Моделирование одномерных временных рядов

Содержание 

Введение………………………………………………………………..……стр. 2

1. Основные элементы временного ряда ..…………………….…..…..стр. 3
2. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры…….………………………………………………….…...…стр. 5
3. Моделирование тенденции временного ряда..………… ….….…...стр. 9
4. Моделирование сезонных и циклических колебаний……….…...стр. 11

Заключение  …………………………………………………………..……стр. 14

Список  литературы ……………………………………………………... стр. 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение

     Почти в каждой области встречаются  явления, которые интересно и  важно изучать в их развитии и  изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или  иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. д. Все они  изменяются во времени. С течением времени  изменяются деловая активность, режим  протекания того или иного производственного  процесса, глубина сна человека, восприятие телевизионной программы. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода в течение некоторого периода времени представляют собой временной ряд.

     Совокупность  существующих методов анализа таких  рядов наблюдений называется анализом временных рядов.

     Основной  чертой, выделяющей анализ временных  рядов среди других видов статистического  анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных  рядах они, как правило, зависимы, и характер этой зависимости может  определяться положением наблюдений в  последовательности. Природа ряда и  структура порождающего ряд процесса могут предопределять порядок образования  последовательности. 
 
 
 
 
 
 

1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА

       Чтобы построить эконометрическую  модель, нужно использовать два  типа исходных данных:

    - данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;

    - данные, характеризующие один объект  за ряд последовательных моментов (периодов) времени;

       Модели, построенные по данным  первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временного ряда.

       Временной ряд – это совокупность значений, какого – либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под взаимодействием большого числа факторов, которые подразделяются условно на три группы:

- факторы,  формирующие тенденцию ряда;

- факторы,  формирующие циклические колебания  ряда;

- случайные  факторы;

    В различных ситуациях в изучаемом  явлении или процессе этих факторов зависимость уровней рядов может  принимать различные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Эти факторы, взятые в отдельности, могут разнонаправлено воздействовать на исследываемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастную или убывающую тенденцию. Рис. 1

Yt  
 

0                                                          t

Рис. 1.  Возрастающая тенденция 

      Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, так как экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний). При наличии данных за длительный промежуток времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а так же с фазой -  бизнес цикла в которой находиться экономика страны. Рис. 2

        Yt

             0                                                                                        t

Рис. 2. Сезонная компонента 

    Некоторые временные ряды не содержат тенденции  и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и  некоторой (положительной или отрицательной) компоненты. Рис. 3

         Yt

         0                                                                                                                  t

Рис. 3. Случайная компонента 

      Хотя, реальные данные не следуют целиком и полностью на каких – либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компонента. Каждый их уровень формируется под  воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

         Большинство случаев временного  ряда можно представить как  сумму или произведение трендовой,  циклической или случайной компонент.  Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компотент, называется мультипликативной моделью временного ряда.

         Из этого следует, что основная задача эконометрического исследования временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязей двух и более временных рядов.

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ

      При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

      Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Формула для расчета  коэффициента автокорреляции имеет вид:  

r₁ = ,                                                                (рис.1)

где  

;  .

    Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так  как он измеряет зависимость между  соседними уровнями ряда t и .

    Аналогично  можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле: 

                                (рис.2)                

где

;  .

      Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшится. Можно считать, что целесообразным будет для обеспечения статистической доверенности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше (n/4)  ͭ.

    Существует  два свойства коэффициента автокорреляции:

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего ряда . Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно о наличии линейной или близко к линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющую сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях рядах. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

       Последовательность коэффициентов  автокорреляции уровней первого,  второго и т.д. порядков называют  автокорреляционной функцией временного  ряда.  График зависимости ее  значений от величины лага (порядка  коэффициента автокорреляции) называется  коррелограммой.

    Анализ  автокорреляционной функции и коррелограммой позволяет определить лаг, при котором  автокорреляция наиболее высокая, а  следовательно, и лаг, при котором  можно связать между текущим  и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, то есть при помощи анализа  автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

    Если  наиболее высоким оказался коэффициент  автокорреляции первого порядка, значит, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка  t, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляций уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

    Рассмотрим  пример: пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 12 кварталов. 

     Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт/ч

     Посмотрим на график, после  корреляции:

       10

—        

                0

                          1    2    3    4    5    6    7    8   9    10   11   12 

Рис. 4 Потребление электроэнергии жителями региона.

    От  сюда следует, что структура этого  ряда такова, что каждый следующий  уровень  зависит от уровня  и  в гораздо большей степени, чем от уровня  . Посмотрим ряд .

Рис. 5 Коррелограмма временного ряда потребления  электроэнергии.  
 

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИИ ВРЕМЕННОГО РЯДА.

    Самым распространенным методом моделирования  тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней  ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

    Поскольку зависимость от времени может  принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функции. Для построения трендов  чаще всего применяются следующие  функции:

• линейные тренд: a + b ∙ t;
• гипербола: = a + b / t;
• экспоненциальный тренд: = ;
• степенная функция: = a ∙ ;
• Парабола второго и более высоких порядков:

= a + ∙ t + ∙ + … + ∙ .

