Нагруженные уравнения и их связь с нелокальными операторами

План 

  1. Определения нагруженного уравнения, локального и нелокального операторов
  2. Понятия нагруженного функционального и интегрального уравнений.
  3. Понятие нагруженных дифференциальных уравнений.
  4. Нагруженные уравнения как метод введения обобщенных решений уравнений математической физики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Определения нагруженного уравнения, локального и нелокального операторов.

В работах [1], [2], [3] даны общие определения нагруженного уравнения, локального и нелокального операторов.

Заданное в n-мерной области Ω евклидова пространства точек (матричное или скалярное) уравнение

                                                                               (1)

называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения и(х) на принадлежащих замыканию области Ω многообразиях, размерность которых строго меньше п. Входящий в это определение оператор А принято называть нагруженным [4], [5].

Пусть: L - оператор, область определения D(L) которого представляет собой множество отображений и с единой областью определения D(u);  µ - множество операций µα с D(µα)=D(L); - композиция отображений µα и и.

Оператор L с областью определения D(L) в работе [5, с. 61] назван локальным в D(u) относительно множества операций µ, если для любого отображения образ любой точки при отображении однозначно определяется значением и(х) отображения и на элементе х или же значениями µαи(х) операторов на этом же элементе х.

Оператор А называется нелокальным относительно множества операций µ, если он не является локальным относительно µ.

Нагруженный оператор. А является нелокальным оператором, а нагруженное уравнение (1) - нелокальным уравнением.

 

 

 

 

  1. Понятия нагруженного функционального и интегрального уравнений.

Пусть: - действительная функция точек и действительных переменных , которая зависит хотя бы от одной из переменных zj,

- отображение множества на множество и(х) - действительная функция точек ; - принадлежащее множеству Ω многообразие размерности j < п, j = 0,1,...

Уравнение

=0,

где , … , , … , =u 0, =u 1,…, =u j,… называется нагруженным функциональным уравнением относительно функции   и = и(х).

Простейшие  нагруженные функциональные уравнения возникают при отыскании приближенного решения и(х) интегрального уравнения вида

            

методом конечных сумм, когда полагают

где - узлы квадратурной или кубатурной формулы. В результате для искомого приближенного решения и(х) получают уравнение

которое, очевидно, является частным случаем более общего нагруженного функционального уравнения

где G(x), и f(x) - заданные в функции; - заданное отображение замыкания   множества Ω на компакт

Если в левой  части уравнения (2) произвести возмущение, добавив линейную комбинацию значений искомого решения и(х) в фиксированных точках компакта , то получим классический пример нагруженного интегрального уравнения

Если существует хотя бы одна точка такая, что , то уравнение (3) называется локально нагруженным интегральным уравнением третьего рода. Уравнение (3) принято называть локально нагруженным интегральным уравнением первого или второго рода, в зависимости от того, или для всех .

Линейным одномерным (локально) нагруженным интегральным уравнением Вольтерра называется уравнение вида

где - заданные фиксированные точки сегмента ; λ - заданный постоянный параметр; и     f(x) - заданные непрерывные на сегменте функции.

Уравнение

для резольвенты  ядра интегрального уравнения Фредгольма второго рода

представляет  важный пример нагруженного интегрального  уравнения.

     Уравнение (4) классифицируется по родам, как и n-мерное нагруженное уравнение (3).

     Положим, что n = 2иΩ - область на евклидовой плоскости - кусочно-гладкие линии, принадлежащие . Линейным двумерным нагруженным интегральным уравнением третьего рода называется уравнение вида [5, с. 93]:

где - элемент длины кривой в точке - след искомого решения и(х) на многообразиях размерности - действительные суммируемые функции точки - действительная и суммируемая функция точки

К нагруженным  интегральным уравнениям относятся интегральные уравнения, задаваемые операторами с частными интегралами, называемые в монографии [6] интегральными уравнениями с частными интегралам

Одним из вариантов уравнения (5) является нагруженное интегральное уравнение второго рода:

где - заданные измеримые в соответствующих областях функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега.

Критерию фредгольмовости  уравнения (6) в пространстве непрерывных  функций посвящена работа [7].

