями, малыми стандартными отклонениями и малой величиной ковариации с другими ценными бумагами. Очень часто при оценке этих величин используется информация из старых баз данных, содержащих тысячи ценных бумаг. До тех пор пока информация о доходности и риске не будет тщательно проверена, ошибки (например, преуменьшение стандартного отклонения ценных бумаг) могут привести к тому, что «оптимизатор» будет рекомендовать произвести покупку некоторых ценных бумаг, исходя из неправильных предпосылок. Даже если информация является выверенной, экстремальные исторические события могут привести «оптимизатор» к практически неверным решениям.

     До тех пор пока программа не будет принимать во внимание операционные издержки «оптимизаторы» будут также демонстрировать плохую привычку к операциям, приводящим к большому обороту, и рекомендациям о покупке ценных бумаг низкой ликвидностью. Высокий оборот связан с существенными изменениями в портфеле от периода к периоду. Высокий оборот может являться причиной неприемлемо высок их операционных издержек, отрицательно сказывающихся на функционировании данного портфеля. Ликвидность (liquidity) означает возможность реального приобретения ценных бумаг, выбранных «оптимизатором». Выбранные бумаги могут обладать желательными характеристиками по доходности и риску, но продаваться в незначительных количествах, не позволяющих институциональным инвесторам приобрести их без ощутимых дополнительных расходов на покупку.

     Существуют различные решения данных проблем, начиная с аккуратной проверки вводимой информации и кончая введением ограничений; на максимальный Оборот и минимальную ликвидность. Тем не менее ничто не может заменить прогноз квалифицированного специалиста о доходности и риске ценных бумаг, основанный на правильном применении понятия рыночного равновесия.

      Профессиональные проблемы и проблемы практического воплощения дают менеджерам по инвестициям удобный повод избегать применения «оптимизаторов» и сконцентрироваться на использовании традиционных методов формирования портфелей. Однако рассмотрение количественных методов формирования портфелей очень важно. Повышающаяся эффективность финансовых рынков заставляет менеджеров институциональных инвесторов обрабатывать больше информации о большем количестве ценных бумаг и с большей скоростью, чем когда-либо раньше. Как следствие, они вынуждены в большей степени увеличить использование количественных инструментов анализа инвестиций. Хотя большинство из них еще не включили «оптимизаторы» в процедуру формирования портфелей, фактически все они стали более восприимчивы к необходимости создания диверсифицированных портфелей, имеющих наивысший уровень ожидаемой доходности при удовлетворительном уровне риска. 

Вогнутость эффективного множества 

      Для того чтобы понять, почему эффективное множество является вогнутым, рассмотрим следующий пример портфеля из двух ценных бумаг. Первая ценная бумага компании Ark Shipping имеет ожидаемую доходность в 5% и стандартное отклонение в 20%. Вторая ценная бумага компании Gold Jewelry имеет ожидаемую доходность в 15% и стандартное отклонение в 40%. Соответствующие им точки отмечены буквами А и G на рис.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 5. Верхняя и нижняя границы для комбинаций из двух ценных бумаг А и G 
 

1.2.Границы местоположения портфелей 

      Теперь рассмотрим все возможные портфели, состоящие из этих ценных бумаг, которые может купить инвестор. Пусть X_l обозначает долю фондов инвестора, вложенную в Ark Shipping, а Х₂ = 1 - X_l - долю, инвестированную в Gold Jewelry. Таким образом, если инвестор покупает только акции Ark Shipping, то X_l =1 и Х₂ =0. Если же инвестор покупает только акции Gold Jewelry, то X_l = 0, а Х₂ = 1. Комбинация из 0,17 Ark Shipping и 0,83 Gold Jewelry также возможна, как и комбинация из 0,33 и 0,67 соответственно или 0,5 и 0,5 соответственно. Хотя существует много других возможных портфелей, нами будет рассмотрено только семь из них: 

      Для того чтобы рассмотреть возможные инвестиции в эти семь портфелей, необходимо вычислить их ожидаемые доходности и стандартные отклонения. Мы имеем всю необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей этих портфелей согласно уравнению:

      Для портфелей А и G данные вычисления тривиальны, так как инвестор покупает акции только одной компании. Таким образом, ожидаемые доходности составляют 5 и 15% соответственно. Для портфелей В, С, D, Е и F ожидаемые доходности соответственно равны:

= (0,83 х 5%) + (0,17 х 15%) = 6,70 %;

= (0,67 х 5%) + (0,33 х 15%) = 8,30%;

= (0,50 х 5%) + (0,50 х 15%) = 10%;

= (0,33 х 5%) + (0,67 х 15%) = 11,70%;

= (0,17x 5%) + (0,83 х 15%)= 13,30%.

      Для вычисления стандартных отклонений данных портфелей необходимо применить уравнение:

      Для портфелей А и G данные вычисления опять будут тривиальными, так как инвестор приобретает акции только одной компании. Таким образом, стандартное отклонение будет составлять 20 и 40% соответственно.