    Параметры каждого из перечисленных выше трендов  можно определить обычным МНК  используя в качестве независимой  переменной время t = 1, 2, …, n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов предварительно проводят  стандартную процедуру линеаризации.

    Существует  несколько способов определения  типа тенденции:

• Качественный анализ изучаемого процесса;
• Построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени;
• Расчет некоторых основных показателей динамики.

    В этих же целях можно использовать коэффициенты автокорреляции уровней  ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов  автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням  ряда. Если временной ряд имеете тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют.  В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда.  Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

    Выбор наилучшего уравнения в случае, когда  ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому  уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется  при компьютерной обработке данных.

    Пример 1: Расчет параметров тренда.

    Имеются помесячные данные о темпах роста  номинальной заработной платы в  РФ за 10 месяцев 1999 г. в процентах к уровню декабря 1998 г. (табл. 6). 
 

    Темпы роста номинальной  месячной заработной платы в РФ за 10 месяцев 1999 г., % к  уровню декабря 1998 г.

4. МОДЕЛИРОВАННИЕ  СЕЗОННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.

    Существует  несколько подходов к анализу  структуры временных рядов, содержащих сезонные и циклические колебания.

    Самый простейший подход, это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

    Общий вид аддитивной модели:    Y = T + S + E.

    Общий вид мультипликативной модели:   Y = T ∙ S ∙ E.

    Если  амплитуда колебаний приблизительно постоянна, то строят аддитивную модель временного ряда, в которой значение сезонной компоненты предполагаются постоянными  для   различных циклов.

    Если  амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, то строят мультипликативную  модель временного ряда, в которой  ставит уровни ряда в зависимость  от значений сезонной компоненты.

      Пример 2: Прогнозирование по аддитивной модели.

    Предположим, что по данным примера 2 требуется  дать прогноз потребления электроэнергии жителями района в течении первого  полугодия ближайшего следующего года.

    Прогнозное  значение уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением ( табл. 6) есть сумма трендовой и сезонной компонент.

    Объем электроэнергии, потребленной в течение  первого полугодия ближайшего следующего, то есть пятого года, рассчитывается как  сумма объемов потребления электроэнергии I и II кварталах пятого года, соответственно и . Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

    T = 5,715 + 0,186 ∙ t

    Получим:

     = 5,715 + 0,186 ∙ 17 = 8,877;

     = 5,715 + 0,186 ∙ 18 = 9,063.

    Значения  сезонной компоненты равны: = 0,581 (I квартал);  = -1,977 (II квартал).

    Таким образом,

     = + = 8,877 + 0,581 = 9,458;

     = + = 9,063 - 1,977 = 7,086.

    Прогноз объема потребления электроэнергии на первое полугодие ближайшего следующего (пятого) года составит:

    (9,458 + 7,086) = 16,544 млн. кВт∙ч 

    Пример 3: Прогнозирование по мультипликативной модели.

    Предположим, что нам необходимо сделать прогноз ожидаемой прибыли компании за первое полугодие ближайшего следующего года.

    Прогнозное  значение уровня временного ряда по мультипликативной модели, есть произведение трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты за каждый квартал воспользуемся уравнением тренда:

    T = 90,59 – 2,773 ∙ t;

    Получим:

     = 90,59 – 2,773 ∙ 17 = 43,401;

     = 90,59 – 2,773 ∙18 = 40,626.

    Значение  сезонной компоненты равны: = 0,913 (Iквартал), = 1,202 (II квартал).

    Таким образом,

     = ∙ = 43,401 ∙ 0,913 = 39,626;

     = ∙ = 40,626 ∙ 1,202 = 48,832.

    Прогноз ожидаемой прибыли компании на первое полугодие ближайшего следующего года составит:

    (39,626 + 48,832) = 88,458 тыс. долл. США. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение 

    Любая информация может быть получена на основании прошлого опыта, а именно теории проверенной практикой (научные  факты, методики и  расчеты, опыт каждого  человека).

    Новая информация может быть получена путем  наблюдения, то есть, изучением системы  без вмешательства в её функционирование. Также она может быть получена путем эксперимента, то есть, изучая систему при целенаправленном воздействии  на её параметры.

    Модель  исследуется для того, чтобы можно  было управлять исследуемым объектом или системой, на основании полученной по модели информации. Управление системы  связано с улучшением его характеристик  или её стабилизацией, то есть с возможностью прогнозирования поведения систем. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Список  литературы:

1. И.И. Елисеева, Эконометрика. Москва "Финансы и статистика". 2004 г.
2. Практикум по эконометрике: учебное пособие под ред. И.И. Елисеевой – М. "Финансы и статистика", 2003 г.
3. Доугерти К. Введение в эконометрику. Перевод с англ. – М. ИНФРА – М, 1999 г. – 402с.