Другим важным вариантом уравнения (5) служит одномерное нагруженное интегральное уравнение типа интегральных уравнений Кнезера

Здесь, как и  ранее, х3 - заданные фиксированные точки сегмента 

  (см. [8], [9, с. 170]).

Если

то уравнение (7) равносильно уравнению

где черта над  интегралом означает, что интеграл понимается в смысле Кнезера [9, с. 169]:

Частный случай уравнения (7), которое можно записать в виде

исследован  в 1948 году Н.Н. Назаровым [8] в предположении, что к(х, у) обладает обычными свойствами ядра интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода.

Пусть

     Тогда легко заметить, что уравнение (10) равносильно интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

Этот факт имеет  место для общего уравнения (7), если

          Если коэффициенты уравнения (7) не зависят от х, то условие (13) можно заменить условием

Существенность условия (14), стало быть, и (13), продемонстрируем на следующих двух примерах.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

которое получается из (10), когда и

Уравнение (15) с  симметричным ядром  эквивалентно уравнению

 

с краевым условием

При уравнение (15) имеет только тривиальное решение и(х) = 0. Когда , оно в точке х = 0 вырождается в интегральное уравнение Фредгольма первого рода

выступающее в роли нелокального краевого условия для уравнения (16). Если то из принципов экстремума (Хопфа, Зарембы-Жиро) для уравнения (16) следует, что задача Штурма-Лиувилля (16)-(17) имеет лишь тривиальное (нулевое) решение.

Пусть Тогда из общего решения уравнения (16) в силу (17) заключаем, что уравнение (15) имеет нетривиальное решение и(х) тогда и только тогда, когда µ является корнем уравнения Если же, то в качестве такого уравнения выступает уравнение которое при а > 0 не может иметь корня. В исключительном случае, когда и, стало быть, нарушено условие (11), уравнение (15) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда µ - корень уравнения

Пример 2. Рассмотрим уравнение (10) с вырожденным ядром                   непрерывным в квадрате 0 < х,у < 1.

Пусть для любой  функции символы и определены по формулам

Тогда рассматриваемое  уравнение, после умножения обеих  его частей на и применения операции интегрального усреднения, дает основание записать

Отсюда получаем, что если

то

а если же

то

Из (18)—(21) заключаем: если то исследуемый вариант уравнения (10) эквивалентен уравнению Фредголъма второго рода

если  соблюдено условие (20), то оно сводится к нагруженному функциональному уравнению

которое однозначно разрешимо тогда и  только тогда, когда

Здесь уместно отметить работу Х.М. Карова [10], где через интеграл Римана-Стильтьеса в банаховом пространстве определен оператор, сопряженный оператору

и в случае, когда λ - характеристическое число уравнения (7) с непрерывным в квадрате ядром к(х,у), с коэффициентами и свободным членом f(x) из найдено необходимое и достаточное условие его разрешимости в пространстве

Следует обратить внимание (см. [11], [12], [13, с. 148]), что собственные  колебания нагруженной среды сводятся к нагруженному интегральному уравнению, которое эквивалентно интегральному уравнению в интегралах Стильтьеса и Стильтьеса-Радона. Интегралам Стильтьеса-Радона и общей теории интегральных уравнений посвящены основополагающие работы Н.М. Гюн-тера [11], [12].

Пусть теперь

  для любого j = 1,2,...,n. Тогда широкий класс нагруженных интегральных уравнений типа Вольтерра образуют уравнения следующих видов:

 

Здесь, как и  ранее, - искомое решение,

  фиксированные точки из и соответственно.

Уравнение (22) при принимает вид:

    Если же то из (22) или (23) переходим к уравнению

К уравнению (24) примыкает и уравнение с двумя  переменными пределами:

          Известно (см., например, [9, с.146]), что если ядро

где - непрерывная в квадрате функция, то для любой функции существует единственное решение уравнения (24), которое может быть получено методом последовательных приближений.

Заслуживают внимания и нагруженные интегральные неравенства, получаемые из (22) после замены знака = на знак <. Работа [14] посвящена неравенству вида

 

 

  1. Понятие нагруженных дифференциальных уравнений.

Нагруженное уравнение (1) называется нагруженным дифференциальным уравнением в области если оно содержит хотя бы одну производную от искомого решения и(х) на принадлежащих многообразиях ненулевой меры.