      Для портфелей В, С, D, Е и F применение уравнения показывает, что стандартное отклонение зависит от значения ковариации между двумя ценными бумагами. Этот ковариационный член равняется корреляции между двумя ценными бумагами, умноженной на произведение их стандартных отклонений: 

Полагая i = 1 и j = 2, получим: 

     Рассмотрим вначале портфель D. Значение стандартного отклонения данного портфеля будет лежать в интервале между 10 и 30%, его точное значение зависит от величины коэффициента корреляции.

     Минимальным значением коэффициента корреляции является -1, отсюда можно увидеть, что нижняя граница величины будет такова:

= [500 + 400 х (-1)]^1/2 = [500 - 400]^1/2 = [100]^1/2 = 10%.

Аналогично будет максимальным, когда коэффициент корреляции будет максимальным, т.е. равным 1. Таким образом, верхняя граница будет такова:

= [500 + (400 х 1)]'/²= [500 + 400]¹/² = [900] ² = 30%.

В общем случае для любого заданного набора весов и Х₂ нижние и верхние границы будут достигаться при равенстве коэффициента корреляции величинам --1 и 1 соответственно. Подобный анализ других портфелей показывает, что их верхние и нижние границы равняются следующим значениям: 

Стандартное отклонение портфеля

      Все верхние пограничные значения лежат на прямой линии, соединяющей точки А и G. Это означает, что любой портфель, составленный из этих двух бумаг, не может иметь стандартное отклонение, соответствующее точке, лежащей правее прямой линии, соединяющей эти две ценные бумаги. Вместо этого значение стандартного отклонения должно лежать на этой прямой линии или левее нее. Это означает желательность диверсификации портфеля. А именно, диверсификация ведет к уменьшению риска, так как стандартное отклонение портфеля будет в общем случае меньше, чем средневзвешенное стандартное отклонение бумаг, входящих в портфель.

   Все нижние пограничные значения лежат на одном из двух отрезков, идущих из точки А до точки на вертикальной оси, соответствующей значению в 8,30%, а оттуда -- до точки G. Это означает, что любой портфель, составленный из данных ценных бумаг, не может иметь стандартное отклонение, изображаемое точкой, лежащей левее любого из этих двух отрезков линии. Например, портфель В должен лежать на горизонтальной линии, проходящей через вертикальную ось в точке 6,70%, но ограниченную значениями в 10 и 23,33%.

   Любой портфель, состоящий из этих двух ценных бумаг, лежит в пределах границ треугольника, изображенного на рис.5. Его фактическое местоположение зависит от значения коэффициента корреляции между этими двумя ценными бумагами. 

Фактическое местоположение портфелей 

      Если корреляция равняется нулю, то используя соответствующие значения весов Х₁ и Х₂, стандартное отклонение портфелей В, С, D, Е и F можно вычислить следующим образом:

= [(400 х 0,83²) + (1600 х 0,17²)]^1/2 = 17,94%

[(400 х 0,67²) + (1600 х 0,33²)]'/² = 18,81%

= [(400 х 0,50²) + (1600 х 0,50²)]'/² = 22,36%

= [(400 х 0,33²) + (1600 х О.б?²)]¹/² = 27,60%

= [(400 х 0,17²) + (1600 х 0,83²)]'/² = 33,37%.

   Рисунок 6 показывает местоположение данных портфелей вместе с верхними и нижними пограничными значениями, которые были представлены на рис. 5. Эти портфели, так же как и все остальные возможные портфели, состоящие из акций Ark Shipping и Gold Jewelry, лежат на изогнутой линии, наклоненной влево. Хотя это и не показано здесь, если корреляция будет меньше нуля, то данная линия сильнее изогнется влево. Если корреляция будет больше нуля, она не изогнется так сильно влево. Важно отметить, что, пока корреляция остается больше --1 и меньше 1, линия, представляющая множество портфелей, состоящих из различных комбинаций двух ценных бумаг, будет иметь некоторую степень кривизны влево. Кроме того, ее верхняя левая часть будет вогнутой.

   Аналогичный анализ может быть проведен в ситуации, когда рассматриваются больше чем две ценные бумаги. После проведения анализа, можно сделать заключение о том, что, пока корреляция остается меньше 1 и больше -- 1, верхняя левая часть кривой должна быть вогнута, как это было в случае двух ценных бумаг. Таким образом, в общем случае эффективное множество будет вогнутым. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

рис. 6. Портфели, являющиеся комбинацией ценных бумаг А и G 

Невозможность существования «впадин» на эффективном множестве 

      Предыдущий пример показал, что происходит при формировании портфеля из акций двух компаний (Ark Shipping и Gold Jewelry). Важно отметить, что при формировании портфеля из двух других портфелей действуют те же принципы. Таким образом, точка А на рис. 1.6 может представлять собой портфель с ожидаемой доходностью 5% и стандартным отклонением 20%, а точка С может представлять другой портфель ценных бумаг с ожидаемой доходностью 15% и стандартным отклонением 40%. Комбинируя эти два портфеля, можно создать третий, ожидаемая доходность и стандартное отклонение которого будут зависеть от долей, инвестированных в А и G. Если предположить, что корреляция между двумя портфелями равна нулю, то третий портфель будет располагаться на указанной изогнутой линии, соединяющей А и G.