Общее определение  нагруженных дифференциальных операторов (уравнений) дано в работе [1]. Как заметил И.С. Ломов [15], это определение включает как подкласс и дифференциальные граничные операторы. A.M. Krall [16] дифференциальными граничными операторами

назвал (обыкновенные) дифференциальные операторы L, содержащие в дифференциальном выражении Lu неизвестную функцию и в фиксированных точках интервала. А.Д. Искендеров в работах [17], [18] нагруженным дифференциальным уравнением называл «дифференциальное уравнение, в которое входят также значения искомой функции и ее производных в фиксированных точках области его задания.

Многие явления в сложных  эволюционных системах с памятью  существенно зависят от предыстории  этой системы. Эти явления, как правило, описываются нагруженными дифференциальными уравнениями, например, уравнениями следующих видов:

которые Волътерра назвал интегродифференциалъными уравнениями эллиптического, гиперболического и параболического типов соответственно. Здесь - оператор Лапласа по

  - заданные суммируемые функции.

        Пусть - фиксированные точки сегмента и функция при решения и = u(x,t) уравнения (26) таковы, что

для любого Тогда уравнению (26) можно придать следующий вид:

       Если же положить ядро где Г(z)- гамма-функция Эйлера, и ввести выражение

то из (26) получим  следующее модельное нагруженное  уравнение параболического типа:

Входящее в (27) интегродифференциальное выражение известно как производная дробного порядка α от u(x,t) по t в смысле Капуто. В общем случае действие оператора на функцию и(х, t) определяется следующей формулой:

 

Уравнение (27) при α>2 и более общее уравнение

где относятся к классу существенно нагруженных или спектралъно-нагруженных дифференциальных уравнений по терминологии М.Т. Дженалиева и М.И. Рамазанова [19].

Когда уравнение (28) записывается в виде

При уравнение (29) редуцируется к уравнению

 

Если µ не зависит от х, то уравнение (30) эквивалентно следующей системе нагруженных уравнений:

Очевидна существенная взаимосвязь нагруженных дифференциальных уравнений и обратных задач. Это хорошо прослеживается на простом примере обратной задачи для уравнения

в полуполосе 0 < t < Т, х > 0 евклидовой плоскости точек (x,t), которая состоит в отыскании функции и функции и = u(x,t), удовлетворяющих, наряду с условием Тихонова при , следующим условиям: где - заданные функции из классов соответственно, Нетрудно видеть, что обратная задача редуцируется к прямой задаче

для следующего спектрального нагруженного уравнения параболического типа:

с условием А.Н. Тихонова

А.И. Кожанов [20]-[22] развил математическую технологию, основанную на переходе от обратной задачи к новой прямой краевой задаче для нагруженного уравнения с частными производными.

Важным примером нагруженных дифференциальных уравнений является стационарное односкоростное уравнение переноса [23]

в фазовой области Здесь обозначает плотность частиц, летящих в направлении              из точки - заданная в области Ω положительная и ограниченная функция, характеризующая поглощение среды; λ - спектральный параметр; Θ(x,y,ξ) и F(x,y) - заданные функции.

В прямоугольной  области евклидовой плоскости R2 рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными действительными функциями

 

Эта система  является заслуживающим внимание примером нагруженных систем в частных  производных дробного порядка.

Если Ω - содержащая начало координат область на плоскости комплексного переменного то уравнение

где

- оператор Коши-Римана, относится к классу нагруженных эллиптических систем с двумя неизвестными функциями

Система (32) в  определенном смысле является обобщением системы (33) с коэффициентами тождественно равными нулю.

Исследованию  задачи Римана-Гильберта для различных вариантов уравнения (29) посвящены работы [24], [25].

Следует отметить, что в основе математических моделей  нелокальных физико-биологических процессов фрактальной организации, как правило, лежат нагруженные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка [26], [27], в том числе и уравнения вида (31). К нагруженным дифференциальным уравнениям приводят краевые задачи со смещением для уравнений с частными производными [28]. Классификации нагруженных дифференциальных уравнений как скалярных, так и матричных, а также важнейшим примерам этих уравнений посвящена вторая глава книги [5] (см. также [4]). Здесь же уместно отметить работы И.С. Ломова [15], [29], где на основе развития метода спектрального разложения В.А. Ильина [30], [31] на случай нагруженных обыкновенных дифференциальных операторов, определяемых на множестве разрывных функций, доказана теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка.

 

  1. Нагруженные уравнения как метод введения обобщенных решений уравнений математической физики.

В монографиях [4], [26], [27], [28], [32] содержатся различные  применения нагруженных уравнений  как метода исследования задач математической биологии, математической физики, теории математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью и физики фракталов, краевых задач со смещением и теории упругих оболочек.

Нагруженные уравнения  выступают как метод решения  локальных и нелокальных задач для уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений [28], [16].

В настоящее  время установлена существенная взаимосвязь краевых задач со смещением и нагруженных уравнений. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений эту связь можно увидеть на следующем примере: пусть v(x) - решение нагруженного уравнения

с коэффициентами тогда функция

на интервале 0 < x < 1 является решением задачи со смещением

 

для уравнения

         Нагруженные уравнения можно использовать и как метод введения обобщенных решений уравнений в частных производных [33], [28].

Рассмотрим  одномерное волновое уравнение

в области евклидовой плоскости R2 точек            

В пространстве обобщенным решением уравнения (34) можно назвать любую функцию являющуюся решением нагруженного функционального уравнения

Уравнение (35) представляет собой специальную форму записи теоремы Даламбера о том, что  любое регулярное в выпуклой области Ω решение u(z) уравнения (34) представимо в виде

где - действительные непрерывные функции переменных          

Функцию и = и(х,у), обладающую тем свойством, что u(x,0) и uy(x,0) принадлежат пространству L[0,r], можно принять за обобщенное решение уравнения

в области если оно удовлетворяет нагруженному уравнению

где - оператор дробного интегрирования порядка µ > 0 с началом в точке и с концом в точке 𝛈 > ξ:

В случае, когда и(х,0) и иу(х,0) при 0 < х < r удовлетворяют условию Гельдера порядка соответственно, это определение совпадает с определением обобщенного решения задачи Коши: для уравнения (36) класса по терминологии К.И. Бабенко [34, с.148], [35, с.38].

          Положим, что Ω - ограниченная область плоскости комплексной переменной z=х+iу, граница которой состоит из конечного числа непересекающихся кусочно-гладких замкнутых линий. В области Ω рассмотрим уравнение

где

- оператор Коши-Римана, w(z) = u(z)+iv(z) - искомая, a f(z) – заданная функции комплексной переменной z = х + iу.

Обобщенное  решение уравнения (36) с правой частью можно ввести как решение нагруженного интегрального уравнения

которое в теории функций комплексного переменного  известно под названием формулы  Бореля-Помпею.

Уравнение (37) следует  из формулы Грина для оператора 

Любое решение и нагруженного уравнения, задаваемого формулой Грина [5, с. 145] для линейного дифференциального оператора легко интерпретируется как обобщенное решение соответствующего уравнения Сказанное прокомментируем на примере уравнения

 где

Ω - область из граница которой состоит из конечного числа непересекающихся замкнутых (п-1)-мерных гладких поверхностей; - непрерывные в замыкании функции.

      Пусть:

- оператор, сопряженный к оператору L; - направляющие косинусы внешней нормали к границе в точке                  - конормаль (относительно L) в точке ;                  а = (а1, а2, ...,ап);

ди/дν* - производная по направлению конормали от функции и(х) в точке х; v = v(x) - произвольная функция из области определения D(L*) оператора L*, принадлежащей

Тогда обобщенное решение уравнения (38) определяется как функция            и = и(х), удовлетворяющая нагруженному уравнению

Если v и или же и и v обращены в нуль на то нагруженное уравнение (39) вырождается в интегральное уравнение Фредгольма первого рода

Хорошо известно, что уравнение (40) лежит в основе определения слабогорешения задачи Дирихле и/ = 0 для уравнения (38).

При наличии  специального (фундаментального) решения v = G(x, у) у оператора L, которое обращается в бесконечность определенного порядка при х = у, уравнение (39) можно записать в виде (6).

В случае, когда оператор а в качестве функции v мож;но взять, например, фундаментальное решение уравнения Фурье Lu =0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

  1. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка//Дифференц. уравнения.- 1976.- Т. 12, №1.-С. 103-108.
  2. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // ДАН СССР. - 1978.-Т. 242, №5.-С. 1008-1011.
  3. Nahushev A.M. A nonlocal problem and the Goursat problem for a loaded equation of hyperbolic type, and their application to the prediction of ground moisture // Dokl. Akad. Nauk SSSR. - 1978. - V. 242, № 5. - P. 1243-1247.
  4. Доюеналиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. - Алматы: Компьютерный центр ИТПМ, 1995. - 270 с.
  5. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.
  6. Калитвин А. С. Линейные операторы с частными интегралами. - Воронеж;: ЦЧКИ, 2000. - 252 с.
  7. Забрейко П.П., Калитвин А.С, Фролова Е.В. Об интегральных уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 4. -С. 538-546.
  8. Назаров Н.Н. Об одном новом классе линейных интегральных уравнений // Труды Ин-та мат. и мех. АН УзССР. - 1948. - Вып. 4. - С. 77-106.
  9. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. Т. 4. - 804 с.
  10. Каров Х.М. Об одном приложении теоремы Рисса-Шаудера к интегральным уравнениям типа Кне-зера // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37, № 6. - С. 815-819.
  11. Гюнтер Н.М. К теории интегралов Стильтьеса-Радона и интегральных уравнений // Доклады АН СССР. - 1938. - Т. 21. - С. 219-223.
  12. Гюнтер Н.М. К общей теории интегральных уравнений // Доклады АН СССР. - 1939. - Т. 22. -С. 215-219.
  13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 735 с.
  14. Lungu N. On some Volterra integral inequalities // Fixed Point Theory. - 2007. - V. 8, № 1. - P. 39-45.
  15. Ломов И. С Свойства базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка на интервале // Дифференц. Krall A.M. The development of general differential and general differential boundary systems // Rock. Moun. J. Math. - 1975. - V. 5, № 4. - P. 493-542.
  16. Искендеров А.Д. О первой краевой задаче для нагруженной системы квазилинейных параболических уравнений // Дифференц. уравнения. - 1971. - Т. 7, № 10. - С. 1911-1913.
  17. Искендеров А.Д. О смешанной задаче для нагруженных квазилинейных уравнений гиперболического типа // ДАН СССР. - 1971. - Т. 199, № 6. - С. 1237-1239.
  18. Dzenaliev M.T., Ramazanov M.I. On the boundary value problem for the spectrally loaded heat conduction operator // Siberian Mathematical Journal. - 2006. - V 47, № 3. - P. 527-547.
  19. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.
  20. Кожанов А.И.. Комсанов А.И. Обратная задача для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом специального типа // Неклассические уравнения математической физики: Труды семинара, посвященного 60-летию В.Н. Врагова. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л. Соболева, 2005. С. 167-176.
  21. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. - 1961. Т. 61. - 158 с.
  22. Хо Хо Сун Задача Трико ми для нагруженной системы Эйлера-Дарбу-Пуассона. - Нальчик, 1989. -16 с. - Деп. в ВИНИТИ 31.10.90 г., № 546-890.
  23. Хо Хо Сун Задача Дирихле для одной системы нагруженных уравнений первого порядка. Нелокальные задачи и их приложения к автоматизированным системам. Межвуз. сборник. - Нальчик: КБГУ, 1989. - С. 258-264.
  24. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. - 174 с.
  25. Иеху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. - М.: Наука, 2005. - 199 с.
  26. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. - М.: Наука, 2006. -287 с.
  27. Ломов И. С. Теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения.- 1991.- Т. 27, №9. - С. 1550-1563.
  28. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Доклады АН СССР. - 1983. -Т. 273, № 5. - С. 1048-1053.
  29. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22, № 12. - С. 2059-2071.
  30. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. - М.: Наука, 2007.- 167 с.
  31. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. 21, № 1. - С. 92-102.
  32. Пулькин СП. Избранные труды. Самара: Универс групп, 2007. - 264 с.
  33. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая шк., 1977. - 157 с.

Нагруженные уравнения и их связь с нелокальными операторами